【正文】 在線形代數(shù)中，這組基表示為行列向 量線形無(wú)關(guān)的單位矩陣。(在 2 2 2 2, , ,2 2 2 2????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???基下） ， 因?yàn)橐话愕挠^測(cè)者都是習(xí)慣于取攝像機(jī)的屏幕坐標(biāo)，即向上和向右的方向作為觀測(cè)的基準(zhǔn)。那為什么不取 2 2 2 2, , ,2 2 2 2????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???或是其他任意的基呢？原因是，這樣的標(biāo)準(zhǔn)正交基反映了數(shù)據(jù)的采集方式。最普通的一組正交基是標(biāo)準(zhǔn)正交基，實(shí)驗(yàn)采樣的結(jié)果通?？梢钥醋魇窃跇?biāo)準(zhǔn)正交基下表示的。 抽象一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，每一個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù) X 都是在 m 維向量空間（此例 m=6）內(nèi)的一個(gè)向量，這里的 m 是 涉及到的 變量個(gè)數(shù)。 22 1. 標(biāo)準(zhǔn)正交基 為了 更有利于 推導(dǎo)， 將 對(duì)上述例子 的數(shù)據(jù) 作出定義為： 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，在每一個(gè)采樣時(shí)間點(diǎn)上， 每個(gè)攝像機(jī)記錄 一組二維坐標(biāo) 為 (x,y)，綜合三臺(tái)攝像機(jī)數(shù)據(jù)，在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上得到的位置數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于一個(gè)六維列向量。這個(gè)維度即最重要的 “ 主元 ” 。而新的基要能盡量揭示原有的數(shù)據(jù)間的關(guān)系。下文將結(jié)合以上的例子提出解決 方法 ，逐步敘述 PCA 方法的思想和求解過(guò)程 。 上面提出的兩個(gè)問(wèn)題就是 PCA 方法 要解決 的目標(biāo)。噪音使數(shù)據(jù)變得混亂，掩蓋了變量間的 真實(shí)關(guān)系。 怎樣從這些數(shù)據(jù)中得 到球是沿著某個(gè) x 軸運(yùn)動(dòng)的規(guī)律呢？怎樣將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的冗余變量剔除，化歸到這個(gè)潛在的 x 軸上呢？ 在 真實(shí)的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景 中 ，數(shù)據(jù)的噪音是必須面對(duì)的因素。事實(shí)上，在真實(shí)世界中也并沒(méi)有所謂的 x,y,z 軸，每個(gè)攝像機(jī)記錄下的都是一幅二維的圖像，有其自己的空間坐標(biāo)系，球的空間位置是由一組二維坐標(biāo)記錄的： [(xA,yA)(xB,yB)(xC,yC)]。 這一點(diǎn)可以通過(guò)在不同角度放置三個(gè)攝像機(jī)實(shí)現(xiàn)（如圖 所示） ，假設(shè)以 200Hz 的頻率拍攝畫(huà)面 就可以得到球在空間中的運(yùn)動(dòng)序列。但是，在 實(shí)際 中，對(duì)于第一次 做這個(gè) 實(shí)驗(yàn)的 實(shí)驗(yàn) 者來(lái)說(shuō)（這也是實(shí)驗(yàn)科學(xué)中最常遇到的一種情況），是 無(wú)法 進(jìn)行這樣的假設(shè)的 。 21 圖 對(duì)于一個(gè)具有先驗(yàn)知識(shí)的實(shí)驗(yàn)者來(lái)說(shuō)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)是非常容易的。如圖表 所示 ， 這是一個(gè)理想彈簧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的測(cè)定實(shí)驗(yàn)。 下面的 例子 取自一個(gè) 我們都非常熟悉的 物理學(xué)中的實(shí)驗(yàn)。如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，取得隱藏在數(shù)據(jù)背后 變量 間的本質(zhì)關(guān)系，是一個(gè)很困難的問(wèn)題。 二 、 例子 在實(shí)驗(yàn)科學(xué)中 常 常遇到的情況是， 使用大量的變量代表可能變化的因素，例如光譜、電壓、速度等等。隨后將揭示 PCA 與 SVD(Singular Value Deposition)之間的聯(lián)系以及如何將之應(yīng)用于真實(shí)世界。 本節(jié)下面的內(nèi)容將開(kāi)始講解 PCA 的具體內(nèi)容。 因此應(yīng)用極其廣泛，從神經(jīng)科學(xué)到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)都有 它的身影 。 主成分分析 可以有效 的找出數(shù)據(jù)中最“主要”的元素和結(jié)構(gòu)，去 除噪聲和冗余，將原有的復(fù)雜數(shù)據(jù)降維處理 ， 揭示 出 隱 藏在 復(fù) 雜數(shù)據(jù) 背 后的 簡(jiǎn) 單結(jié)構(gòu) 。 20 第 四 章 人臉 識(shí)別 第一節(jié) 主成分分析基本理論 一 、 什么是 主成分分析 ？ 主成分分析為 Principle ponent analysis[10,11,12]的中文翻譯，其英文簡(jiǎn)寫(xiě)為 PCA。 第 三 節(jié) 本章小結(jié) 本章主要介紹了 JPEG 文件格式和人臉圖像常用預(yù)處 理方法。( , )( , )xyx G x yy G x y? ??? ??? （ ） 其中 ,xyGG為間接變換函數(shù)。39。變換式為 39。 但還需要將原來(lái)像素的灰度值賦值給 轉(zhuǎn)換 后相應(yīng)的像素 點(diǎn) ，并且還需要重采樣，使不規(guī)則排列的離散灰度數(shù)組變?yōu)橐?guī)則排列的灰度數(shù)組。39。常用校 19 正法有直接幾何校正法和間接結(jié)合校正法。旋轉(zhuǎn)是為了 使兩眼保持在水平位置。大小矯正是為了把原始圖像的人臉校正到統(tǒng)一的大小，常常依據(jù)人臉的坐標(biāo)。具體操作為： 200200( ( , ) ) ( , )( , )( ( , ) )V A R I i j MM I i j MVARG i jV A R I i j MM e l seVAR? ?????? ??? ??? （ ） 其中 0M 和 0VAR 分別為理想的均值和方差，一般 0=100M ， 0=100VAR ， M 和 VAR 為輸入人臉圖像實(shí)際的均值和方差?；叶葰w一化是為了使不同灰度值的圖像具有統(tǒng)一灰度。若 k 過(guò)小會(huì)導(dǎo)致銳化效果不明顯。 假設(shè)拉普拉斯算子為 2f? 即 222 fffxy??? ? ? 離散數(shù)字圖像為 (, )f i j ，其一階偏導(dǎo)數(shù)為 ( , ) ( , ) ( 1 , )( , ) ( , ) ( , 1 )xyf i j f i j f i jxf i j f i j f i jy?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ???? （ ） ，則其二階偏導(dǎo)數(shù)為 2222( , ) ( 1 , ) ( 1 , ) ( 1 , ) ( 1 , ) 2 ( , )( , ) ( , 1 ) ( , ) ( , 1 ) ( , 1 ) 2 ( , )xyf i j f i j f i j f i j f i j f i jxf i j f i j f i j f i j f i j f i jy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? （ ） 所以 2 ( 1 , ) ( 1 , ) ( , 1 ) ( , 1 ) 4 ( , )f f i j f i j f i j f i j f i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 對(duì)于擴(kuò)算現(xiàn)象引起的人臉圖像模糊，可通過(guò) 2( , ) ( , ) ( , )g i j f i j k f i j?? ? ?進(jìn)行圖像銳化，其中k 為擴(kuò)算效應(yīng)的相關(guān)系數(shù)。在實(shí)際中，一般先濾除噪 聲后在進(jìn)行圖像銳化處理。圖像模糊是圖像遭受了平均或積分運(yùn)算造成，可以通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行逆運(yùn)算來(lái)使圖像變得清晰?；谙袼丶訖?quán)運(yùn)算的濾波器屬于線性濾波器，均值濾波器和高斯濾波器都屬于線性濾波器，而中值濾波器為非線性濾波器。 邊緣保持算法的基本過(guò)程為：對(duì)灰度圖像的每一個(gè)像素點(diǎn) [i,j]取適當(dāng)大小的一個(gè)鄰域，分別計(jì)算 [i,j]的左上角子鄰域，左下角子鄰域，右上角子鄰域和右下角子鄰域的灰度分布均勻度V，然后取最小均勻度對(duì)應(yīng)區(qū)域的均值作為該像素的新灰度值。 4. 邊緣保持濾波器 均值濾波的平滑功能會(huì)使圖像邊緣模糊，而中值濾波在去除脈沖噪聲的同時(shí)也將圖像中的細(xì)條細(xì)節(jié)濾除掉。 中值濾波在一定條件下，可以克服線性濾波器帶來(lái)的圖像細(xì)節(jié)模糊的缺點(diǎn)，而且對(duì)濾除脈沖干擾是最有效的。中值濾波器在處理連續(xù)圖像窗函數(shù)時(shí)與線性濾波器的工作方式類(lèi)似 ，但濾波過(guò)程不再是加權(quán)運(yùn)算。它用像素點(diǎn)鄰域灰度值的中值來(lái)代替該像素點(diǎn)的灰度值。 3. 中值濾波器 中值濾波是一種非線性濾波方法。二維高斯函數(shù)卷積可以分兩步進(jìn)行，首先將圖像與一維高斯函數(shù)進(jìn)行卷積，然后將卷積結(jié)果與方向垂直的相同一維高斯函數(shù)進(jìn)行卷積。通過(guò)調(diào)節(jié) ? ，可在圖像特征過(guò)分模糊（過(guò)平滑）與平滑圖像中過(guò)多突變量（欠平滑）間取得折中。 高斯濾波器寬度決定著平滑程度，是由 ? 表征的。 高斯函數(shù)的傅里葉變換的頻譜是單瓣的。 高斯函數(shù)是單值函數(shù)。二維零均值離散高斯函數(shù)為： 222()2[ , ] ijg i j e ???? （ ） 一般而言，一幅圖像的邊緣方向是事先無(wú)法知道的，因此，在濾波前是無(wú)法確定一個(gè)方向是否比另一個(gè)方向需要更多的平滑。 一維零均值高斯函數(shù)為： 222() xg x e ??? （ ） 其中高斯分布參數(shù) ? 決定了高斯濾波器的寬度。線性平滑濾波器去除了高頻成分和圖像中的銳化細(xì)節(jié) 。作為去除噪聲的代價(jià)，大尺度濾波器會(huì)導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)的損失。 1. 均值濾波器 均值濾波是對(duì)信號(hào)進(jìn)行局部平均，以平均值來(lái)代表該像素點(diǎn) 來(lái)代表該像素點(diǎn)的灰度值，即每個(gè)像素值用其局部鄰域內(nèi)所有值的均值置換： ( , )1h [i,j] = [ , ]k l N f k lM ?? （ ） 其中， M 是鄰域內(nèi)像素點(diǎn)總數(shù)。人臉圖像預(yù)處理經(jīng)常使用后一類(lèi)方法。 四 、 圖像濾波 現(xiàn)在消除噪聲的方法有全局處理和局部算子兩類(lèi)。映射函數(shù)為分段函數(shù)時(shí)一般是基于想要突出人臉圖像中某些灰度值物體的細(xì)節(jié) ，又不想犧牲其他灰度值上的細(xì)節(jié) 的考慮。其主要在于根據(jù)圖像灰度分布和實(shí)際的需求選擇合適的映射函數(shù)。 三 、 直方圖 均衡 直方圖 均衡是將將各灰度級(jí)分量盡量均勻分布，從而來(lái)增強(qiáng)人臉圖像的對(duì)比度。局部閥值法可以處理比較復(fù)雜的情況，但有些情況會(huì)發(fā)生失真。 動(dòng)態(tài)閥值法：它的閥值不僅和該像素和周?chē)袼赜嘘P(guān)，還和該像素的坐標(biāo)位置有關(guān)。常用的圖像二值化選擇方法如下： 整體閥值法：在二值化時(shí)候只使用一個(gè)全局閥值 t。在人臉識(shí)別中二值化用來(lái)把人的頭發(fā)，眼睛，臉的輪廓及背影與人臉的亮域分開(kāi)。對(duì)數(shù)變換可以使圖像灰度分布相匹配于人的視覺(jué)特性。 指數(shù)變換能對(duì)圖像的高灰度區(qū)以較大的拉伸。( , ) ( ( , ) )bag i j a f i j aba?? ? ?? （ ） 分段線性變換：假設(shè)圖像為 (, )f i j 灰度變化范圍為 [0, ]fM，變換后的圖像為 (, )gi j ，目標(biāo)的 灰度變化范圍為 [ , ]ab ，想使灰度變化到 [ , ]cd ，則 對(duì)應(yīng)關(guān)系為 15 ( / ) ( , ) 0 ( , )( , ) [ ( ) / ( ) ] [ ( , ) ] + c ( , )[ ( ) / [ ] ] ( , )g f fc a f x y f x y ag x y d c b a f x y a a f x y bM d M b d b f x y M? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? （ ） 非線性 變換：使用非線性函數(shù)作為映射函數(shù)如對(duì)數(shù)函數(shù)，進(jìn)行灰度變換。39。39。 0 為全黑， 255 為全亮。利用彩色圖像進(jìn)行人臉識(shí)別存在較多缺陷，而灰度圖像為一種最簡(jiǎn)單有效的對(duì)比增強(qiáng)方法。 一 、 灰度變化 人臉識(shí)別的研究常以灰度圖像為處理對(duì)象。這樣才有利于穩(wěn)定的進(jìn)行特征提取。 第 二 節(jié) 人臉圖像常用預(yù)處理方法 一般，系統(tǒng)采集到的原始圖像都會(huì)受到各種各樣的噪聲的影響而失真。 PNG 同樣支持透明圖像的制作。它能將圖像文件壓縮到極限以利于網(wǎng)絡(luò)傳輸，又能保留所有與圖像品質(zhì)相關(guān)的信息。PNG 使用從 LZ77 派生的無(wú)損數(shù)據(jù)壓縮算法。s Not GIF”，是一種位圖文件 (bitmap file)存儲(chǔ)格式，讀成 “ping”。 14 五 、 PNG 格式 PNG，圖像文件存儲(chǔ)格式，其目的是替代 GIF 和 TIFF 文件格式，同時(shí)增加一些 GIF 文件格式所不具備的特性。 GIF 格式的特點(diǎn)是壓縮比高，磁盤(pán)空間占用少。盡管如此， PNG 文件格式憑著其技術(shù)上的優(yōu)勢(shì)，已然躋身于網(wǎng)絡(luò)上第三廣泛應(yīng)用格式。在 2021 年 6 月 20 日， LZW算法在美國(guó)的專(zhuān)利權(quán)已到期而失效。 PNG（ Portable Network Graphics，便攜網(wǎng)絡(luò)圖形）標(biāo)準(zhǔn)就在這個(gè)背景下應(yīng)運(yùn)而生了。如果要開(kāi)發(fā)生成（或顯示） GIF 文件的程序，則需向該公司支付版稅。然而令很多軟件開(kāi)發(fā)商感到意外的是， GIF 文件所采用的壓縮算法忽然成了 Unisys 公司的專(zhuān)利。 GIF 格式的另一個(gè)特點(diǎn)是其在一個(gè) GIF 文件中可以存多幅彩色圖像，如果把存于一個(gè)文件中 的多幅圖像數(shù)據(jù)逐幅讀出并顯示到屏幕上，就可構(gòu)成一種最簡(jiǎn)單的動(dòng)畫(huà)。目前幾乎所有相關(guān)軟件都支持它，公共領(lǐng)域有大量的軟件在使用 GIF 圖像文件。 GIF 文件的數(shù)據(jù)，是一種基于 LZW 算法的連續(xù)色調(diào)的無(wú)損壓縮格式。 BMP 格式的特點(diǎn)是包含的圖像信息較豐富，幾乎不進(jìn)行壓縮，由此導(dǎo)致了它的缺 點(diǎn) — 占用磁盤(pán)空間過(guò)大。 目的是為了讓 Windows 能夠在任何類(lèi)型的顯示設(shè)備上顯示所存儲(chǔ)的圖象。Windows 以后的 BMP 圖象文件與顯示設(shè)備無(wú)關(guān)，因此把這種 BMP 圖象文件格式稱(chēng)為設(shè)備無(wú)關(guān)位圖 DIB(deviceindependent bitmap） 格式 。 Windows 系統(tǒng)內(nèi)部各圖像繪制操作都是以 BMP為基礎(chǔ)的。而接收方隨著觀察，常常會(huì)有新的要求，可能對(duì)新的區(qū)域感興趣，也可能希望某一區(qū)域更清晰 13 些。在有些情況下，圖像中只有一小塊區(qū)域?qū)τ脩羰怯杏?