【正文】 1 通信原理 2 通信原理 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 3 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? ? 以二進(jìn)制為例研究接收電壓的統(tǒng)計(jì)特性。 ? 假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為 0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為 n0；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“ 0‖和“ 1‖，其發(fā)送概率分別為 P(0)和 P(1)，則有 P(0) + P(1) = 1 ? 若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于 fH，則根據(jù)低通信號(hào)抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率 2fH。 ? 設(shè)在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間 Ts內(nèi)以 2fH的速率抽樣，共得到 k個(gè)抽樣值：，則有 k ＝ 2fHTs。 4 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 由于每個(gè)噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫為 式中， ?n － 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差； ?n2 － 噪聲的方差，即噪聲平均功率； i ＝ 1， 2， … ， k。 ? 設(shè)接收噪聲電壓 n(t)的 k個(gè)抽樣值的 k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ???????? ??222e xp21)(nininnf???),( 21 kk nnnf ?5 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 由高斯噪聲的性質(zhì)可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨(dú)立的。這樣，此 k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為 ? 當(dāng) k 很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間 Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為： 或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成 ? ? ???????? ??? ??kiinknkkk nnfnfnfnnnf1222121 21e xp21)()()(),(??????????kiisHkii nTfnk1212211????kiisHTsnTfdttnT s120221)(16 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 利用上式關(guān)系，并注意到 式中 n0 － 噪聲單邊功率譜密度 則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為： 式中 n = (n1, n2, …, nk) － k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)噪聲的 k個(gè)抽樣值。 ? 需要注意， f(n)不是時(shí)間函數(shù)，雖然式中有時(shí)間函數(shù) n(t)，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時(shí)間變量 t無關(guān)。 n是一個(gè) k維矢量， 它可以看作是 k 維空間中的一個(gè)點(diǎn)。 Hn fn 02 ??? ? ?????? ?? ? sTkndttnnf020)(1e x p21)(??n)()()(),()( 2121 kkk nfnfnfnnnff ?? ??n7 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 在碼元持續(xù)時(shí)間 Ts、噪聲單邊功率譜密度 n0和抽樣數(shù) k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后， f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量： ? 由于噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，而另一些則無錯(cuò)。 ? sT dttn0 2 )(8 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 設(shè)接收電壓 r(t)為信號(hào)電壓 s(t)和噪聲電壓 n(t)之和 : r(t) = s(t) + n(t) 則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓 r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為 ?n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“ 0‖的信號(hào)波形為 s0(t)時(shí)，接收電壓r(t)的 k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 式中 r = s + n — k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的 k個(gè)抽 樣值； s － k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的 k個(gè)抽樣值。 ? ? ? ? ?????? ??? ? dttstrnfsTkn20 000)()(1e x p21)(??r9 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 同理，當(dāng)發(fā)送碼元“ 1―的信號(hào)波形為 s1(t)時(shí)，接收電壓 r(t)的 k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ? 順便指出，若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖?M 進(jìn)制碼元，即可能發(fā)送 s1，s2， … ， si， … ， sM之一，則按上述原理不難寫出當(dāng)發(fā)送碼元是 si時(shí)，接收電壓的 k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 仍需記住，以上三式中的 k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時(shí)間 t的函數(shù)，并且是一個(gè)標(biāo)量，而 r 仍是 k維空間中的一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)矢量。 ? ? ? ? ?????? ??? ? dttstrnfsTkn20 101 )()(1e x p21)(??r? ? ? ? ?????? ??? ? dttstrnfsTikni200)()(1e x p21)(??r10 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 數(shù)字信號(hào)的最佳接收 ? “最佳”的準(zhǔn)則：錯(cuò)誤概率最小 ? 產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯(cuò)誤概率最小。 ? 判決規(guī)則 設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“ 1‖的概率為 P(1)，發(fā)送碼元“ 0‖的概率為 P(0)，則總誤碼率 Pe等于 式中 Pe1 = P(0/1) － 發(fā)送“ 1‖時(shí)，收到“ 0‖的條件概率； Pe0 = P(1/0) － 發(fā)送“ 0‖時(shí)，收到“ 1‖的條件概率； 上面這兩個(gè)條件概率稱為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率。 01 )0()1( eee PPPPP ??11 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 按照上述分析，接收端收到的每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)的電壓可以用一個(gè) k 維矢量表示。接收設(shè)備需要對(duì)每個(gè)接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“ 0‖，還是“ 1‖。 由接收矢量決定的兩個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù) f0(r)和 f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把 r 當(dāng)作 1維矢量畫出。）： 可以將此空間劃分為兩個(gè)區(qū)域 A0和 A1，其邊界是 r0?， 并將判決規(guī)則規(guī)定為： 若接收矢量落在區(qū)域 A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“ 0‖； 若接收矢量落在區(qū)域 A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“ 1‖。 A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) 12 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 顯然，區(qū)域 A0和區(qū)域 A1是兩個(gè) 互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個(gè)區(qū) 域的邊界 r0?確定后，錯(cuò)誤概率 也隨之確定了。 這樣，總誤碼率可以寫為 式中， P(A0/1)表示發(fā)送“ 1‖時(shí)，矢量 r落在區(qū)域 A0的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“ 0‖時(shí)， 矢量 r落在區(qū)域 A1的條件概率 這兩個(gè)條件概率可以寫為： 這兩個(gè)概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。 A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) )0/()0()1/()1( 10 APPAPPP e ???? 0 )()1/( 10 A dfAP rr ?? 1 )()0/( 01 A dfAP rr13 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 將上兩式代入 得到 參考上圖可知，上式可以寫為 上式表示 Pe是 r0?的函數(shù)。為了求出使 Pe最小的判決分界點(diǎn)r0?，將上式對(duì) r0?求導(dǎo) 并令導(dǎo)函數(shù)等于 0， 求出最佳分界點(diǎn) r0的條件： )0/()0()1/()1( 10 APPAPPP e ???? ?? 10 )()0()()1( 01 AAe dfPdfPP rrrr?? ??? ?? 39。039。0 )()0()()1( 01 rre dfPdfPP rrrrA0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) )()0()()1( 39。0039。0139。0rrr fPfPP e ????0)()0()()1( 0001 ?? rr fPfP14 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 即 當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，即 P(1) = P(0)時(shí)， f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線交點(diǎn)處的 r 值上。 在判決邊界確定之后，按照接收矢量 r 落在區(qū)域 A0應(yīng)判為收到的是“ 0‖的判決準(zhǔn)則，這時(shí)有： 若 則判為“ 0‖ ； 反之， 若 則判為“ 1‖ 。 在發(fā)送“ 0‖和發(fā)送“ 1‖的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上兩式的條件簡(jiǎn)化為： 0)()0()()1( 0001 ?? rr fPfP)()()0()1(0100rrffPP ?)()()0()1(10rrffPP ?)()()0()1(10rrffPP ?A0 A1 r f0(r) f1(r) r0? P(A0/1) P(A1/0) 若 f0(r) f1(r)，則判為“ 0‖ 若 f0(r) f1(r)，則判為“ 1‖ 15 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 這個(gè)判決準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則。按照這個(gè)準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。 ? 以上對(duì)于二進(jìn)制最佳接收準(zhǔn)則的分析，可以推廣到多進(jìn)制信號(hào)的場(chǎng)合。設(shè)在一個(gè) M 進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是 s1， s2， … ， si， … ， sM之一，它們的先驗(yàn)概率相等，能量相等。當(dāng)發(fā)送碼元是 si時(shí)，接收電壓的 k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 于是，若 則判為 si(t)，其中， ? ? ? ? ?????? ??? ? dttstrnfsTikni200)()(1e x p21)(??r),()( rr ji ff ??????Mjij,2,1 ?16 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī) ? 確知信號(hào)：指其取值在任何時(shí)間都是確定的、可以預(yù)知的信號(hào)。 ? 判決準(zhǔn)則 當(dāng)發(fā)送碼元為“ 0‖，波形為 so(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為 當(dāng)發(fā)送碼元為“ 1‖，波形為 s1(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為 因此，將上兩式代入判決準(zhǔn)則式，經(jīng)過簡(jiǎn)化，得到： ? ? ? ? ?????? ??? ? dttstrnfsTkn20 000 )()(1e x p21)(??r? ? ? ? ?????? ??? ? dttstrnfsTkn20 101)()(1e x p21)(??r17 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 若 則判為發(fā)送碼元是 s0(t)；若 則判為發(fā)送碼元是 s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對(duì)數(shù)，得到若 則判為發(fā)送碼元是 s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是 s1(t)。由于已經(jīng)假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即 所以上式還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。 ? ? ? ??????? ????????? ?? ?? ss TT dttstrnPdttstrnP 0