【正文】 ? 根軌跡分析是求解閉環(huán)特征方程根的簡單的圖解方法，要求掌握根軌跡的繪制。 ? 通過求取系統(tǒng)的零極點增益模型直接獲得系統(tǒng)的零極點，從而可以直接對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)作出判斷。 s平面上的虛軸映射為 z平面單位圓邊界， s平面上的原點映射為 z平面上的點 (1， 0)，而 s平面上的無窮遠點映射為 z平面上的點 (1， 0)。 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)根平面之間的映射關系。 先建立系統(tǒng)的連續(xù)模型 s， 然后用 rlocus(s)函數(shù)畫它的根軌跡，鍵入 rlocfind(s)函數(shù)，用鼠標選擇根軌跡與虛軸的交點，即臨界點。 通過 rlocfind，配合前面所畫的 z及 wn柵格線，可以找出能產(chǎn)生主導極點阻尼比 z= 2021/6/16 60 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=1/(s^4+12s^3+30s^2+50s) 畫出系統(tǒng)的根軌跡，并試尋找出臨界點（即根在虛軸上）的增益 k值。 2021/6/16 59 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=k/s(s+1)(s+2) 試尋找一個合適的 k值使得閉環(huán)系統(tǒng)具有較理想的階躍響應。 22k ( s + 2 )H ( s ) =( s + 4 s + 3 )利用函數(shù) [k,p]=rlocfind(num,den)。 2021/6/16 57 sgrid()函數(shù) 2021/6/16 58 三、 根軌跡分析應用實例 例 例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)模型 要求繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，并確定交點處的增益 K。 ?sgrid(‘new’)：是先清屏，再畫格線。 ?不帶輸出參數(shù)項 [k,p]時，同樣可以執(zhí)行，只是此時只將 k的值返回到缺省變量 ans中。然后，此命令將產(chǎn)生一個光標以用來選擇希望的閉環(huán)極點。（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)） 2021/6/16 56 rlocfind()函數(shù) MATLAB提供了函數(shù) rlocfind()來找出給定的一組根（閉環(huán)極點）對應的根軌跡增益。 ?rlocus(a,b,c,d,k)或 rlocus(num,den,k)： 通過指定開環(huán)增益 k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 2021/6/16 55 根軌跡圖繪制 MATLAB提供了函數(shù) rlocus()來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖： ?rlocus(a,b,c,d)或者 rlocus(num,den)：根據(jù) SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。 ?pzmap(a,b,c,d)或 pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項，則直接在 s復平面上繪制出系統(tǒng)對應的零極點位置，極點用 表示，零點用 o表示。 2021/6/16 54 零極點圖繪制 MATLAB提供了函數(shù) pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點圖： ?[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。 rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。在 MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關函數(shù) 。 （ 3）動態(tài)性能 當 0K，所有閉環(huán)極點位于實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為非周期過程；當 K=，閉環(huán)兩個極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應仍為非周期過程，但速度更快；當 K，閉環(huán)極點為復數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼振蕩過程，且超調(diào)量與 K成正比。如果根軌跡越過虛軸進入右半 s平面，則其交點的 K值就是臨界穩(wěn)定開環(huán)增益。 √1－ 2k K=0時， s1=0,s2=－ 2 0＜ k＜ 時，兩個負實根 ；若 s1=－ , s2=? K=， s1=s2=－ 1 ＜ k＜ ∞時， s1,， 2=－ 1177。 利用它可以對系統(tǒng)進行各種性能分析 。 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡區(qū)段的右側(cè) ， 開環(huán)零 、 極點數(shù)目之和應為奇數(shù) 。 根軌跡的起點與終點：根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點 ， 終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點 。 一、 根軌跡分析方法的概念 繪制根軌跡的基本法則 根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階 數(shù) n（ 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點的數(shù)目 ） 。 一般來說 ， 這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益 K， 而在無零極點對消時 ， 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點 。 根軌跡法是在已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點分布的基礎上 ， 研究某一參數(shù)變化時對系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點分布的影響 。 )6)(1)((50)(???? ssssH2021/6/16 48 第四節(jié) 控制系統(tǒng)的根軌跡分析 ?控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 由其閉環(huán)極點唯一地來確定 。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 畫出其奈奎斯特圖 ， 判別其閉環(huán)穩(wěn)定性 。 從 奈奎斯特圖上分析 ， 因為系統(tǒng)開環(huán)有一個右半平面極點 （ s=） ， 奈奎斯特曲線必須以反時針繞 （ 1， 0） 點轉(zhuǎn)一圈 ， 系統(tǒng)才是穩(wěn)定的 。其中 ))()(()(???? sssssG2021/6/16 47 結(jié)果分析：從兩個圖的第 2子圖的脈沖響應看出 ， 兩系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定 。 2021/6/16 45 線性時不變系統(tǒng)如下所示，要求繪制系統(tǒng)的 Bode圖和 Nyquist曲線，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，求出系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，并繪制系統(tǒng)單位沖激響應驗證判斷結(jié)論。 結(jié)果分析： （ 1） Nyquist曲線逆時針包圍 1+j0點 1次，與右半 s平面極點數(shù)相等，系統(tǒng)穩(wěn)定。 （ 2）由插值函數(shù) spline()確定系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益 k0 2021/6/16 44 已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=26/(s+6)(s1)， 求 （ 1） 繪制系統(tǒng)的 Nyquist曲線， 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益 k0 = ，當系統(tǒng)增益 k11時，系統(tǒng)幅值裕度 gm0dB，相位裕度 pm0186。 從圖中曲線可知 ， k=2時 ， 系統(tǒng)大約有 6dB左右的閉環(huán)諧振峰值；k=10時 ， 曲線已切過無窮大點 ， 因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 切點的頻率就是諧振頻率， 大約為 , 響應曲線軌跡與 M=3dB軌跡交點的頻率就是 閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬 ， 大約為 。 semilogx( )： 半對數(shù)繪圖命令 2021/6/16 41 2021/6/16 42 已知系統(tǒng)的開環(huán)模型為 G(s)=1/s(s+1) 作尼柯爾斯圖。 )； w為頻率向量 ngrid： 在尼氏圖上作尼氏網(wǎng)格線 Logspace( ) ： 對數(shù)等分向量 Logspace(d1,d2) ： 從 10d1到 10d2之間做對數(shù)等分分度，產(chǎn)生 50個元素的對數(shù)等間隔向量。 [m,p,w]=nichols(num,den)or[m,p,w]=nichols(a,b,c,d)： 返回變量格式 ， 不作圖 。 可由 ngrid命令在尼氏圖上作尼氏網(wǎng)格線 nichols(num,den,w) or nichols(a,b,c,d,w)： 給定開環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學模型 ， 尼柯爾斯圖線作圖 。 2021/6/16 39 nichols：求連續(xù)系統(tǒng)的尼科爾斯頻率響應曲線（即對數(shù)幅相曲線） 2021/6/16 40 nichols(num,den) or nichols(a,b,c,d)：