【正文】 二、求解步驟 ，將算式中的各個(gè)數(shù)字除以 9，留其余數(shù)進(jìn)行相同的計(jì)算（或算出各數(shù)的棄九數(shù)進(jìn)行計(jì)算）； ，如有數(shù)字不在 08之間，通過加上或減去 9或 9的倍數(shù)到達(dá) 08之間； 3．將選項(xiàng)除以 9留其余數(shù)，與上面計(jì)算結(jié)果對(duì)照，得到答。且一個(gè)數(shù)的棄九數(shù)與該數(shù)除以 9的余數(shù)相同。 經(jīng)計(jì)算，只有選項(xiàng) B的棄九數(shù)是 6。此時(shí)可以考慮棄九法。 【例題】 1133825593 的值為： 【科信教育思路點(diǎn)撥 】此題數(shù)據(jù)很大，直接計(jì)算相當(dāng)耗時(shí) 。 棄九數(shù)本質(zhì)上是原數(shù)除以 9的余數(shù)，棄九法本質(zhì)上也是同余的性質(zhì)。當(dāng)尾數(shù)法不能使用的時(shí)候，可以考慮采用 “ 棄九法 ” 來得到答案。 把一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加，直到和是一個(gè)一位數(shù)（和是 9，要減去 9 得 0），這個(gè)數(shù)就叫做原來數(shù)的棄九數(shù)． 例如， 3217： 3+2+1+7=13（去掉 1 個(gè) 9） 1+3=4 （我們就稱最后的 4 之為棄九數(shù)）． 與尾數(shù)法類似的方法還有 “ 棄九法 ” 。所以正確答案為 A。 【解析】首先看后兩個(gè)條件，很容易看出 7是滿足條件的最小的自然數(shù)，而 7正好也滿足第一個(gè)條件。 【例題】 一個(gè)三位數(shù)除以 9余 7，除以 5余 2，除以 4余 3，這樣的三位數(shù)共有： 【思路點(diǎn)撥】此題為剩余問題。 然后將這三個(gè)數(shù)分別乘以被 3除的余數(shù)再相加，即： 152+213+702=233 。 第二個(gè)數(shù)能同時(shí)被 3和 7整除，但除以 5余 1，即 21。 以此題為例，下面中公教育專家為大家介紹一種常規(guī)的解題方法。 二、剩余 在我國古代算書《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題： “ 今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何 ?” 意思是，一個(gè)數(shù)除以 3余 2，除以 5余 3，除以 7余 2，問這個(gè)數(shù)最小是多少 ?這類問題在我國稱為 “ 孫子問題 ” ，也稱為剩余問 題。 【解析】 a除以 5余 1，則 3a 除以 5余 3 (兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余 ) 19 b除以 5余 4，則 3ab除以 5余 1 (兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余 ) 因?yàn)橛鄶?shù)大于 0而小于除數(shù)， 1+5=4，故所求余數(shù)為 4。 對(duì)于同一個(gè)除 數(shù) m，兩個(gè)數(shù)和的余數(shù)與余數(shù)的和同余，兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余，兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余。其中，余數(shù)總是小于除數(shù)，即 0≤d 一、同余 兩個(gè)整數(shù) a、 b，若它們除以整數(shù) m所得的余數(shù)相等，則稱 a、 b對(duì)于 m同余。被除數(shù) (a)247。 二 .數(shù)學(xué)方法 十字交叉 法 18 同余 、 剩余 法 在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。很多人認(rèn)為采用 “ 假設(shè)法 ” 解答雞兔同籠問題能在最短的時(shí)間里解出，但是存在需要記憶公式并解答的問題。 以上是關(guān)于雞兔同籠問題的幾種解題思路，從中找到適合自己的方式，并能將一般問題轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問題是對(duì)考生的基本要求。蜻蜓有 6條腿， 2對(duì)翅膀 。兩教室當(dāng)月共舉辦該培訓(xùn) 27次，每次培訓(xùn)均座無虛席，當(dāng)月培訓(xùn) 1290人次。 二、下面我們通過 2020年國家公務(wù)員考試真題來進(jìn)一步強(qiáng)化 “ 方程法 ” 例 某地勞動(dòng)部門租用甲、乙兩個(gè)教室開展農(nóng)村實(shí)用人才培訓(xùn)。方程 ② 雞兩只腳，兔子四只腳，可以算出一共多少只腳。原題目是雞頭和兔頭共有 35個(gè)，雞腳和兔腳共有 94個(gè)，那我們就可以設(shè)雞 X只，兔子 Y只。大瓶和小瓶相差 4012=28個(gè)。(5 1)=12個(gè)，小瓶數(shù)為 (552 100)247。 ) 例 有大小兩個(gè)瓶，大瓶可以裝水 5千克，小瓶可裝水 1千克，現(xiàn)在有 100千克水共裝了 52瓶。 (或利用公式計(jì)算不合格零件個(gè)數(shù) =(1012 90)247。(10 (5))=10 個(gè)。已知某人一天共做了 12個(gè)零件得工資 90元。( 每只兔子腳數(shù) 每只雞腳數(shù) ) 一、下面我們通過歷年真題來進(jìn)一步強(qiáng)化 “ 假設(shè)法 ” 例 某零件加工廠按工人完成的合格零件和不合格零件支付工資。此類我們稱之為 “ 假設(shè)法 ” ，概括起來，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是： 兔數(shù) =(實(shí)際腳數(shù) 每只雞腳數(shù) 雞兔總數(shù) )247。2=12( 只 )，從而雞有 3512=23(只 )。雞兔總的腳數(shù)是 352=70( 只 )，比題中所說的 94 只要少 9470=24(只 )。原題如下：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何 ?縱觀近幾年國家和各省地市公務(wù)員考試的 數(shù)量關(guān)系題目很多都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，對(duì)于此類問題的解答要求考生熟練掌握。 例 四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積為 1680，它們的和為 ( )(2020年河南省公務(wù)員考試行測第 46題 ) 解析：已知 4 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，求 4 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的加和，我們可以令最小的自然數(shù)為 x，那么四個(gè)自然數(shù)分別為： x， x+1， x+2， x+3，那么這 4個(gè)自然數(shù)的和為 4x+6，所以我們可以進(jìn)一步得 知，這 4個(gè)數(shù)的和減去 6之后肯定能被 4整除，代入選項(xiàng)，只有 A符合 例 某校初一年級(jí)共三個(gè)班，一班與二班人數(shù)之和為 98，一班與三班人數(shù)之和為 106，二班與三班人數(shù)之和為 108，則二班人數(shù)為： ( )(2020年山東省公務(wù)員考試行測第 117題 ) 解析：一班 +二班 =98人，一班 +三班 =106，二班 +三班 =108人，我們很容易得到：一班 二班 三班，那么二班的人數(shù)滿足： 98/2二班 108/2，即 49二班 56，答案選擇 B。同時(shí)我們由 55和 65 可知， 4個(gè)人中年齡最大的人與年齡最小的人的年齡之差為 10 歲。這四個(gè)人中年齡最小的是 ( )(2020年廣東省公務(wù)員考試行測試卷第 8題 ) 解析： (1)本題也可以采用列多元方程組就求解 。 【例題講解】 例 有四個(gè)數(shù)，其中每三個(gè)數(shù)的和分別是 45， 46， 49， 52，那么這四個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)是多少 ?(2020年黑龍江省公務(wù)員考試行測試卷第 44題 ) A. 12 B. 18 C. 36 D. 45 解析： (1)這道題目常見的解法是： 假設(shè)四個(gè)數(shù)分別為 a， b， c， d，且 a a+b+c=45 a+b+d=46 a+c+d=49 b+c+d=52 進(jìn)而由以上方程組，我們可以得到， a=(45+46+49+52)/352=12 (2)運(yùn)用代入排除法解題： 題目中已知 4個(gè)數(shù)中每 3個(gè)數(shù)的和，求解的是其中最小的數(shù)是多少 ? 如果最小的是 18，那么最小的三個(gè)數(shù)的和最小為 18+19+20=5745，即答案不可能是 18或者 18以上，所以答案選 擇 A。有時(shí)候，直接從 “ 包含 ” 入手比較困難，可以間接從其反面 “ 不包含 ” 去想就會(huì)比較容易。如果兩次分配都是有余，則計(jì)算過程變成兩次剩余差除以兩次分配數(shù)之差。(7 5)=61人。對(duì)于這樣的問題，我們要做的是首先統(tǒng)一分配方法，即所有人采用相同的分配方法。如果有 30人每人各分 8箱，其余的每人分 7箱，則余下 20箱。 當(dāng)然本題還可以直接用人數(shù)能被 5整除來進(jìn)行判斷，選擇 B。 48+10=58人， 58247。聽報(bào)告的職工有多少人 ?(2020年河北省公務(wù)員考試行測第 119題 ) 15 解析：每 3人坐一條長椅，剩余 48人 。如果每 3人坐一條長椅， 那么剩下 48 個(gè)人沒有坐 。( 分配方法之差 )=房間數(shù)。4=5 間，還有一間只有 4人，可以很容易得到房間為 5+1=6間，那么總?cè)藬?shù)為 64+20=44 人。每間住 8人，有一間缺 4人沒住滿。( 每個(gè)單位的差 )=單位數(shù) (虧一虧 )247。我們有如下的公式： (盈 +虧 )247。 解盈虧問題常常用到比較法。如果物體不夠分，少了，叫虧。 【盈虧問題介紹】 現(xiàn)在把若干物體平均分給一定數(shù)量的對(duì)象，并不是每次都能正好分完。由此我們可以推斷扶梯和乙的速度比為 12： 6=2： 1，因?yàn)闀r(shí)間相同時(shí)路程比等于速度比，也就說明了扶梯的速度和甲的速度相等，那么相同時(shí)間甲和扶梯的路程也相等，所以扶梯的級(jí)數(shù)為 362=72 。 根據(jù)題意我們知道甲乙二人的速度比為 2： 1，所以當(dāng)甲到達(dá)扶梯頂部時(shí)也就是甲走了 36級(jí)時(shí)，乙走了 18級(jí)，由于二人乘坐的電梯速度相同又同步，所以兩種方式電梯走過的路程相同，此時(shí)乙距離頂部還有 3618=18級(jí)。而這兩種方式甲走了 36級(jí)扶梯，乙走了 24級(jí)扶梯，又因?yàn)榧酌糠昼娮叻鎏莸募?jí)數(shù)是乙的 2倍， 、乙二人的速度比為 2： 1，所以方程式的右邊是甲、乙到達(dá)頂部所花費(fèi)的時(shí)間比，從而可以列出上述方程，求得結(jié)果。 方法一：方程法 我們?cè)O(shè)自動(dòng)扶梯有 N級(jí)露在外面，則可列出如下的方程： ，求得 N=72。 很多考生因?yàn)榻獯鸫祟}沒有思路，從戰(zhàn)略的角度放棄了此題，實(shí)際上，如果運(yùn)用正確的解題方法，考生完全可以在短時(shí)間內(nèi)得出正確的答案。當(dāng)甲走了36 級(jí)到達(dá)頂部，而乙則走了 24 級(jí)到頂部。 上面講解了一道國家公務(wù)員考試中的電梯試題的簡單解法，接下來看一道在考試中被大部分考生戰(zhàn)略性放棄而實(shí)際上并不難做的試題。此題的思維過程清楚明晰，如果考生想更 加直觀的題解，也可以采用畫圖的辦法，具體過程可以自己演示。所以這道題答案是 (80+40)247。顯然男孩和女孩所走的路程比為 80： 40=2：1，而根據(jù)題意可知男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的 2倍 ，也就是說男孩的 速度是女孩的兩倍。【 2020 年國家公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測驗(yàn)真題二類卷47題】 根據(jù)題意可知男孩逆電梯而行，電梯給男孩幫了倒忙，男孩所走的 80級(jí)比電梯靜止時(shí)的扶梯級(jí)數(shù)多，由于電梯幫倒忙而讓男孩多走了一些冤枉路。 例一：商場的自動(dòng)扶梯勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下走動(dòng)，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了 40級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了 80 級(jí)到達(dá)樓下。 電梯類試題 其實(shí)電梯類試題在掌握住了基本公式之后，就可以用很簡單的代數(shù)方法或者方程法在短時(shí)間內(nèi)得出正確答案。 【例 2】【國 202074】某市對(duì) ，其中有 8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格， 10 種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)， 9 種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時(shí)兩項(xiàng)不合格的有 7 種，有 1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格，則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種 ? A. 37 【解析】 ，直接套用公式： W=x+7+1 8+10+9=x1+72+13 可以解除 W=18，所以至少有一項(xiàng)不合格的有 18種，則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有 5218=34。 【例 1】【江蘇 2020A類 19】某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向 125人進(jìn)行調(diào)查，有 89人看過甲片，有 47人看過乙片，有 63 人看過丙片，其中有 24人三部電影全看過， 20 人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是 ( ) 13 A. 69 【解析】 D。 首先我們來了解下什么是三集合整體重復(fù)型核心公式： 在三集合題型中，假設(shè)滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量分別時(shí) A、 B和 C，而 至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量為 W。 在三集合整體重復(fù)型的題目中，我們需要辨認(rèn) A、 B、 C， x、 y、 z具體指代什么，特別是需要搞清 W是哪個(gè)量，這里再強(qiáng)調(diào)一遍，至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量為 W，而并非題目總量即為 W，只要掌握這一點(diǎn)，這類題目即可迎刃而解。本題的特征也很明顯，直接套用公式，只是要注意的是，題目中最后問的是接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)，我們求出 W之后，還需要再加上不參加其中任何一種考試的那 15 個(gè)人， W=x+46+24 63+89+47=x1+462+243 通過解方程，可以求出 W=105，這只是至少準(zhǔn)備參加一種考試的人數(shù)，所以接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 105+15=120。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有 63 人，準(zhǔn)備參加英語六級(jí)考試的有 89 人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有 47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有 24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加 的有 46人，不參加其中任何一種考試的有 15人。其中，滿足一個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為 x，滿足兩個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為 y，滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為 z，根據(jù)右圖可以得到下滿兩個(gè)等式： W=x+y+z A+B+C=x1+y2+z3 下面我們來看幾道典型的三集合整體重復(fù)型的題目。本題也是一道典型的三集合整體重復(fù)型題目，直接套用三集合整體重復(fù)型公式： 12 W=x+y+z A+B+C=x1+y2+z3 這里需要注意的是 W=105，而非 125， 105=x+y+24 89+47+63=x1+y2+243 兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，解出 y=46，這里 y表示只看過兩部電影的人數(shù)，即所求。所以選擇 B選項(xiàng)。60]=2 ， 2+1=3。在 1 分 50 秒的時(shí)間內(nèi)兩人共游了(+)11/6=165 米。