【正文】 Linear transformation 目 錄 引 言 ...............................................................................................................................1 1 矩陣對角化 ........................................................................................................................1 矩陣對角化的幾個條件 .........................................................................................1 對角化矩陣的性質(zhì) .................................................................................................3 矩陣對角化的方法 ................................................................................................5 2 對角化矩陣的應(yīng)用 ............................................................................................................5 求方陣的高次冪 .....................................................................................................5 反求矩陣 .................................................................................................................6 判斷矩陣是否相似 .................................................................................................7 求特殊矩陣的特征值 .............................................................................................7 在向量空間中應(yīng)用 .................................................................................................7 在線性變換中應(yīng)用 .................................................................................................7 求數(shù)列通項公式與極限 .........................................................................................8 求行列式的值 .......................................................................................................11 對角化矩陣在其他方面的應(yīng)用 ...........................................................................12 參考文獻 .............................................................................................................................14 致 謝 .............................................................................................................................15 第 1 頁 共 16 頁 引 言 現(xiàn)如今，我們所提到的矩陣對角化其實質(zhì)指的就是矩陣和對角陣存在相似的地方 ,其中我們學(xué)過的線性變換也是可對角化的 ,其原理是指在某一組基的作用下這個線性變 換可以變?yōu)閷顷嚕ɑ蛘呖梢哉f是在某一組基的作用下這個線性變換的矩陣是可對角化的） ,當(dāng)然剛剛提到的這個問題其實我們可以把它歸類到矩陣是否可對角化的問題中去，因為其兩者本身就是相輔相成的 .當(dāng)然本篇文章我們主要是研究和探索判定矩陣可對角化的諸多條件，以及我們?nèi)绾稳ミ\用矩陣對角化的有關(guān)性質(zhì)，來把將矩陣化為對角形的問題進行解決 .與此同時，我們也在研究和探索中發(fā)現(xiàn)了它在其他方面一些重要的運用 . 1 矩陣對角化 我們所涉及的矩陣都是可以對角化的，其原理是指通過矩陣的一系列初等變換（指：行、列變換）后 ,就能夠得到一個 特殊的矩陣 ,其特殊性在于只有在其主對角線的數(shù)上不全為零，然而其他位置的數(shù)則是全部為零（那么這個特殊的矩陣就可以被我們稱為對角陣） ,這一整個的變換過程就被我們稱為矩陣的對角化 .當(dāng)然值得我們注意的是，我們所學(xué)過的矩陣并非都能對角化的，這個是有條件限制的 . 矩陣對角化的幾個條件 引理 ]1[ 設(shè) nnPBA ??, ,且 ,2 AA? ,2 BB? BAAB? , 則存在可逆矩陣 P ,使 BA, 可同時對角化 . 引理 ]2[2 如果 nnn Pd ia gP ??? ),( 21 ??? ?的 n 個對角元互不相同 ,矩陣 nnPB ?? ,那么 BPPB? 當(dāng)且僅當(dāng) B 本身就是對角陣 . 因為任何一個冪等矩陣 )( 2 AAA ? 一定相似于一個對角矩陣 ?????? 00 0rE ,所以任何一個對角矩陣都是能夠進行譜分解的 ,即 ???ni iiAA 1 ?,其中 i? 是矩陣 A 的特征值 ,矩陣 iA 為冪等矩陣，那么是否任意有限個冪等矩陣的線性組合都可以對角化呢？有如下結(jié)論： 定理 ]3[1 若 第 2 頁 共 16 頁 ,2211 nnkkkA ??????? ? nkkk , 21 ? 是 n 個數(shù) , n??? ， ?21 是 n 個冪矩陣 ,并且他們兩兩可替換 , )(, jiijji ?????? , 則矩陣 A 可對角化 . 證明 若 n??? ， ?21 是 n 個冪矩陣 ,并且兩兩可換，則一定有一個可逆矩陣 1P ,使得 n??? ， ?21 , 可同時對角化 . nnnn PDPPDP 111111 ?? ???? ， ? )( 1 是對角矩陣， nDD ? , PDkDkDkPPDkPPDkPPDkPkkkA nnnnnn )()()()( 2211112211112211 ??????????????? ???? ???,由 是對角矩陣， nDD ?1 知 nn DkDkDk ??? ?2211 同樣是對角矩陣 ,即矩陣 A 為對角化的矩陣 . 定理 ]4[2 如果 nnPA ?? , 21 ??， 是它兩個不相同的特征值 ,那么矩陣 A 可對角化? 一定有冪等矩陣 ? ,滿足 ???? )( 121 ??? EA . 證明 必要性：如果 A 是一個對角化的矩陣 ,那么就一定會有一個可逆的矩陣 P ,滿足 ??????????2211111 EEAPP ?? 是一個對角陣 . ? ? ? ? ? ? 121211121211111211 000 ????? ???????????????????????? ?????? ???? PEPEPEPPEPPEPPAPA ?????????, 并且 ? 相似于 2121212000 ?????????????????????