【正文】 。利用最小值原理設計狀態(tài)反饋控制律，使線性二次型最優(yōu)控制指標 J最小 ，是線性系統(tǒng)綜合中常用的方法之一。 對給定系統(tǒng)可進行任意 閉環(huán) 極點配置的充要條件是系統(tǒng)狀態(tài)完全 能 控 。在原系統(tǒng)特性的基礎上，將原特性加以修正，例如改變原系統(tǒng)根軌跡的走向，使之滿足給定的性能指標，修改原系統(tǒng)的波得圖使之成為希望的形狀等都屬于控制系統(tǒng)的校正內容。 （ Exp:二階電路 .ewb） 2022/2/4 71 二 ． 控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 控制系統(tǒng)傳遞函數(shù) （ 假設 電位器數(shù)值為 100KΩ時 ） 104122)()(2 ??????? sssssHsG由終值定理得出： 當 R（ S） 為階躍信號的時候 ， 此時有： )()(1)(l i m)(l i m00 sHsGssRssEessSS ?????ssR1)( ? i m 220??? ???? ssssesSS觀察改變系統(tǒng)結構 對 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響 （ exp:控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差電路 .ewb ） 2022/2/4 72 三 ． 控制系統(tǒng)串聯(lián)矯正分析 利用開關的開合模擬串聯(lián)校正系統(tǒng)退出與加入 ， 通過 Multisim的示波器進行觀察 ， 可以明顯發(fā)現(xiàn)加入串聯(lián)校正系統(tǒng)之后 ， 原系統(tǒng)的動態(tài)響應特性得到改善 ， 超調沒有了 ， 收斂速度加快 。 該二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是： 1001 0 0 0100)()(2 ????sRssUsUioRn /50,1 0 02 ?? ??調節(jié)電位器 R的大小以及開關的開合 ， 可以觀察到二階系統(tǒng)的延遲時間 、 上升時間 、 峰值時間 、 調節(jié)時間及超調量的變化等動態(tài)性能指標 。 2022/2/4 69 ? J中 ， 積分上限是有限值 ， 則可證明最優(yōu)控制向量仍是狀態(tài)變量的線性函數(shù) ， 只是系數(shù)隨時間變化 （ 因此 ， 最優(yōu)控制向量的確定包含最優(yōu)時變矩陣的確定 ） 。 ? ， 還需研究頻率響應特性 ， 以補償噪聲的影響 。 這要求所有狀態(tài)變量都能用于反饋 。 具有如下特性 ， 即它是狀態(tài)變量的線性函數(shù) 。 在多數(shù)實際應用中 ， 雖然對于控制器在 “ 最優(yōu)性 ” 方面不會再提出任何要求 ， 但是在涉及定性方面 ，還應特別指出 ， 這就是基于二次型性能指標的設計 ，應能構成穩(wěn)定的控制系統(tǒng) 。 為了使最優(yōu)控制向量 u(t)存在 ， 系統(tǒng)必須是狀態(tài)完全可控的 。 2022/2/4 67 三 ． 線性二次型最優(yōu)控制問題的 MATLAB解法總結 。 )(10)(2 ??? ssssG2022/2/4 66 ?綜上所述 ， 基于最小值原理的線性二次型最優(yōu)控制 ， 通過求解代數(shù) Riccati方程 ， 得到的狀態(tài)反饋控制律 K， 可以使系統(tǒng)的各狀態(tài)獲得漸進穩(wěn)定特性 。 解： 由圖可得 ?????????????????)()()1()()()()()()()(2)()1(21kxkykvkykrkvkxkkvkkukukxkx2022/2/4 64 因此得到系統(tǒng)方程 ????????)()()()()1(kkxkwkhwkgxkx其中 x(k)=[x1(k) x2(k)]T， k=[k2 k1] ???????? ???????? 22h現(xiàn)設 ?????0)]()()()([21kTT kRwkwkQxkxJ??????? 10 0100Q并取 R=1 這樣就可利用 函數(shù) lqry進行設計，先求出 k， 進而得到k k2， 最后得到閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應。其中 ， R=1 ??????? ???????11h?????0)]()()()([21kTT kRukukQxkxJ??????? 01Q2022/2/4 63 r(k)1+zy(k)v(k)1k 2u(k)x(k)2k1z 已知離散系統(tǒng)與控制器結構如圖所示。其中 ， R=1 ???????ducxybuaxx???????????????????????100000a?????????????????300000b? ?00001?c ]0[?ddttuRtutxQtxJ TT )]()()()([0 ?? ? ??????????????????1000001000001000001000001Q2022/2/4 61 已知系統(tǒng)模型 ，其中 試采用輸出反饋設計最優(yōu)控制器 u=ky，使 性能指標 最小。 因此 ， 二次型最優(yōu)控制方法不能用于該系統(tǒng) 。 2022/2/4 58 已知系統(tǒng)模型 性能指標為 其中 設計反饋控制 ，使 J最小。這個矩陣黎卡提方程不存在正定矩陣 。 因此 ，二次型最優(yōu)控制方法不能用于該系統(tǒng) 。 K=[1,1] 解得 最優(yōu)控制信號為 u=Kx=x1x2 uxx ????????????? ?? 1010 10dttuRtutxQtxJ TT )]()()()([0 ?? ? ???????? 10 01Q ??1?R2022/2/4 56 已知系統(tǒng)模型 其中 性能指標為 其中 設計最優(yōu)控制器，并求出 Riccati方程的解 P及閉環(huán)系統(tǒng)ab*k的特征值（閉環(huán)系統(tǒng)的極點）。 ?????0)]()()()([21kTT krukukqxkxJ2022/2/4 55 已知系統(tǒng)模型 ，性能指標為 其中 設計反饋控制 u=kx， 使 J最小。 離散系統(tǒng)線性二次型控制 離散系統(tǒng)為 x(k十 1)＝ GX(k)十 hu(k) 設計最優(yōu)控制律 U(k)＝ kx(k)， 使性能指標 最小 。 ?X=are(A,B,C) 函數(shù)功能： 代數(shù) Riccati方程求解函數(shù) X為代數(shù) Riccati方程的解矩陣； B為非負對稱矩陣； C為對稱矩陣。 可解連續(xù)時間的線性二次型調節(jié)器問題 ， 并可解與其有關的 代數(shù) 黎卡提 (Riccati)方程 。 2022/2/4 52 一．二次型最優(yōu)控制問題的 MATLAB解法 ? 為使 J最小，在 MATLAB中，線性二次型調節(jié)器的設計直接采用 lgr函數(shù)。所以，若能確定矩陣 K中的未知元素，使得性能指標 J達極小，則 u(t)=Kx(t)對任意初始狀態(tài) x(0)而言均是最優(yōu)的。 MATLAB有一條命令 lpr， 它給出黎卡提方程的解 ， 并能確定最優(yōu)反饋增益矩陣 。 采用二次型最優(yōu)控制方法的一個優(yōu)點是除了系統(tǒng)不可控的情況外 ， 所設計的系統(tǒng)將是穩(wěn)定的 。 其中 P為代數(shù) Riccati方程的解。 在性能指標 J中，第一項表示穩(wěn)態(tài)誤差，第二項表示總的暫態(tài)誤差，第三項表示暫態(tài)過程中所消耗的控制能量。 線性時不變系統(tǒng) 線性二次型 (LQ)最優(yōu)控制器的任務是設計最優(yōu)控制向量 u(t)=Kx(t)的矩陣 K， 使得線性二次型最優(yōu)控制性能指標 達到極小 。 ???????)()()()()1(kcxkykhukgxkx?????????? ??001g???????????101h ? ?001?c 離散系統(tǒng) 其中 設計調節(jié)器使閉環(huán)系統(tǒng)具有無阻尼響應； 設計狀態(tài)觀測器 ， 使觀測器 也 具有無阻尼響應 。 ??????cxybuaxx???????????????6116100010a???????????100b ? ?001?c3221 j??