【文章內(nèi)容簡介】 D、 E五個(gè)人排隊(duì)，要求 A和 B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法 ? 解析：題中要求 AB兩人不站在一起，所以可以先將除 A和 B之外的 3個(gè)人排成一排，方法數(shù)為，然后再將A和 B分別插入到其余 3個(gè)人排隊(duì)所形成的 4個(gè)空中，也就是從 4個(gè)空中挑出兩個(gè)并排上兩個(gè)人，其方法數(shù)為，因此總方法數(shù)。 8 【例題】 8個(gè)人排成一隊(duì)，要求甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，有多少種方法 ? 解析：甲乙相鄰，可以捆綁看作一個(gè)元素，但這個(gè)整體元素又和丙不相鄰，所以先不排這個(gè)甲乙丙，而是排剩下的 5個(gè)人，方法數(shù)為，然后再將甲乙構(gòu)成的整體元素及丙這兩個(gè)元素插入到此前 5人所形成的 6個(gè)空里，方法數(shù)為，另外甲乙兩個(gè)人內(nèi)部還存在排序要求為。故總 方法數(shù)為。 【練習(xí)】 5個(gè)男生 3個(gè)女生排成一排，要求女生不能相鄰，有多少種方法 ? 注釋：將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注釋是否能夠插入兩端位置。 【例題】若有 A、 B、 C、 D、 E五個(gè)人排隊(duì)，要求 A和 B 兩個(gè)人必須不站在一起，且 A和 B不能站在兩端，則有多少排隊(duì)方法 ? 解析：原理同前，也是先排好 C、 D、 E 三個(gè)人，然后將 A、 B 查到 C、 D、 E 所形成的兩個(gè)空中，因?yàn)?A、 B不站兩端，所以只有兩個(gè)空可選，方法總數(shù)為。 注釋：對于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡單記為 “ 相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法 ” 。 三 、插板法 精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少 1的板插入元素之間形成分組的解題策略。 提醒：其首要特點(diǎn)是元素相同，其次是每組至少含有一個(gè)元素，一般用于組合問題中。 【例題】將 8個(gè)完全相同的球放到 3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法 ? 解析：解決這道問題只需要將 8 個(gè)球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個(gè)盒子中即可。因此問題只需要把 8個(gè)球分成三組即可，于是可以講 8個(gè)球排成一排，然后用兩個(gè)板查到 8個(gè)球所形成的空里，即可 順利的把 8 個(gè)球分成三組。其中第一個(gè)板前面的球放到第一個(gè)盒子中，第一個(gè)板和第二個(gè)板之間的球放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的球放到第三個(gè)盒子中去。因?yàn)槊總€(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此兩個(gè)板不能放在同一個(gè)空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是。 (板也是無區(qū)別的 ) 【例題】有 9顆相同的糖，每天至少吃 1顆，要 4天吃完，有多少種吃法 ? 解析：原理同上，只需要用 3個(gè)板插入到 9 顆糖形成的 8個(gè)內(nèi)部空隙，將 9 顆糖分成 4 組且每組數(shù)目不少于 1即可。因而 3個(gè)板互不相鄰，其方法數(shù)為。 【練習(xí)】現(xiàn)有 10個(gè)完全相同的籃球全部分給 7個(gè)班級，每班至少 1個(gè)球，問共有多少種不同的分法 ? 注釋：每組允許有零個(gè)元素時(shí)也可以用插板法，其原理不同，注意下題解法的區(qū)別。 【例題】將 8個(gè)完全相同的球放到 3個(gè)不同的盒子中，一共有多少種方法 ? 解析：此題中沒有要求每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍舊是插入 2個(gè)板，分成三組。但在分組的過程中，允許兩塊板之間沒有球。其考慮思維為插入兩塊板后，與原來的 8個(gè)球一共 10個(gè)元素。所有方法數(shù)實(shí)際是這 10個(gè)元素的一個(gè)隊(duì)列，但因?yàn)榍蛑g無差別，板之間無差別，所以方法數(shù)實(shí)際為從 10個(gè)元素所 占的 10個(gè)位置中挑 2個(gè)位置放上 2個(gè)板，其余位置全部放球即可。因此方法數(shù)為。 注釋：特別注意插板法與捆綁法、插空法的區(qū)別之處在于其元素是相同的。 四、具體應(yīng)用 【例題】一條馬路上有編號為 ?? 、 9 的九盞路燈，現(xiàn)為了節(jié)約用電，要將其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種 ? 解析：要關(guān)掉 9 盞燈中的 3盞，但要求相鄰的燈不能關(guān)閉，因此可以先將要關(guān)掉的 3盞燈拿出來，這樣還剩 6 盞燈，現(xiàn)在只需把準(zhǔn)備關(guān)閉的 3盞燈插入到亮著的 6 盞燈所形成的空隙之間即可。 6盞燈的內(nèi)部及兩 端共有 7個(gè)空，故方法數(shù)為。 【例題】一條馬路的兩邊各立著 10盞電燈，現(xiàn)在為了節(jié)省用電，決定每邊關(guān)掉 3盞，但為了安全，道路起點(diǎn)和終點(diǎn)兩邊的燈必須是亮的，而且任意一邊不能連續(xù)關(guān)掉兩盞。問總共可以有多少總方案 ? A、 120B、 320C、 400D、 420 解析：考慮一側(cè)的關(guān)燈方法， 10盞燈關(guān)掉 3盞，還剩 7盞，因?yàn)閮啥说臒舨荒荜P(guān)，表示 3盞關(guān)掉的燈只能插在 7盞燈形成的 6個(gè)內(nèi)部空隙中，而不能放在兩端，故方法數(shù)為，總方法數(shù)為。 注釋：因?yàn)閮蛇呹P(guān)掉的種數(shù)肯定是一樣的 (因?yàn)閮蛇吺峭鹊匚?)，而且總的種數(shù)是一邊的 種數(shù)乘以另一邊的種數(shù)，因此關(guān)的方案數(shù)一定是個(gè)平方數(shù)，只有 C符合。 9 數(shù)字推理 題 基本思路： 第一反應(yīng)是兩項(xiàng)間相減，相除，平方，立方。所謂萬變不離其綜，數(shù)字推理考察最基本的形式是等差，等比，平方，立方，質(zhì)數(shù)列，合數(shù)列。 相減，是否二級等差。 8， 15， 24， 35， (48) 相除，如商約有規(guī)律，則為隱藏等比。 4， 7， 15， 29， 59， (59*21)初看相領(lǐng)項(xiàng)的商約為 2，再看 4*21=7,7*2+1=15?? 特殊觀察： 項(xiàng)很多，分組。三個(gè)一組，兩個(gè)一組 4， 3， 1， 12， 9， 3， 17， 5， (12) 三個(gè)一組 19， 4， 18， 3， 16， 1， 17， (2) 2， 1， 4， 0， 5， 4， 7， 9， 11， (14)兩項(xiàng)和為平方數(shù)列。 400， 200， 380， 190， 350， 170， 300， (130)兩項(xiàng)差為等差數(shù)列 隔項(xiàng)，是否有規(guī)律 0， 12， 24， 14， 120， 16(7^37) 數(shù)字從小到大到小，與指數(shù)有關(guān) 1， 32， 81， 64， 25， 6， 1， 1/8 隔項(xiàng)，是否有規(guī)律 0， 12， 24， 14， 120， 16(7^37) 每個(gè)數(shù)都兩個(gè)數(shù)以上，考 慮拆分相加 (相乘 )法。 87， 57， 36， 19， (1*9+1) 256， 269， 286， 302， (302+3+0+2) 數(shù)跳得大，與次方 (不是特別大 )，乘法 (跳得很大 )有關(guān) 1， 2， 6， 42， (42^2+42) 3， 7， 16， 107， (16*1075) 每三項(xiàng) /二項(xiàng)相加，是否有規(guī)律。 1， 2， 5， 20， 39， (1252039) 21， 15， 34， 30， 51， (10^251) C=A^2B及變形 (看到前面都是正數(shù)，突然一個(gè)負(fù)數(shù)，可以試試 ) 3， 5， 4， 21， (4^221),446 5， 6， 19， 17， 344,(55) 1， 0， 1， 2， 9， (9^3+1) C=A^2+B及變形 (數(shù)字變化較大 ) 1， 6， 7， 43， (49+43) 1， 2， 5， 27， (5+27^2) 分?jǐn)?shù)，通分，使分子 /分母相同，或者分子分母之間有聯(lián)系。 /也有考慮到等比的可能 2/3， 1/3， 2/9， 1/6， (2/15) 3/1， 5/2， 7/2， 12/5， (18/7)分子分母相減為質(zhì)數(shù)列 1/2， 5/4， 11/7， 19/12， 28/19， (38/30)分母差為合 數(shù)列，分子差為質(zhì)數(shù)列。 3， 2， 7/2， 12/5， (12/1) 通分， 3,2 變形為 3/1， 6/3，則各項(xiàng)分子、分母差為質(zhì)數(shù)數(shù)列。 64， 48， 36， 27， 81/4， (243/16)等比數(shù)列。 出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，則要考慮合數(shù)數(shù)列變種的可能。 7， 9， 11， 12， 13， (12+3) 8， 12， 16， 18， 20， (12*2) 10 突然出現(xiàn)非正常的數(shù)，考慮 C項(xiàng)等于 A項(xiàng)和 B項(xiàng)之間加減乘除，或者與常數(shù) /數(shù)列的變形 2， 1， 7， 23， 83， (A*2+B*3)思路是將 C化為 A與 B的變形，再嘗試是 否正確。 1， 3， 4， 7， 11， (18) 8， 5， 3， 2， 1， 1， (11) 首尾項(xiàng)的關(guān)系，出現(xiàn)大小亂現(xiàn)的規(guī)律就要考慮。 3， 6， 4， (18)， 12， 24 首尾相乘 10， 4， 3， 5， 4， (2)首尾相加 旁邊兩項(xiàng) (如 a1,a3)與中間項(xiàng) (如 a2)的關(guān)系 1， 4， 3， 1， 4， 3， ( 3─( 4) ) 1/2， 1/6， 1/3， 2， 6， 3， (1/2) B項(xiàng)等于 A項(xiàng)乘一個(gè)數(shù)后加減一個(gè)常數(shù) 3， 5， 9， 17， (33) 5， 6， 8， 12， 20， (20*24) 如果出現(xiàn)從大排到小的數(shù)，可能是 A項(xiàng)等于 B項(xiàng)與 C項(xiàng)之間加減乘除。 157,65,27,11,5,(115*2) 一個(gè)數(shù)反復(fù)出現(xiàn)可能是次方關(guān)系，也可能是差值關(guān)系 1， 2， 1， 2， (7) 差值是 2級等差 1， 0， 1， 0， 7， (2^66^2) 1， 0， 1， 8， 9， (4^1) 除 3求余題，做題沒想法時(shí)，試試 (亦有除 5求余 ) 4,9,1,3,7,6,( C) . (余數(shù)是 1,0,1,0,10,1) 3怪題： 日期型 ： 210029， 2100213， 2100218， 2100224， (210033) 結(jié)繩計(jì)數(shù) ： 1212， 2122， 3211， 131221， (311322) 2122指 1212有 2個(gè) 1， 2個(gè) 2. 新題型 ： 256， 269， 286， 302， () A 254 B 307 C 294 D 316 256+2+5+6=269 286=269+2+8+6 302=286+2+8+6 302+3+0+2=307 行程問題 小王步行的速度比跑步慢 50%，跑步的速度比騎車慢 50%。如果他騎車從 A城去 B城，再步行返回 A城共需要 2小時(shí)。問小王跑步從 A城到 B城需要多少分鐘 ? A. 45 B. 48 C. 56 D. 60 方法提示：行程問題與我們的實(shí)際生活緊密相連，解決行程問題的基本方法有：方程法，圖示法，比例法等。 答案解析：【答案】 B 【解析】本題屬于行程問題。 比例方法：設(shè)騎車、跑步、步行的速度分別為 1，因?yàn)轵T車：步行 =4： 1，所以騎車時(shí)間：步行時(shí)間=1： 4，所以步行時(shí)間 =24/5=8/5 小時(shí)，因?yàn)榕懿剑翰叫?=2： 1，所以跑步時(shí)間：步行時(shí)間 =1： 2，跑步時(shí)間=8/51/2=4/ 5小時(shí) =48分鐘。 方程方法：設(shè)騎車、跑步、步行的速度分別為 1， A、 B的距離為 L，則有 解得 L=96，因此小王跑步從 A城到 B城需要 分鐘，所以選擇 B選項(xiàng)。 解決行程問題，首先我們應(yīng)該掌握一些核心的知識點(diǎn)和公式： 11 比例型行程問題 路程一定，速度與時(shí)間成反比 。時(shí)間一定，路程與速度成正比 。速度一定， 路程與時(shí)間成正比。 相對速度問題 相遇 (背離 )距離 =(大速度 +小速度 ) 相遇 (背離 )時(shí)間 追及距離 =(大速度 小速度 ) 時(shí)間 【例 2】 (國考 2020)甲、乙兩人在長 30 米的泳池內(nèi)游泳，甲每分鐘游 米，乙每分鐘游 ，兩人同時(shí)分別從泳池的兩端出發(fā)，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，則從出發(fā)開始計(jì)算的 1分 50秒內(nèi)兩人共相遇了多少次 ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】 B 圖示法： 第一次相遇兩人共游 30米， 分鐘 =20秒，第二次相遇后，兩人共游 (+)1 分鐘 =60米，第三次相遇兩人又游 60米，因此第一次相遇之后兩人每次相遇都在前一次相遇之后又游了 60 米。在 1 分 50 秒的時(shí)間內(nèi)兩人共游了(+)11/6=165 米。 [(16530)247。60]=2 ， 2+1=3。 ([]表示取整 )，因此兩人共相遇了 3 次。所以選擇 B選項(xiàng)。 三集合整體重復(fù) 題： 、乙、丙三部電影的收看情況向 125人進(jìn)行調(diào)查，有 89 人看過甲片，有 47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有 24人三部電影全看過， 20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是 ( )【江蘇 2020A類 19】 A. 69 方法提示：本題也是一道典型的三集合整體重 復(fù)型題目，直接套用三集合整體重復(fù)型公式 答案解析：【答案】 D。本題也是一道典型的三集合整體重復(fù)型題目，直接套用三集合整體重復(fù)型公式： 12 W=x+y+z A+B+C=x1+y2+z3 這里需要注意的是 W=105，而非 125， 105=x+y+24 89+47+63=x1+y2+243 兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，解出 y=46，這里 y表示只看過兩部電影的人數(shù)，即所求。 首先我們來了解下什么是三集合整體重復(fù)型核心公式： 在三集合題型中，假