【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???????1111342561T ,將矩陣 第 5 頁(yè) 共 16 頁(yè) ?????????????????????????????????10030102001B , 記 321 32 BBB ?? ,則 ，32113211 32)32( AAATBBBTT BTA ??????? ?? 其中 1?? TTBA ii ,于是 ?????????????????????????????????????????????222222111,134412163912,2566151841012321 AAA, 并且滿足： (1) 321 32 AAAA ??? ； (2) EAAA ??? 321 ； (3) )3,2,1(2 ?? iAA ii ； (4) jiAA ji ?? ,0 . 可以通過一個(gè)比較具體的可對(duì)角化矩陣 ,很直觀地反映上述所說的性質(zhì)是成立的 . 矩陣對(duì)角化的方法 運(yùn)用矩陣初等變換的方法 在數(shù)域 P 上 ,一個(gè) n 維空間 V ,研究和探討它能否可以找到 一組基，并且在此基的作用下，所有的矩陣都是對(duì)角化的矩陣；發(fā)現(xiàn)這種基存在時(shí) , 如何去探索它是一個(gè)線性代數(shù)學(xué)上相當(dāng)重要的問題 ,可以利用矩陣的初等變換的方法來解決此問題 . 當(dāng)發(fā)現(xiàn)矩陣 A 不能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)角化的時(shí)候 ,同樣可以經(jīng)過相近的一系列變換后，化簡(jiǎn)出矩陣 A ,并且能夠判定它是否可以對(duì)角化 .類似地 ,可有矩陣 EQT ss 111111 ????? ? ?,做如下的初等變換 ,則可以將矩陣 A 化簡(jiǎn)為 對(duì)角形矩陣 B ,并且可以求得 T 或由 B 求A 的一系列特征值 . 求解齊次方程組的方法 設(shè)矩陣 A 是實(shí)對(duì)稱矩陣 ,則求證交矩陣 T 使得 ),( 211 nd ia gATT ??? ??? 的問題 ,一般的解法為： (1)求其特征值； (2)求其對(duì)應(yīng)的特征向量； (3)寫 出矩陣 T 及 ),( 211 nd ia gATT ??? ??? . 從而可以求出正交矩陣 T ,可以避免了商的繁瑣運(yùn)算 . 定理 ]7[5 設(shè) A 是實(shí)對(duì)稱矩陣 ,則有 )1(21 重， ?n?? , n???? ，， ?321 對(duì)應(yīng)于 第 6 頁(yè) 共 16 頁(yè) 21 ??， ,記 )( 1?L 由 1? 生成的一個(gè)空間 ,且 )( 32 nL ??? ，， ?由 n??? ，， ?32 生成的空間 . 2 對(duì)角化矩陣的應(yīng)用 求方陣的高次冪 例 2 設(shè)在數(shù)域 P 上，有一個(gè)二維的線性空間 V , 21 ??， 是這個(gè)線性空間 V 的一組基 ,那么線性變換 ? 在 21 ??， 這組基的作用下的矩陣 ???????? 01 12A,試通過上述給出的條件計(jì)算出矩陣 kA . 解 通過分析上述的條件，我們應(yīng)該先計(jì)算線性變換 ? 在線性空間 V 的另一組基 21 ??， 作用下的矩陣 ,令 ? ? ? ? ??????? ?? 21 11, 2121 ???? , 則 ????????????? ? ??????? ?????????????? ? ??????? ??????? ? ? ? 10 1121 1101 1211 1221 1101 1221 11 1 , 易知 ????????????? 10110 11 kk , 再運(yùn)用上面得出的幾個(gè)關(guān)系 ?????????????? ??????????????? ? ? 10 1121 1101 1221 11 1 , 即 ?????? ??? ???????????????????? ? ???????? ? ???????????????????? ? 1111 1210121 1121 1110 1121 1101 12 1k kk kkkk. 反求矩陣 例 3 設(shè)有一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣 A ，且它的階數(shù)為 3 階，已知 11 321 ???? ??? ， ,1? 對(duì)應(yīng)于 TP )1,1,0(1 ? ,求解 A ． 第 7 頁(yè) 共 16 頁(yè) 解 根據(jù)矩陣 A 是 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣的條件 ,我們可以推出矩陣 A 可以對(duì)角化的結(jié)論 ,即得出矩陣 A 是由三個(gè)線性無關(guān)的特征向量組成的結(jié)論 ,并且 132 ???? 對(duì)應(yīng)于TXXXP ),( 321? ,因?yàn)樗?1P 正交 ,即 00 3211 ????? XXXPP , 所以可以求出 TT PP )1,1,0()0,0,1( 32 ??? ， ,它們分別對(duì)應(yīng) 132 ???? .取 ?????????? ??????????????100010001101101010),( 321 BPPPP ，, 則 BAPP ??1 ,于是 ?????????????????????????????????????? ?????????????? ?01010000121210001212101000100011011010101P B PA . 判斷矩陣是否相似 例 4 請(qǐng)判斷下述三個(gè)矩陣是否會(huì)相似 ?????????????????????????????????300020102,300120012,300020002321 AAA. 解 我們可以很容易的得出三個(gè)矩陣 321 , AAA 的特征值分別都是 21?? (二重 ), 32?? ,其中矩陣 1A 已經(jīng)是對(duì)角陣 ,所以我們只需要進(jìn)一步判斷兩個(gè) 矩陣 32,AA是否都可以對(duì)角化 .通過 21?? , 0)2( 2 ?? XAE ,可以推出 T)0,0,1(1 ?? ,因?yàn)?21?? ,是一個(gè)二重的特征值 ,但是卻只有一個(gè)特征向量與之 所對(duì)應(yīng) ,那么我們可以推出矩陣2A 與矩陣 1A 不相似的結(jié)論 .通過 21?? , 0)2( 3 ?? XAE ,得出 TT )0,1,0(,)0,0,1( 21 ?? ?? ,通過 32?? ， 0)3( 3 ?? XAE ,得出 T)1,0,1(3 ?? ,通過上述所推出的結(jié)論，我們可知矩陣 3A 有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ,即矩陣 3A 與矩陣 1A 這兩個(gè)矩陣相似 . 求特殊矩陣的特征值 例 ]8[5 設(shè)有一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣 A ，并且它的階數(shù)為 n 階，滿足 AA 22? , nrAr ??)( ,求出 A 的全部特征值． 解 假設(shè) ? 為矩陣 A 的一個(gè)特征值 ,而我們令 ? 為矩陣 A 的特征向量 ,它對(duì)應(yīng)于特征值 ? ，因?yàn)?????A ,所以 ????? 22 ?? AA ,又因?yàn)?AA 22? ,所以 ???? 222 ?? AA ,即 ?? 22? ,由此我們可以推出 02或?? ,根據(jù)矩陣 A 是實(shí)對(duì)稱矩陣的這個(gè)條件 ,我們可以斷定矩陣 A 一定能夠進(jìn)行對(duì)角化 ,即 第 8 頁(yè) 共 16 頁(yè) ?????????????????????0022~??BA, 與 rAr ?)( ,所以 A 的秩數(shù)就是 2 的個(gè)數(shù) ,以及 A 有 r 個(gè) 2 和 )( rn? 個(gè) 0 的特征值 . 在向量空間中應(yīng)用 例 ]9[6 在 n 維的 V 空間中 ,有一個(gè)復(fù)矩 陣，并且它的階數(shù)為 n 階，還有一個(gè)復(fù)數(shù) ? , 令 ? ? ? ?0)(,)( 21 ??????? ?????? AEVWVAEW , 則矩陣 A 相似于對(duì)角陣 ,并且 ? ?021 ??WW . 證明 因?yàn)閷?duì)于任意 一個(gè) 210 WWX ?? ,則有 ?? )(0 AE