【正文】 在工程設(shè)計(jì)時(shí)，還是以設(shè)計(jì)最佳接收濾波器的方法較為實(shí)用。在理論上，自然也可以假定接收濾波器和信道特性已給定，設(shè)計(jì)發(fā)送濾波器使系統(tǒng)達(dá)到最佳；或者只給定信道特性，聯(lián)合設(shè)計(jì)發(fā)送和接收濾波器兩者使系統(tǒng)達(dá)到最佳。故從上兩式可以寫出對 T(f)的要求 : 式中 ssi s TfTT ifH 2 1?????????? ??siiiTsTffCfGTfT21)()()( 2)(2)(?? ????????? ??sTiT TifGfG )()(???????? ??siTifCC )(87 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 從上述分析得知，在非理想信道條件下，最佳接收濾波器的傳輸特性應(yīng)該是傳輸特性為 GR?(f)的匹配濾波器和傳輸特性為 T(f)的均衡濾波器級連。為使此匹配濾波器的傳輸函數(shù) GR?(f)和接收信號碼元的頻譜匹配，要求 GR?(f) = GT*(f)?C*(f) 基帶傳輸系統(tǒng)的總傳輸特性為 H(f) = GT(f)?C(f)?GR?(f) = GT(f)?C(f)? GT*(f)?C*(f) =|GT(f)|2|C(f)|2 此總傳輸特性 H(f)能使其對于高斯白噪聲的信噪比最小，但是還沒有滿足消除碼間串?dāng)_的條件。 ? ?0/21 nEe r f cP e ?Pe 1 101 102 103 104 106 105 E/n0 (dB) M=2 4 8 16 0 5 10 15 20 25 30 35 85 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 非理想信道的最佳基帶傳輸系統(tǒng) ?最佳傳輸條件 接收信號碼元的頻譜等于 GT(f)?C(f)。這樣，利用巴塞伐爾定理 計(jì)算碼元能量時(shí)，設(shè)多電平碼元的波形為 Ax(t)，其中 x(t)的最大值等于 1，以及 ???????????? ?? ?211 de r f cMP e)()( 2/1 fHfG T ?dMdd )1(,3, ???? ?? ???? ???? dffXdttx 22 )()(dMddA )1(,3, ????? ?83 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 則有碼元能量等于 因此，對于 M 進(jìn)制等概率多電平碼元，求出其平均碼元能量E等于 因此有 于是得到誤碼率的最終表示式： ? ???? ??? ?? 2222 )()( AdffHAdttxA? ?? ? ? ?)1(3)1(53121222222222/12?????????? ??MdMMdidMEMi?1322?? MEd???????????????? ???????? ?????????????? ??2/102 1311211nEMe r f cMde r f cMP e?84 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 當(dāng) M＝ 2時(shí)， 上式是在理想信道中，消除碼間串?dāng)_條件下，二進(jìn)制雙極性基帶信號傳輸?shù)淖罴颜`碼率。因此輸出噪聲 ?的一維概率密度函數(shù)等于 對上式積分，就可以得到抽樣噪聲值超過 d 的概率： ?? ?????? ?? dffHndffGn R 22/10202 )(2)(2????? ? 1)( 22/1 dffH202 n?????????? ??222e xp21)(?????f81 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 上式中已作了如下變量代換： 將上式代入誤碼率公式，得到 ? ?? ? ????????????????????????????????? 2e x p22e x p2122/222de r f cdzzddPdd222 2/ ???z???????????? ?? ?211 de r f cMP e82 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 現(xiàn)在，再將上式中的 Pe和 d/?的關(guān)系變換成 Pe和 E/n0的關(guān)系。設(shè)接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為 n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為 ?2，則有 ? ?dPMP e ??????? ?? ?11?? ?????? ?? dffHndffGn R 22/10202 )(2)(2?80 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 上式中的積分值是一個(gè)實(shí)常數(shù)，我們假設(shè)其等于 1，即假設(shè) 故有 這樣假設(shè)并不影響對誤碼率性能的分析。所以，錯誤概率為 式中， ?是噪聲的抽樣值，而 P(| ? |d)是噪聲抽樣值大于 d 的概率。但是，當(dāng)噪聲值大于最高信號電平值或小于最低電平值時(shí)，不會發(fā)生錯誤判決；也就是說，對于最外側(cè)的兩個(gè)電平，只在一個(gè)方向有出錯的可能。圖中的 M ＝ 8。 2/1)()( fHfG R ?)()( 2/1 fHfG R ?)()( 2/1 fHfG T ?78 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ?最佳基帶傳輸系統(tǒng)的誤碼率性能 設(shè)基帶信號碼元為 M 進(jìn)制的多電平信號。 02)()( ftjTR efGfG ????76 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 由 H(f) = GT(f)? GR(f) ，有 將上式代入所要求的接收匹配濾波器的傳輸函數(shù) 得到 即 上式左端是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以上式右端也必須是實(shí)數(shù)。 由對匹配濾波器頻率特性的要求可知，接收匹配濾波器的傳輸函數(shù) GR(f)應(yīng)當(dāng)是信號頻譜 S(f)的復(fù)共軛。于是，基帶系統(tǒng)的傳輸特性變?yōu)? H(f) = GT(f)? GR(f) 上式中 GT(f)雖然表示發(fā)送濾波器的特性，但是若傳輸系統(tǒng)的輸入為沖激脈沖，則 GT(f)還兼有決定發(fā)送信號波形的功能，即它就是信號碼元的頻譜。 2）考慮到信道的非理想特性。 ? 設(shè)計(jì)最佳基帶傳輸系統(tǒng)的方法 由于信道的傳輸特性 C(f)往往不易得知，并且還可能是時(shí)變的。 現(xiàn)在，我們將分析在 H(f)滿足消除碼間串?dāng)_的條件之后，如何設(shè)計(jì) GT(f)、 C(f)和 GR(f)，以使系統(tǒng)在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 在第 6章中將這 3個(gè)濾波器集中用一個(gè)基帶總傳輸函數(shù)H(f)表示： H(f) = GT(f)?C(f)?GR(f) 抽樣 判決 74 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 在第 6章中，為了消除碼間串?dāng)_，要求 H(f)必須滿足奈奎斯特第一準(zhǔn)則。 由于起伏信號最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)和隨相信號的相同，所以上圖同樣適用于對起伏信號作最佳接收。 ? ??????????????????????????????????????????????????????)(2c o s2s i n)(2c o s)(2s i n)()(2s i n2c o s)()(2c o s)(2c o s)()(020020000000000tTfdfrdfrdfrtTfdfrtTfdtTfrtystttststs01 000( ) sin 2ta n( ) c o s 2ttr f dr f d? ? ? ??? ? ? ???????????72 因此， 圖所示的結(jié)構(gòu)： 在此圖中，有兩個(gè)匹配濾波器，其特性分別對二進(jìn)制的兩種碼元匹配。 設(shè)匹配濾波器的特性仍如例 ： 并設(shè)此匹配濾波器的輸入是 r(t)，則此濾波器的輸出 y(t)由卷積公式求出為： sss TttTftTsth ?????? 0),(2c o s)()( 0?71 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 式中 由上式看出，當(dāng) t = Ts時(shí)， y(t)的包絡(luò)和 收判決條件式中的 M0和 M1形式相同。但是，匹配濾波器還是可以用于接收隨相信號的。對于確知信號的接收，這是可以做到的。由此圖可見，只有當(dāng) t = Ts時(shí)，兩者的抽樣值才相等。 【 解 】 此信號碼元通過相關(guān)接收器后，輸出信號波形等于 上式中已經(jīng)假定 f0很大，從而結(jié)果可以近似等于 t / 2，即與 t 成直線關(guān)系。 積分 積分 s1(t) s0(t) 抽樣 比較 判決 抽樣 t = Ts t = Ts 輸入 輸出 69 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 【 例 】 設(shè)有一個(gè)信號碼元如例 s(t)。 ? ? ??? t Tt ss duutTsurkty )()()(?? sTs duusurkTy 0 )()()(68 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 用上述相關(guān)運(yùn)算代替上圖中的匹配濾波器得到如下圖所示的相關(guān)接收法方框圖。它表示只有輸入電壓 r(t) = s(t) + n(t)時(shí)，在時(shí)刻 t = Ts才有最大的輸出信噪比。 67 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 匹配濾波器的性能 用上述匹配濾波器得到的最大輸出信噪比就等于最佳接收時(shí)理論上能達(dá)到的最高輸出信噪比。 ? 在上面的討論中對于信號波形從未涉及，也就是說最大輸出信噪比和信號波形無關(guān)，只決定于信號能量 E與噪聲功率譜密度 n0之比，所以這種匹配濾波法對于任何一種數(shù)字信號波形都適用，不論是基帶數(shù)字信號還是已調(diào)數(shù)字信號。 匹配濾波器 1 匹配濾波器 2 抽樣 比較 判決 抽樣 t = Ts t = Ts 輸入 輸出 66 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 匹配濾波器可以用不同的硬件電路實(shí)現(xiàn)，也可以用軟件實(shí)現(xiàn)。哪個(gè)匹配濾波器的輸出抽樣值更大，就判決那個(gè)為輸出。 ? 圖中有兩個(gè)匹配濾波器，分別匹配于兩種信號碼元。 (b) 沖激響應(yīng) Ts ? ??? ?? ??? dthsts o )()()(ssss TtTtTTtt 2,2,0,0 ??????63 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 當(dāng) 0 ? t Ts時(shí)，上式等于 當(dāng) Ts ? t ? 2Ts時(shí)，上式等于 若因 f0很大而使 (1/4?f0)可以忽略，則最后得到 ? ? tfftftdtftfdtfftstto0000 000 002s i n412c os2)2(2c os2c os21)(2c os2c os)(?????????????????????tfftftTdtffts ssTTtso 00000 2s i n412c os22)(2c os2c os)( ????????? ? ????????????????????tTtTtftTTttfttssssso其他,02,2c o s220,2c o s2)(00??64 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 按上式畫出的曲線示于下圖中。 此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為： 為了便于畫出波形簡圖，令 式中， n = 正整數(shù)。