多元統(tǒng)計(jì)分析聚類分析講義(參考版)
2024-09-04 16:58本頁面
【正文】 【作業(yè)】 T r e e D ia g r a m f o r 3 0 C a s e sW a r d ` s m e t h o dE u c lid e a n d is t a n c e s新 疆重 慶云 南廣 西寧 夏青 海海 南甘 肅陜 西貴 州江 西吉 林內(nèi)蒙古山 西河 南四 川湖 南安 徽黑龍江湖 北遼 寧河 北廣 東浙 江山 東江 蘇福 建天 津上 海北 京0500010000150002020025000300003500040000Linkage Distance圖 25 2020年系統(tǒng)聚類的結(jié)果 。 案例 2：根據(jù)信息基礎(chǔ)設(shè)施的發(fā)展?fàn)顩r，對(duì)世界 20個(gè)國家和地區(qū)進(jìn)行分類 二、 課題研究中的 案例 案例 3： 區(qū)域產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)與區(qū)域消費(fèi)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)問題研究 在實(shí)際應(yīng)用中，離差平方和法應(yīng)用比較廣泛，分類效果較好，但要求樣本之間的距離必須為歐氏距離。 一、 教材中的案例 案例 1：為了更深入地了解我國人口的文化程度狀況，現(xiàn)利用 1990 年全國人口普查數(shù)據(jù)對(duì)全國 30 個(gè)省、直轄市、自治區(qū)進(jìn)行聚類分析。 第 頁 11 167。 第 頁 10 STEP03：由(1)D出發(fā)，重復(fù)步驟 2得到對(duì)稱矩陣(2)D，從(2)D出發(fā)得到(2)D，依此類推，直到 n 個(gè)樣品（變量）聚為一個(gè)大類為止。 ② 也可將相似系數(shù)轉(zhuǎn)化為距離，以維持距離越小，關(guān)系越密切的含義。在 (0)D 中劃去 pG 與 qG 所對(duì)應(yīng)的兩行和兩列，并加入由新類 ? ?,r p qG G G?與剩下的未聚合的各類之間的距離所組成的一行和一列，得到一個(gè)新的距離矩陣 (1)D ， (1)D 是一個(gè) 1n? 階對(duì)稱陣（若在 (0)D 中最小元素不唯一，對(duì)其它最小元素也作如上相同處理，每合并兩類，矩陣 (0)D 則降低一階）。記 (0)DD。 有了樣品之間的距離（或變量之間的相似系數(shù)）以及類與類之間的距離定義后，便可以進(jìn)行譜系聚類，其基本步驟歸納如下： STEP01： n 個(gè)樣品（變量）一開始就作為 n 個(gè)類，計(jì)算兩兩之間的距離（或相似系數(shù)）構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱矩陣 ? ?ij nnDd??，其對(duì)角線上的元素全為零（對(duì)相似系數(shù)矩陣，其對(duì)角線上元素全為 1）。但這些公式在 1967 年由蘭斯（ Lance）和威廉姆斯（ Williams）統(tǒng)一起來。它定義 類與類之間的相似系數(shù)（最小、最大、平均），并且按照最大的相似系數(shù)進(jìn)行并類 ② 。 結(jié)論： （ 1） 各種聚類方法具有共同步驟 首先定義類與類之間的距離；其次找到類與新類之間距離的遞推公式； （ 2）以上類與類之間的距離，不但適用于對(duì)樣品的聚類問題，而且也適合于對(duì)變量的聚類問題，這只要將 ijd 用變量間的相似系數(shù) ijC 代替，相應(yīng)的距離可稱之為類與類之間的相似系數(shù)。其含義為：把兩類合并增加的離差平方和，當(dāng)成是兩類之間距離的平方。 （ 2）基本做法 不妨設(shè)將 n 個(gè)樣品分成了 k 類： 12, , , kG G G ，用 ()tiX 表示 tG 中的第 i 個(gè)樣品（這里 ()tiX 是 p 維向量），tn 表示 tG 中的樣品個(gè)數(shù)， ()tX 是 tG 的重心，則 tG 中樣品的離差平方和為 第 頁 9 ? ? ? ?1 ( ) ( ) ( ) ( )1n t t t tt i iiS X X X X? ?? ? ?? k 個(gè)類的類內(nèi)離差平方和為 ? ? ? ?1 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1nkk t t t tt i it t iS S X X X X? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 首先將 n 個(gè)樣品看成各自一類，然后每次縮小一類，每縮小一類，離差平方和就要增大，選擇使得離差平方和增加最小的二類進(jìn)行合并，直到所有的樣品歸為一類 ① 。 8．離差平方和法 該方法是 Ward提出，所以又稱 Ward方法。 （ 2）基本步驟 基本步驟完全等同于最短距離法。 7．可變距離法 （ 1） 由 可變類平均距離法可以得到一個(gè)特例，即令 12pqrrnn??，得到： ? ?2 2 2 21 2kr kp kq pqD D D D? ??? ? ? 其中 ? 是可變的，且 1?? 。 設(shè) pG 與 qG 合并成新類 rG ，則任一類 kG 與 rG 之間的距離為 2 ( 1 ) ( , ) ( 1 ) ( , ) ( , ) ( 1 ) ( 1 )p q p qk r k p k q p q k p k q p qr r r rn n n nD D G G D G G D G G D D Dn n n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中 ? 是可變的，且 1?? （ 2）基本步驟 基本步驟完全等同于最短距離法。 （ 1）定義距離：其距離的定義仍為221i p j qpq ijx G x GpqDdnn ??? ??。 （ 3）例 子： P80續(xù)例 1。 5．類平均距離法 （ 1）重心距離法雖然具有一定的代表性，但并未充分利用各樣品點(diǎn)所包括的距離信息，為此給出類平均距離法。 Gp Gq Gk Gr Dkq Dkp Dkr 第 頁 8 （ 2）基本步驟 基本步驟完全等同于最短距離法。 ③ 每類的重心就是該類（組）樣本點(diǎn)的均值。 ① 在實(shí)際問題中，一般事先給定分類的數(shù)目，或給定閾值 T，要求 類與類之間的距離小于 T。則 ? ?1r p p q qrx n x n xn??。它將兩類之間的距離定義兩類重心 ③ 之間的距 離。 （ 3）例子： P76續(xù)例 1。 如果 r p qG G G? ，則任一類 kG 與新類 rG 的距離公式為： 2 2 2 21122kr kp kq pqD D D D?? ? ? 1 04 ?? ? ?② NOTE：① 當(dāng) 14???時(shí)， krD 為三角形的中線； ② 如果用最短距離法，則 kr kpDD? ；如果用最長距離法，則 kr kqDD? 。 （ 3）例子： P74續(xù) 例 1。 （ 2）基本步驟 基本步驟完全等同于最短距離法。 （ 3）例子： P71例 1。 第 頁 7 STEP04：對(duì) (1)D ，重復(fù)上述對(duì) (0)D 的 STEP02 和 STEP03 兩步得 (2)D 。 213 1 3 21 2 300( 0 ) 00n n ndD d dd d
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