高三上學(xué)期期中、期末考試分類解析12：圓錐曲線(參考版)
2024-09-02 21:02本頁面
【正文】 （ⅱ）若直線 l 與x 軸不垂直，是否存在直線 l 使得 QAB? 為等腰三角形？如果存在，求出直線 l 的方程；如果不存在，請說明理由 . 解： （Ⅰ）設(shè)橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1( 0)xy abab? ? ? ?，且 2 2 2a b c=+. 由題意可知： 1b= ， 32ca= . ……… 2分 所以 2 4a= . 所以，橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 2 14x y??. ……… 3分 （Ⅱ ） 由（Ⅰ）得 ( 2,0)Q? .設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y. （?。┊?dāng)直線 l 垂直于 x 軸時，直線 l 的方程為 65x?? . 由226,514xx y? ?????? ???? 解得：6,545xy? ?????? ???或6,54.5xy? ?????? ???? 即 6 4 6 4( , ), ( , )5 5 5 5AB? ? ?（不妨設(shè)點 A 在 x 軸上方） .………… 5分 則直線 AQ 的斜率 1AQk ? ，直線 BQ 的斜率 1BQk ?? . 因為 1AQ BQkk? ?? ， 所以 AQ BQ^ . 所以 2AQB ???. ………… 6分 （ⅱ）當(dāng)直線 l 與 x 軸不垂直時，由題意可設(shè)直線 AB 的方程為 6( )( 0)5y k x k? ? ?. 由226( ),514y k xx y? ?????? ????消去 y 得： 2 2 2 2( 25 10 0 ) 24 0 14 4 10 0 0k x k x k? ? ? ? ?. 因為 點 6( ,0)5 在橢圓 C 的內(nèi)部，顯然 0?? . 212 2212 2240 ,25 100144 100 .25 100kxxkkxxk? ? ? ??? ?? ?? ?? ?? …………… 8分 因為 1 1 2 2( 2 , ) , ( 2 , )Q A x y Q B x y? ? ? ?，116()5y k x??，226()5y k x??， 所以 1 2 1 2( 2 ) ( 2 )Q A Q B x x y y? ? ? ? ? 1 2 1 266( 2 ) ( 2 ) ( ) ( )55x x k x k x? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 2 1 26 3 6( 1 ) ( 2 ) ( ) 45 2 5k x x k x x k? ? ? ? ? ? ? 222 2 22214 4 10 0 6 24 0 36( 1 ) ( 2 ) ( ) 4 025 10 0 5 25 10 0 25kkk k kkk?? ? ? ? ? ? ? ???. 所以 QA QB? . 所以 QAB? 為直角三角形 . ……………… 11分 假設(shè)存在直線 l 使得 QAB? 為等腰三角形，則 QA QB? . 取 AB 的中點 M ，連接 QM ，則 QM AB^ . 記點 6( ,0)5 為 N . 另一方面，點 M 的橫坐標(biāo) 2212221 2 0 2 42 2 5 1 0 0 5 2 0M xx kkx kk+= = = ++， 所以 點 M 的縱坐標(biāo)266()5 5 2 0MM ky k x k= + = +. 所以 22 2 2 21 0 1 6 6 6 6( , ) ( , )5 2 0 5 2 0 5 2 0 5 2 0k k kQ M N M k k k k+??+ + + + 22260 132 0(5 20 )kk+=?+. 所以 QM 與 NM 不垂直，矛盾 . 所以 當(dāng)直線 l 與 x 軸不垂直時，不存在直線 l 使得 QAB? 為等腰三角形 .………… 13分 20.（ 2020年東城區(qū)高三期末考試文 19） 已知橢圓 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的左、右焦點分別為 1F ， 2F ， 點 ? ?0,2M 是橢圓的一個頂點，△ 21MFF 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點 M 分別作 直線 MA， MB 交橢圓于 A ， B 兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為 1k ， 2k ，且 128kk??，證明：直線 AB 過定點（ 2,21?? ）． 解： （Ⅰ ）由已知可得 ? ?222, 2 8b a b? ? ?， 所求橢圓方程為 22184xy??． … 5分 （Ⅱ）若直線 AB 的斜率存在，設(shè) AB 方程為 y kx m??，依題意 2??m ． NQBAOyx設(shè) ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 由 ?????????,148 22mkxyyx 得 ? ?2 2 21 2 4 2 8 0k x km x m? ? ? ? ?． … 7分 則 21 2 1 2224 2 8,1 2 1 2k m mx x x xkk ?? ? ? ???． 由已知 12228yyxx????， 所以 121222 8kx m kx mxx? ? ? ???， 即 ? ? 12122 2 8xxkm xx?? ? ?． … 10分 所以 42mkk m??? ，整理得 1 22mk??． 故直線 AB 的方程為 1 22y kx k? ? ? ，即 ky? （ 21?x ） 2? ． 所以直線 AB 過定點（ 2,21?? ）．
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