【正文】 但是，分析結(jié)果表明，這樣做的效果和僅使接收濾波器最佳化的結(jié)果差別不大。為了消除碼間串?dāng)_，由第 6章的討論得知， H(f)必須滿足： 86 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 為此，可以在接收端增加一個(gè)橫向均衡濾波器 T(f)，使系統(tǒng)總傳輸特性滿足上式要求。 M進(jìn)制多電平信號(hào)的誤碼率曲線： 由此圖可見，當(dāng)誤碼率 較低時(shí)，為保持誤碼率 不變， M值增大到 2倍， 信噪比大約需要增大 7 dB。由于接收濾波器是一個(gè)線性濾波器，故其輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性仍服從高斯分布。這種情況的出現(xiàn)占所有可能的 1/M。一個(gè)碼元可以取下列 M 種電平之一： 其中 d為相鄰電平間隔的一半，如下圖所示?，F(xiàn)在，信號(hào)的頻譜就是發(fā)送濾波器的傳輸函數(shù) GT(f)，所以要求接收匹配濾波器的傳輸函數(shù)為： 上式中已經(jīng)假定 k = 1。 75 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 理想信道的最佳傳輸系統(tǒng) ? 最佳傳輸系統(tǒng)的條件 假設(shè)信道傳輸函數(shù) C(f) = 1。 將消除了碼間串?dāng)_并且噪聲最小的基帶傳輸系統(tǒng)稱為 最佳基帶傳輸系統(tǒng) 。 匹配濾波器 f0 包絡(luò)檢波器 比較判決 匹配濾波器 f1 包絡(luò)檢波器 t=Ts M0 M1 r(t) y0(t) y1(t) 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 73 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 最佳基帶傳輸系統(tǒng) ? 何謂最佳基帶傳輸系統(tǒng)？ 設(shè)基帶數(shù)字信號(hào)傳輸系統(tǒng)由發(fā)送濾波器、信道和接收濾波器組成： 其傳輸函數(shù)分別為 GT(f)、 C(f)和 GR(f)。所以，按照 信號(hào)最佳接收時(shí)的判決準(zhǔn)則比較 M0和 M1，就相當(dāng)于比較上式的包絡(luò)。對(duì)于隨相信號(hào)而言，就不可能使信號(hào)的隨機(jī)相位和 h(t)的相位匹配。這兩種結(jié)果示于下圖中。 匹配濾波法和相關(guān)接收法完全等效，都是最佳接收方法。證明如下： 匹配濾波器輸出電壓的波形 y(t) 可以寫成 在抽樣時(shí)刻 Ts，輸出電壓等于 可以看出，上式中的積分是相關(guān)運(yùn)算，即將輸入 r(t)與 s(t)作相關(guān)運(yùn)算，而后者是和匹配濾波器匹配的信號(hào)。 目前，由于軟件無線電技術(shù)的發(fā)展，它日益趨向于用軟件技術(shù)實(shí)現(xiàn)。在抽樣時(shí)刻對(duì)抽樣值進(jìn)行比較判決。這樣，上式可以化簡(jiǎn)為 h(t)的曲線示于下圖： ? ? ? ?)(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftj??????????????????????sss TttTftTsth ?????? 0),(2c o s)()( 0?0/ fnT s ?sTttfth ??? 0,2c o s)( 0?62 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 這時(shí)的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出： 由于現(xiàn)在 s(t)和 h(t)在區(qū)間 (0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計(jì)算： 顯然，當(dāng) t 0和 t 2Ts時(shí)，式中的 s(?)和 h(t?)不相交，故 s0(t)等于零。 由式 可以求出此匹配濾波器的 輸出信號(hào)波形如下： t Ts h(t) 1 ss TttTsth ???? 0),()()()( so TtkRts ??t Ts so(t) 59 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 由其傳輸函數(shù) 可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下： 因?yàn)樯鲜街械?(1/j2?f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而 exp(j2?fTs)是延遲時(shí)間為 Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。 其頻譜為 由 令 k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 由 令 k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為 ??? ???tTtts s其他,00,1)(? ?? ??? ?? ??? sfTjftj efjdtetsfS ?? ? 22 121)()(t Ts s(t) 1 02)(*)( ftjefkSfH ???? ? ss fTjfTj eefjfH ??? 22 121)( ?? ??)()( 0 ttksth ??ss TttTsth ???? 0),()(58 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 此沖激響應(yīng)示于下圖。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為 0,0)( ?? tth 當(dāng)0,0)( 0 ??? ttts 當(dāng)0,0)( ttts ?? 當(dāng))()( tTksth s ??56 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 這時(shí)，若匹配濾波器的輸入電壓為 s(t)，則輸出信號(hào)碼元的波形為： 上式表明，匹配濾波器輸出信號(hào)碼元波形是輸入信號(hào)碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的 k倍。故稱此濾波器為匹配濾波器。 ? 輸出電壓 ?假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓 r(t)中包括信號(hào)和噪聲兩部分時(shí)，濾波器的輸出電壓 y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號(hào) so(t)和輸出噪聲 no(t)兩部分，即 式中 )()()( tntsty oo ??? ???? dfefSfHts ftjo ?2)()()(50 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 輸出噪聲功率 由 這時(shí)的輸出噪聲功率 No等于 ? 輸出信噪比 在抽樣時(shí)刻 t0上，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為 )()()()()(*)( 2 fPfHfPfHfHfP RRY ??? ???? ?????? dffHndfnfHN o 2021 )(22)(??????????dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()( 0?51 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 匹配濾波器的傳輸特性： 利用施瓦茲不等式求 r0的最大值 若 其中 k為任意常數(shù)，則上式的等號(hào)成立。 )/(210nEP e ??E46 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 誤碼率曲線 由此圖看出，在有衰落時(shí)， 性能隨誤碼率下降而迅速 變壞。)( 2002122001sssss TnnMTnnKf???r45 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 誤碼率： 實(shí)質(zhì)上，和隨相信號(hào)最佳接收時(shí)一樣，比較 f0(r)和f1(r)仍然是比較 M02和 M12的大小。 ? 2FSK信號(hào)的表示式 式中， A0和 A1是由于多徑效應(yīng)引起的隨機(jī)起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )c os (),()c os (),(111111000000??????????tAAtstAAts2,1,0,2e xp)( 222 ?????????? ?? iAAAVfisisii ??42 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 式中， ?s2為信號(hào)的功率； 而且 ?0和 ?1的概率密度服從均勻分布： 此外，由于 Ai是余弦波的振幅，所以信號(hào) si(t, ?i, Ai)的功率 ?s2和其振幅 Ai的均方值之間的關(guān)系為 2,1,0,2e xp)( 222 ?????????? ?? iAAAVfisisii ??2,1,20,2/1)( ???? if ii ????22 2][ siAE ??43 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ? 接收矢量的概率密度 : ?由于接收矢量不但具有隨機(jī)相位，還具有隨機(jī)起伏的振幅，故此概率密度 f0(r)和 f1(r)分別可以表示為： ? ? ?? ? ???20 0000000 00 ),/()()()( ddAAffAff rr? ? ?? ? ???20 1111110 11 ),/()()()( ddAAffAff rr44 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 經(jīng)過繁復(fù)的計(jì)算，上兩式的計(jì)算結(jié)果如下： 式中 n0 － 噪聲功率譜密度； ?n2 － 噪聲功率。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號(hào)。 現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的 f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件： ? ? ??s sT T bEdttsdtts0 0 121020 ),(),( ???? ? ???20 00000 )/()()( dfff rr?? ? ???20 11111 )/()()( dfff rr38 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 若接收矢量 r 使 M12 M02，則判為發(fā)送碼元是“ 0‖， 若接收矢量 r 使 M02 M12，則判為發(fā)送碼元是“ 1‖。 ? ???????????????????????????? dyedxePyMnEyxe212/12220221211??MEE b 2lo g/?knEMnEnE b0200 l og??35 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ?誤碼率曲線 由此曲線看出，對(duì)于 給定的誤碼率，當(dāng) k 增大時(shí)，需要的信噪 比 Eb/n0減小。 ? 當(dāng)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù) ? 等于 0時(shí)，誤碼率等于 ? 例如， 2FSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。這時(shí)的誤碼率 Pe = 1/2。對(duì)于已調(diào)信號(hào)，若采用的是2PSK或 2ASK信號(hào)，則其占用帶寬應(yīng)當(dāng)是基帶信號(hào)帶寬的兩倍，即恰好是 (1/Ts) Hz。實(shí)際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對(duì)不可能超過它。所以 ? 的取值范圍在 1 ? ? ? +1。就誤碼率而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。 21)0(21)1()0/1()0()1/0()1(222222?????????????????????? ??????dxePdxePPPPPPbxaxe?? ???? ????25 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 ?當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)： P(0) = P(1) = 1/2， a = b。此條件概率的計(jì)算結(jié)果如下 ? ? ? ?? ? ????? s sT T dttstrPndttstrPn 0 0 202110 )()()0(1ln)()()1(1ln? ?????? axdxeaPP22221)()1/0( ??????23 第 10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收 式中 同理，可以求出發(fā)送 s0(t)時(shí)，判決為收到 s1(t)的條件錯(cuò)誤概率 式中 ? ?????? axdxeaPP 22221)()1/0( ??????? ??? sT dttstsPPna 0 2021 )]()([21)1( )0(ln2? ??? sT dttstsnD 0 20212 )]()([2)( ?? ?? ?????? bxdxebPP2