【正文】 例如，二項(xiàng)。如表 (不考慮誤差 ). 表 可加性模型與非可加性模型的比較 處 理 可加性 倍加性 對(duì)倍加性取對(duì)數(shù) (lg10) 1 2 1 2 1 2 A 10 20 10 20 B 30 40 30 60 (2)試驗(yàn)誤差 應(yīng)該是隨機(jī)的、彼此獨(dú)立的，具有平均數(shù)為零而且作正態(tài)分布，即 “正態(tài)性”（ normality） . 因?yàn)槎鄻颖镜?F測(cè)驗(yàn)是假定 k個(gè)樣本從 k個(gè)正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的，所以一定是隨機(jī)性的。 有一種非可加性事例是效應(yīng)表現(xiàn)為倍加性。38) 因?yàn)槿愒蚓髯元?dú)立，所以右邊有三個(gè)乘積和，即 、 和 ，皆為零值。所有進(jìn)行方差分析的數(shù)據(jù)都可以分解成幾個(gè)分量之和，以例 資料 (樣本 )采用 6生長(zhǎng)素處理試驗(yàn)資料為例，該資料具有三類原因或效應(yīng)： (1)處理 (生長(zhǎng)素 )原因或效應(yīng)； (2)環(huán)境 (組 )原因或效應(yīng)； (3)試驗(yàn)誤差 (這是處理內(nèi)和環(huán)境內(nèi)的其它非可控因素的變異 )。 表 表 LSR值 p 2 3 表 表 肥料種類 平 均 數(shù) 差 異 顯 著 性 A1 a A A3 b B A2 b B 由表 ，肥料 A1與 A A2均有極顯著的差異；但 A3與 A2無(wú)顯著差異。 表 表 處理組合 平均數(shù) (g) 差異顯著性 A1B1 a A A1B2 b B A1B3 b B A2B3 c C A3B2 c C A3B3 c C A3B1 c C A2B2 c C A2B1 c C ② 各肥類平均數(shù)的比較：肥類間的 F測(cè)驗(yàn)極顯著，說(shuō)明 ≠0。在此用新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)，求得： )(5 5 6039 2 80 g./. SE ??根據(jù) v =18，算得各 。 0)( ?ij?? 所以該試驗(yàn)肥類 土類的互作和肥類的效應(yīng)間差異都是極顯著的，而土類間無(wú)顯著差異。 jy表 3種肥料施于 3種土壤的小麥產(chǎn)量（ g） (a=3,b=3,n=3,abn=27) 肥料種類 (A) 盆 土壤種類 (B) 總和 平均 B1(油砂 ) B2(二合 ) B2(白僵 ) A1 1 2 3 A2 1 2 3 A3 1 2 3 總 和 T= 平 均 (1) 自由度和平方和的分解 726207333 )4409(2..C ????282 1 9014221421 222 .C...SS T ?????? ?582023 )640854762(222.C...SS t ?????? ?381 7 933 01 2 221 1 821 6 9222.C...SS A ??? ???96333 51 3 361 3 431 4 1222.C...SS B ??? ???2419963451 7 9582 0 2 ....SS AB ????7016582 0 2282 1 9 ...SS e ???表 表 ?????? 土類肥類土類間肥類間變異來(lái)源 DF SS MS F 處理組合間 8 ** 2 ** 2 4 ** 試驗(yàn)誤差 18 總 變 異 26 (2) F測(cè)驗(yàn) 以固定模型作 F測(cè)驗(yàn)。 jTijTijT試作方差分析。 2As 22 ??? bn? 222??? ??? bnn ??22 ??? bn?2Bs 22 ??? an? 222 ??? ??? ann ?? 222 ??? ??? ann ??2ABs 22 ???? n? 22 ???? n? 22 ???? n?2es 2?2?2?表 表 變異來(lái)源 MS 期望均方 (EMS) 模型 Ⅰ ： 固定模型 模型 Ⅱ ： 隨機(jī)模型 混合模型 (A隨機(jī)， B固定 ) A 因 素 B 因 素 A B互作 試驗(yàn)誤差 0?? j? i? ij)(??2?? 2??? 由表 ，對(duì)效應(yīng)和互作進(jìn)行 F測(cè)驗(yàn)的分母需因模型的不同而不同： 在固定模型時(shí)，測(cè)驗(yàn) H0： ， H0： 和 H0： 皆以 MSe為分母； 在隨機(jī)模型時(shí)，測(cè)驗(yàn) H0： 以 MSe為分母，而測(cè)驗(yàn)H0： 和 H0： 需以 MSAB為分母； 在 A隨機(jī) B固定的混合模型中，測(cè)驗(yàn) H0： 和 H0： 以 MSe為分母，而測(cè)驗(yàn) H0： 需以 MSAB為分母。? ? 0iτ ? ? 0jβi? j? ij)(??2??2??2??? 例如，若 A的效應(yīng)隨機(jī)， B的效應(yīng)固定，則滿足條件： ,而 和 皆為相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，遵循具平均數(shù) 0，方差分別為 和 的正態(tài)分布?；旌夏Ｐ偷募俣ㄊ且灰蛩氐男?yīng)隨機(jī)，另一因素的效應(yīng)固定。 在固定模型時(shí)，滿足條件： ， ， ； 對(duì)于隨機(jī)模型時(shí)，滿足條件： 、 和 都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，遵循正態(tài)分布，具平均數(shù) 0并分別有方差 、和 。BAijAB SSSSCnTSS ???? ? 2CanTSS jB ?? ? 2?????? 互作素因素因 BA B A CbnTSS iA ?? ? 2其各變異來(lái)源的自由度和平方和估計(jì)可見(jiàn)表。37) 上式的 為總體平均； 和 分別為因素 A和 B的效應(yīng)； 為 A B互作； 為隨機(jī)誤差，遵循分布 N(0， )。 by y y jy 平均 … 表 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的二因素試驗(yàn)，每處理組合有重復(fù)觀察值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) (i=1， 2， … ， a； j=1,2， … ， b； k=1,2， … ， n) b21j如果試驗(yàn)按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，則其資料類型如表 。結(jié)果赤霉素的效應(yīng)最強(qiáng)，吲哚乙酸次之，其余處理皆與對(duì)照無(wú)顯著差異。 (3) 處理間比較 此例有預(yù)先指定的對(duì)照，故用 LSD法。 02 ?A? 02 ?B? [例 ] 采用 5種生長(zhǎng)素處理豌豆，未處理為對(duì)照，待種子發(fā)芽后，分別每盆中移植 4株，每組為 6盆，每盆一個(gè)處理，試驗(yàn)共有 4組 24盆，并按組排于溫室中，使同組各盆的環(huán)境條件一致。其各項(xiàng)變異來(lái)源自由度和平方和的估計(jì)及方差分析見(jiàn)表 。 ? i? j?0?? i? 0?? j?2A?i? j? 2B? ij?2? (6y表 ： ijjiijy ???? ????(6iy1 y 表 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的二因素試驗(yàn)每處理組合只有一個(gè)觀察值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) （ i=1， 2， … ， a； j=1， 2， … ， b） A 因 素 B 因 素 總計(jì) Ti. 平均 B1 B2 … Bb A1 y11 y12 … y1b T1. A2 y21 y22 … y2b T2. Aa ya1 ya2 yab Ta. 總和 T. j … T.. 平均 … ? ? ?? ?jyy?? 一、組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的方差分析 1 第五節(jié) 兩向分組資料的方差分析 兩因素試驗(yàn)中若因素 A的每個(gè)水平與因素 B的每個(gè)水平均衡相遇 (或稱正交 )，則所得試驗(yàn)數(shù)據(jù)按兩個(gè)因素交叉分組稱為 兩向分組資料 。由 LSR值對(duì) 4種培養(yǎng)液植株生長(zhǎng)量進(jìn)行差異顯著性測(cè)驗(yàn)的結(jié)果列于表 。故前者不需再作多重比較，后者則需進(jìn)一步測(cè)驗(yàn)各平均數(shù)間的差異顯著性。 培養(yǎng)液 A B C D 總和 盆號(hào) A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3 生長(zhǎng)量 50 35 45 50 55 55 85 65 70 60 60 65 55 35 40 45 60 45 60 70 70 55 85 65 40 30 40 50 50 65 90 80 70 35 45 85 35 40 50 45 50 55 85 65 70 70 75 75 盆總和 Tij 180 140 175 190 215 220 320 280 280 220 265 290 T= 2775 培養(yǎng)液總和 Ti 495 625 880 775 培養(yǎng)液平均 iy表 4種培養(yǎng)液下的株高增長(zhǎng)量 (mm) (1) 自由度和平方和的分解 總變異自由度 DFT=lmn－ 1=(4?3?4)－ 1=47 培養(yǎng)液間自由度 DFt=l1=4－ 1=3 培養(yǎng)液內(nèi)盆間自由度 DFe1=l(m－ 1)=4?(3－ 1)=8 盆內(nèi)株間自由度 DFe2=lm(n－ 1)=4?3?(4－ 1)=36 691 6 0 4 2 9434 27752.C ????總變異平方和 2222 ???????? ? CCySS T ? 培養(yǎng)液間平方和 1 2 643 7 7 58 8 06 2 54 9 52222??? ?????? ? CCmn TSS it培養(yǎng)液內(nèi)盆間平方和 ????? ?? mnTnTSS iije 盆內(nèi)株間平方和 2 0 6 8 8 1 81 7 2 0 2 5222 ????? ?? nTySS ije (2) F測(cè)驗(yàn) 表 表 變異來(lái)源 DF SS MS F 培養(yǎng)液間 3 ** 培養(yǎng)液內(nèi)盆間 8 盆內(nèi)株間 36 總 變 異 47 盆間差異的 F測(cè)驗(yàn)，假設(shè) H0： ，求得： 0?2e?7710689811 5 7 ../.F ?? 查表得 , v1=8, v2=36時(shí) ， =F， 故接受 H0： 。34) 若進(jìn)行組內(nèi)亞組間平均數(shù)的多重比較 ,則單個(gè)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為： nMSSE e 2?(632) 為測(cè)驗(yàn)各組間有無(wú)不同效應(yīng)，測(cè)驗(yàn)假設(shè) H0： ，或H0： ,即 H0: ，則 0?2??0?2??02 ???l??? ??? ??211et MSMSF ?(630) (4) 亞組內(nèi)的變異 ???????????? ? ? ? ?l m niji j kiji j keenTyyySSnlmDF1 1 1222 )()1(22 自由度 (628) (2) 組間 (處理間 )變異 ???????????? ?liittCmnTyymnSSlDF122 )(1 自由度 (626) (6 為組效應(yīng)或處理效應(yīng) i?固定模型 ( ) 0?? i?隨機(jī)模型 ～ N(0， ) 2??i? 為同組中各亞組的效應(yīng) ij?固定模型 ( ) 0?? ij?隨機(jī)模型 ～ N(0， ) ij?2e?ijk? 2? 表 3種來(lái)源的變異：（ 1）組間 (或處理間 )變異； （ 2）同一組內(nèi)亞組間變異； （ 3）同一亞組內(nèi)各重復(fù)觀察值間的變異。 組別 亞組 觀 察 值 亞組總和 Tij 亞組均 數(shù) 組總和 Ti 組均數(shù) 1 … T1 2 … T2 … i 1 yi11 yi12 … yi1k … y