【正文】 例如表 ①和②的 。為此，須滿(mǎn)足下列 3個(gè) 條件： (1) 比較的數(shù)目必須為 k1，以使每一比較占有而且 僅占有 1個(gè)自由度； (2) 每一獨(dú)立比較的正交系數(shù)之和必須為 0，即 ? ? 0iC 以使每一比較都是均衡的 。 由上分析可知，處理的合并比較十分簡(jiǎn)便，值得推廣 應(yīng)用。 ? 如果要計(jì)算平均數(shù) ， 可由下式求得： ???Cn(12 也就是我們已將表 4個(gè)自由度的平方和再分解為屬于 4個(gè)獨(dú)立比較的平方和 ，各具 ， 因此 ， 將這種比較也稱(chēng)為單一自由度的獨(dú)立比較 (independent parison of single degree of freedom)， 其方差分析表于 (與表 照 ） 。23) 1 2 68041 2 611 1 419811 0 81 ???????????1Q348001 2 61)(1 1 41)(9811 0 81 ??????????????2Q108001 2 601 1 40981)(1 0 81 ????????????3Q128001 2 61)(1 1 419801 0 80 ?????????????4Q因而， iQ??? 22ii CnQMSSS由 進(jìn)一步計(jì)算每一比較的 SS(即 MS，因?yàn)槊恳槐容^的自由度都是 1）： (12 (2)寫(xiě)出各個(gè)預(yù)定比較的正交系數(shù) Ci(見(jiàn)上表 )。 試作比較 。若在所有對(duì)比 (比較 )中，兩兩比較間的比較系數(shù) ()乘積之和都為 0，則稱(chēng)這種對(duì)比為 正交對(duì)比或正交比較 (orthogonal parison)，這種比較系數(shù)稱(chēng)為 正交系數(shù)(orthogonal coefficient)。按此方法將 4種比較的系數(shù)填于表。在 ? 比較②、③、④中，相比較的處理個(gè)數(shù)是相同的，這時(shí)在同一比較的所有處理都占相同比例，其系數(shù)均為 1，但是，在比較①中，用 A+B+C+D 4處理與 E 1個(gè)處理比較，其處理數(shù)是不同的，顯然不是均衡比較，缺乏可比性，應(yīng)該將 4處理的合并值與 E處理的 4倍進(jìn)行比較，即 A、 B、 C、 D各用 1份而 E用 4份才有可比性，換句話(huà)說(shuō)，前者的系數(shù)為 1，后者的系數(shù)為 4。 iC? 例如，處理為氨水 1(A)、氨水 2 (B)、碳酸氫銨 (C)、尿素 (D)和不施肥 (E)按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)進(jìn)行試驗(yàn)的例，就預(yù)先安排了以下幾個(gè)特定的比較： ? ① 施肥與不施肥，即 A+B+C+D與 E； ? ② 液態(tài)氮與固態(tài)氮，即 A+B與 C+D； ? ③ 液態(tài)氮之間的比較，即 A與 B； ? ④ 固態(tài)氮之間的比較，即 C與 D。 ? 正交對(duì)比或正交比較 (orthogonal parison)：若在所有對(duì)比 (比較 )中，兩兩比較間的比較系數(shù) ( )乘積之和都為 0的比較。 ? 如： A與 E比較時(shí)， ? A的有效重復(fù)數(shù) A E D C B D B A E C B A C D E C E B E C B A 21 yys ?21 yys ?410111 ??????1n E的有效重復(fù)數(shù) ??????2n故 ?????? ??? 4 . 3 3141eyy MSs 21 ??????1n300111 ??????2n而 A與 D比較時(shí)， A的有效重復(fù)數(shù) D的有效重復(fù)數(shù) 故 ?????? ??? 311eyy MSs 21其余類(lèi)推。4)，其余各處理相互比較都要先計(jì)算有效重復(fù)數(shù)，再代入 (1222) ? 以上有圓圈者表示缺區(qū)。22)中的為誤差項(xiàng)均方，和分別代表兩個(gè)相互比較的處理的有效重復(fù)數(shù)，其計(jì)算方法是： （ 1）若相互比較的甲、乙二處理在橫行和縱行皆不缺區(qū)，則分別記 1； （ 2）若甲處理不缺區(qū)，而其所在的橫行或縱行的乙處理缺一區(qū)，則甲記 2/3； （ 3）若甲處理不缺區(qū)，而其所在的橫行和縱行的乙處理皆缺區(qū)，則甲記 1/3； （ 4）若甲處理本身為缺區(qū)，則記 0。在對(duì)各處理小區(qū)平均數(shù)作 t測(cè)驗(yàn)時(shí)，沒(méi)有缺區(qū)的處理間比較的差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤仍由 (1219)建立聯(lián)立方程解出。如果拉丁方試驗(yàn)有幾個(gè)缺區(qū)，則首先應(yīng)算得各個(gè)缺區(qū)的估計(jì)值。4)；但當(dāng)缺區(qū)品種與非缺區(qū)品種比較時(shí)，其差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤應(yīng)為： ???????????2)1)((2kkkkMSs eyy 21(12 由此所得的結(jié)果列于表 。20)得： 025 )2 ( 4 7 7577574583 ????????? eeeee yyyyy18?ey182)1)(5(5 477277)74(835 ??? ??????ey(100kg) ? 將置入表 ye位置，得表 。將表 (12 ? [例 ] 有一甘蔗品比試驗(yàn)，采用 5 5拉丁方設(shè)計(jì)，缺失一區(qū)產(chǎn)量，其結(jié)果見(jiàn)表 ，試求該缺區(qū)估計(jì)值 ye并作分析。20) 直接解得 ye 值； ? 當(dāng)有多個(gè)缺區(qū)時(shí)，可由 (1220) 0)2( ????????????? 2kyTkyTkyTkyTy eetecere2)1 ) ((2)(??????????kkTTTTky tcre? 當(dāng)僅有一個(gè)缺區(qū)時(shí)，可由 (12 ? 拉丁方設(shè)計(jì)的固定模型和隨機(jī)模型的期望均方如下表： i? 2?? j?2??)(t? 0?? )( t?)(t? 2??)(tij?2? 拉丁方設(shè)計(jì)的期望均方 1?k22 ??? k? 22 ??? k?1?k 22 ??? k? 22 ??? k?1?k22 ??? k? 22 ??? k?2)1)(( ?? kk 2?2?變異來(lái)源 DF 固定模型 隨機(jī)模型 橫 行 間 縱 行 間 處 理 間 試驗(yàn)誤差 三、拉丁方試驗(yàn)的缺區(qū)估計(jì)和結(jié)果分析 ? 缺值 ye的估計(jì)公式為： (12 小區(qū)平均產(chǎn)量 ( ty品 種 ) 差異顯著性 5% 1% B a A A b AB C b AB D b B E b B ??二、拉丁方的線(xiàn)性模型與期望均方 ? 用 代表拉丁方的 橫行、 縱行的交叉觀(guān)察值，再以 代表處理，則拉丁方試驗(yàn)的線(xiàn)性模型為： (12 根據(jù)表 ， 測(cè)驗(yàn)各品種小區(qū)平均產(chǎn)量的差異顯著性于表 。 表 表 品 種 小區(qū)平均產(chǎn)量 (kg) 差 異 B ** A C D E(CK) **表示達(dá) 1%顯著水平 ? ② 新復(fù)極差測(cè)驗(yàn) (LSR 法 ) 根據(jù) (125) 0H515. 692 ???? 21 yys(kg) ? 2 .1 7 9? 3 . 0 5 5?5 . 4 52 . 1 7 92 . 5 ??? S D(kg) 7 . 6 43 . 0 5 52 . 5 ??? S D(kg) ? 以之為尺度 ， 在表 (E)的差異顯著性 。 (3) 品種平均數(shù)間的比較 ① 最小顯著差數(shù)法 (LSD 法 ) 應(yīng)用 (1217)可得： 24151 2 ????? 2kDF4151 ????? kDF4151 ????? kDF4151 ????? kDF122)1)(5(52)1)(( ??????? kkDF? 矯正數(shù) ? 總 ? 橫行區(qū)組 ? 縱行區(qū)組 31 116 . 96588 222??? 22kTC? ? ????2 21 122k kT CyyySS )(8 1 5 . 0 43 1 1 1 6 . 9 6413837 222 ?????? ?CkTyykSS rk rR ???? ??212)(3 4 8 . 6 45 1 6 21 9 11 9 5222?????? C?CkTyykSS k ccC ?? ????122)(6 . 6 45 1 8 11 7 71 7 4222?????? C?? 品種 == ? (2)方差分析和 F 測(cè)驗(yàn) ? 將上述結(jié)果列入表 ，算得各變異來(lái)源的 MS值。 然后進(jìn)入以下步驟： 表 表 tT ty品 種 A 38+35+32+38+34=177 B 44+48+32+43+41=208 C 38+32+27+41+30=168 D 37+36+26+37+30=166 E 38+40+30+28+27=163 ? (1) 自由度和平方和的分解 ? ① 自由度的分解 由 (12 表 水稻品比 5 5拉丁方試驗(yàn)的產(chǎn)量結(jié)果 (kg) rTcT橫行區(qū)組 縱 行 區(qū) 組 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅰ D(37) A(38) C(38) B(44) E(38) 195 Ⅱ B(48) E(40) D(36) C(32) A(35) 191 Ⅲ C(27) B(32) A(32) E(30) D(26) 147 Ⅳ E(28) D(37) B(43) A(38) C(41) 187 Ⅴ A(34) C(30) E(27) D(30) B(41) 162 174 177 176 174 181 T=882 ? 首先 ， 在表 總和 ， 并得全試驗(yàn)總和 。16) 2)1 ) ((1)(1)(1)(1 ?????????? kkkkkk 2? 總自由度 =橫行自由度 +縱行自由度 +處理自由度 + 誤差自由度 (1215) A的有效重復(fù)數(shù) B的有效重復(fù)數(shù) 在 A和 C比較時(shí)， A的有效重復(fù)數(shù) C的有效重復(fù)數(shù)故 5011111 ???????1n 2311111 ?????????2n故 0 . 9 45 . 51512 . 3 2 ??????? ??? BA yys(kg) 231111 ?????????1n 2301111 ?????????2n1 ??????? ??? CA yys(kg) 第三節(jié) 拉丁方試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析 ? 一、拉丁方試驗(yàn)結(jié)果的分析示例 ? 二、拉丁方的線(xiàn)性模型與期望均方 ? 三、拉丁方試驗(yàn)的缺區(qū)估計(jì)和結(jié)果分析 一、拉丁方試驗(yàn)結(jié)果的分析示例 ? 拉丁方試驗(yàn)在縱橫兩個(gè)方向都應(yīng)用了局部控制，使得縱橫兩向皆成區(qū)組。4)給出 (當(dāng)以各處理小區(qū)平均數(shù)相比較時(shí) )；若相互比較的處理中有缺區(qū)的，則其平均數(shù)差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為 變異來(lái)源 DF SS MS F 區(qū) 組 5 處 理 2 誤 差 8 總 變 異 15 ? 上式中的為誤差項(xiàng)均方 ， 和分別表示兩個(gè)相比較處理的有效重復(fù)數(shù) ， 其計(jì)算方法是：在同一區(qū)組內(nèi) ，若兩處理都不缺區(qū) ， 則各記為 1；若一處理缺區(qū) ， 另一處理不缺區(qū) ， 則缺區(qū)處理記 0， 不缺區(qū)處理記 ， 其中 k為試驗(yàn)的處理數(shù)目 。 由于表 有兩個(gè)缺區(qū)估計(jì)值 ， 它們不占有自由度 ， 故表 中誤差項(xiàng)和總變異項(xiàng)的自由度均比通常的少 2個(gè) 。12)，對(duì) yc有方程 0181 8 7327672 ???????? acccc yyyyy對(duì) ya有方程 018187322658 ???????? acaaa yyyyy整理成二元一次聯(lián)立方程， ???????1911019110acacyyyy? 解之得： yc=