【正文】 系統(tǒng)分組并不限于組內(nèi)僅分亞組，亞組內(nèi)還可分小組，小組內(nèi)還可分小亞組， …… ，如此一環(huán)套一環(huán)地分下去。 設(shè)一系統(tǒng)分組資料共有 l組，每組內(nèi)又分 m個(gè)亞組，每一亞組內(nèi)有 n觀察值，則該資料共有 lmn個(gè)觀察值，其資料類(lèi)型如表 。25) 其中 為總體平均； ? 為同一亞組中各觀察值的隨機(jī)變異，具有 N(0， )。 其自由度和平方和的估計(jì)如下： (1) 總變異 自由度 1?? l m nDFT? ? ???? l m nT CyyySS122)(lm nTC 2? (627) (629) (3) 同一組內(nèi)亞組間的變異 ???????????? ? ??l miijiijeemnTnTyynSSmlDF1 1222 )()1(11 自由度 (631) 1?l 2)(? ? yymni tMS 1et MSMS 222 ?? ??? mnn ??222 ?? ??? mnn ??)1( ?ml ? ? ? 2)( iij yyn1eMS 21 eeMSMS 2??? n? 22 ??? n?)1( ?nlm ? ? ? ? 2)( ijyy 2eMS 2? 2?1?lmn 2)(? ? yy表 二級(jí)系統(tǒng)分組資料的方差分析 變異來(lái)源 DF SS MS F 期望均方 (EMS) 混合模型 隨機(jī)模型 組 間 組內(nèi)亞組間 亞 組 內(nèi) 總 變 異 為測(cè)驗(yàn)各亞組間有無(wú)不同效應(yīng)，即測(cè)驗(yàn)假設(shè) H0： 則 21 ee MSMSF ?(633) 在進(jìn)行組間平均數(shù)的多重比較時(shí)，單個(gè)平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為： mnMSSE e 1? (635) [例 ] 在溫室內(nèi)以 4種培養(yǎng)液 (l=4)培養(yǎng)某作物 ,每種 3盆 (m=3)，每盆 4株 (n=4)，一個(gè)月后測(cè)定其株高生長(zhǎng)量 (mm)，得結(jié)果于表 ，試作方差分析。 0?2e?對(duì)培養(yǎng)液間有無(wú)不同效應(yīng)作 F測(cè)驗(yàn)，假設(shè) H0： ，求得： 02 ???0515811 5 7522 3 7 5 ../.F ?? 查表得 , v1=3, v2=8時(shí) ， =F， 故否定 H0： ， 接受 HA： ≠0. 02 ???2?? 推斷：該試驗(yàn)同一培養(yǎng)液內(nèi)各盆間的生長(zhǎng)量無(wú)顯著差異；而不同培養(yǎng)液間的生長(zhǎng)量有極顯著的差異。 (3) 各培養(yǎng)液平均數(shù)間的比較 根據(jù)期望均方，培養(yǎng)液平均數(shù)間的比較應(yīng)用 MSe1，求得： )(63343 8115 7 mm..SE ??? 按 v =8 ，由附表 7查得 p=2， 3， 4時(shí)的 ，并算得各 LSR值列于表 。 表 4種培養(yǎng)液的 LSR值 (新復(fù)極差測(cè)驗(yàn) ) P 2 3 4 表 4種培養(yǎng)液植株生長(zhǎng)量 (mm)的差異顯著性 培養(yǎng)液 平均生長(zhǎng)量 差異顯著性 C a A D a AB B b BC A b C 由表 ， 4種培養(yǎng)液對(duì)生長(zhǎng)量的效應(yīng)，除 C與 D、 B與 A差異不顯著外，其余對(duì)比均有顯著或極顯著差異。 一、組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的方差分析 二、組合內(nèi)有重復(fù)觀察值的兩向分組資料的方差分析 設(shè)有 A和 B兩個(gè)因素， A因素有 a個(gè)水平， B因素有 b個(gè)水平，每一處理組合僅有 1個(gè)觀察值，則全試驗(yàn)共有 ab個(gè)觀察值，其資料類(lèi)型如表 。y2ayby 2 y36) 上式的 為總體平均； 和 分別為 A和 B的效應(yīng)，可以是固定模型 ( ， ) 或隨機(jī)模型 [ ～ N(0， )， ～ N(0， )]；相互獨(dú)立的隨機(jī)誤差 服從正態(tài)總體 N(0， )。36)說(shuō)明表 ( )可分解為 A因素第 i水平效應(yīng) 、 B因素第 j水平效應(yīng) 和試驗(yàn)誤差 三個(gè)部分。 ??ijyi? j?ij?? ? ??? CbTyyb ii 22)( AMS eA MSMSCaTyya jj ??? ?? 22)( BMS eB MSMSeMS 2?? ? ??? Cyyy ij 22)( 表 表 變異來(lái)源 DF SS MS F 混合模型EMS (A固定， B隨機(jī) ) A因素 a － 1 B因素 b－ 1 誤 差 (a－ 1)(b－ 1) 總變異 ab－ 1 BATjiSSSSSSyyyy??????? 2)( 22 Ab?? ?22 Ba?? ?表 F測(cè)驗(yàn)所作假設(shè)為 H0： ； H0： 。當(dāng)各盆見(jiàn)第一朵花時(shí)記錄 4株豌豆的總節(jié)間數(shù)，結(jié)果列于表 ，試作方差分析。iy處 理 (A) 組 (B) 總和 Ti. 平均 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 未處理 (CK) 60 62 61 60 243 赤霉素 65 65 68 65 263 動(dòng)力精 63 61 61 60 245 吲哚乙酸 64 67 63 61 255 硫酸腺嘌吟 62 65 62 64 253 馬來(lái)酸 61 62 62 65 250 總和 T. j 375 382 377 375 T=1509 表 生長(zhǎng)素處理豌豆的試驗(yàn)結(jié)果 (1) 自由度和平方和的分解 389 4 8 7 84610592.C ???? ???????? 621 1 4656560 2222 .CCySS T ?87654)2 5 02 6 32 4 3( 2222 .C/CbTSS ???????? ? ?4556)3 7 53 7 73 8 23 7 5( 22222 .C/ jB ???????? ?30434558765621 1 4 ....SSSSSSSS BATe ???????表 表 變異來(lái)源 DF SS MS F 組 間 3 ＜ 1 處 理 間 5 誤 差 15 總 變 異 23 (2) F測(cè)驗(yàn) 上表對(duì)組間有無(wú)不同效應(yīng)作 F測(cè)驗(yàn)，假設(shè) H0： ，得： 02 ?B?1892481 ?? ./.F對(duì)處理間有無(wú)不同效應(yīng)作 F測(cè)驗(yàn)有 H0： 得： 02 ?A? F../.F ??? 推斷：組間環(huán)境條件無(wú)顯著差異，不同生長(zhǎng)素處理間有顯著差異。求得： 20214 8922 ..sji yy????(節(jié)間 ) 查得 =15時(shí)， =， =，故： ? = =(節(jié)間 )， = =(節(jié)間 ) 以 LSD測(cè)驗(yàn)各生長(zhǎng)素處理與對(duì)照的差異顯著性于表 。 表 豌豆生長(zhǎng)素處理后始花時(shí)的節(jié)間數(shù) (4株總和 ) 處 理 平 均 數(shù) 與對(duì)照的差數(shù) 對(duì) 照 赤 霉 素 ** 動(dòng) 力 精 吲 哚 乙 酸 * 硫 酸 腺 嘌 吟 馬 來(lái) 酸 二、組合內(nèi)有重復(fù)觀察值的兩向分組資料的方差分析 設(shè)有 A、 B兩個(gè)試驗(yàn)因素， A因素有 a個(gè)水平， B因素有 b個(gè)水平，共有 ab個(gè)處理組合，每一組合有 n個(gè)觀察值，則該資料有 abn個(gè)觀察值。 A因素 B因素 總和 平均 B1 B2 … Bb Ti A1 y111 y121 … y1b1 T1 y112 y122 … y1b2 y11n y12n … y1bn A2 y211 y221 … y2b1 T2 y212 y222 … y2b2 y21n y22n … y2bn Aa ya11 ya21 … yab1 Ta ya12 ya22 … yab2 ya1n ya2n … yabn 總和 T T T … T T12yayiy1y2y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ??表 ： i j kijjii j ky ?????? ????? )( (6 上式說(shuō)明表 ( )可分解為 A因素效應(yīng) 、 B因素效應(yīng) 、 A B互作 和試驗(yàn)誤差 四個(gè)部分。 ? i? j?ij)(?? ijk? 2???ijkyi? j?ij)(?? ijk?CnTSS ijt ?? ? 2ABBATe SSSSSSSSSS ????? ?? CySS T 2表 表 (C=T 2/abn) 變異來(lái)源 DF SS MS 處理組合 ab－ 1 a－ 1 b－ 1 (a－ 1)(b－ 1) 試驗(yàn)誤差 ab(n－ 1) 總 變 異 abn－ 1 2AA sMS ?2BB sMS ?2ABAB sMS ?2ee sMS ? 線性模型 的假定條件隨試驗(yàn)?zāi)Ｐ投煌? 由于有兩個(gè)試驗(yàn)因素，故在兩種模型的基礎(chǔ)上可產(chǎn)生第三種模型：混合模型。 i j kijjii j ky ?????? ????? )(0).()( ?? ?? ji ???? 各種模型的期望均方見(jiàn)表 。 0?i? 0?j? 0)( ?ij??02 ?τβσ02 ?τσ 02 ?βσ02 ?τσ 02 ????0?j? [例 ] 施用 A A A3 3種肥料于 B B B3 3種土壤，以小麥為指示作物，每處理組合種 3盆，得產(chǎn)量結(jié)果 (g)于表 。 iT iyijT 假設(shè) H0： , 求得 F=； 假設(shè) H0： ，求得 F=； 假設(shè) H0： , 求得 F=。 0?i?0?j? (3) 平均數(shù)的比較 ① 各處理組合平均數(shù)的比較：肥類(lèi) 土類(lèi)的互作顯著，說(shuō)明各處理組合的效應(yīng)不是各單因素效應(yīng)的簡(jiǎn)單相加，而是肥類(lèi)效應(yīng)隨土類(lèi)而不同 (或反之 )；所以宜進(jìn)一步比較各處理組合的平均數(shù)。 表 表 LSR值 (新復(fù)極差測(cè)驗(yàn) ) p 2 3 4 5 6 7 8 9 將表 Tij .值除以 n=3，即得各處理組合的平均數(shù)，以表 。求得肥類(lèi)平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤： i?)(32033 9280 g..SE ??? 故有各肥類(lèi)平均數(shù)的 LSR值于表 ，顯著性測(cè)驗(yàn)結(jié)果于表 。 綜上所述，表 ：肥料 A1 對(duì)小麥的增產(chǎn)效果最好，土類(lèi)間則無(wú)顯著差異；但 A1施于油砂土(A1B1)卻比施于其他土壤上更有突出的增產(chǎn)效果 第六節(jié) 方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 一、方差分析的基本假定 二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 一、方差分析的基本假定 方差分析是建立在線性可加模型的基礎(chǔ)上的。 故其線性模型為： ijijijy ???? ???? 建立這一模型，有如下 3個(gè)基本假定： (1) 處理效應(yīng)與環(huán)境效應(yīng)等應(yīng)該具有 “可加性” (additivity) 以組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的線性可加模型為例予以說(shuō)明，如對(duì)其取離差式，則 )()( ijjiijy ???? ????上式兩邊各取平方求其總和，則得平方和為： ? ? ????? ? 2222)( ijjiy ???? (6 ??? ??? ???當(dāng)從樣本估計(jì)時(shí)，則為： 或 eBAT SSSSSSSS ???樣本平方和的可加性 : ? ????????????2222)()()()( yyyyyyayybyyjiji 對(duì)于非可加性資料，一般需作對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換或其他轉(zhuǎn)換，使其效應(yīng)變?yōu)榭杉有?，才能符合方差分析的線性模型。將倍加性數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)尺度，則又表現(xiàn)為可加性模型。 ij? 如果試驗(yàn)誤差 不作正態(tài)分布，則將表現(xiàn)為一個(gè)處理的誤差趨向于作為處理平均數(shù)的一種