本科畢業(yè)論文三元域上矩陣空間的保冪映射(編輯修改稿)
2025-07-20 15:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為從到的齊次映射，且.即. 步驟2 對(duì)，存在可逆陣使得，和均為從到的齊次映射，且.令其中和均為從到的齊次映射，且.當(dāng)時(shí)，令，由帶來(lái)的相似變換保持不動(dòng)，且其中和均為從到的齊次映射，且.即.其中和均為從到的齊次映射，且.步驟3 由步驟2知其中，，均為從到的齊次映射，且由的保冪性可得.再由，，（的齊次性，命題得證. ■ 設(shè)，如果且對(duì)有，則存在可逆陣使得，.證明 只需證明對(duì)任意的存在可逆陣使得且對(duì)任意的有我們對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，且由帶來(lái)的相似變換保持上面的結(jié)果.當(dāng)時(shí)，且由帶來(lái)的相似變換保持上面的結(jié)果.由的齊次性，不失一般性我們可設(shè)當(dāng)時(shí)，其中和均為從到的齊次映射，且.同理，.假設(shè)式當(dāng)時(shí)均成立，則由的齊次性，只需證明，其中..其中和均為從到的齊次映射，且. 結(jié)合的齊次性經(jīng)計(jì)算得從而當(dāng)時(shí)式也成立. ■ 本節(jié)將刻畫三元域上對(duì)稱矩陣空間的保冪映射，證明下面的定理. 設(shè)，且為上保冪映射，則存在可逆陣，使得對(duì)任意的有或，其中.，其中幾個(gè)引理的證明同樣可以可參考文獻(xiàn)[4]和[15]中引理15和79的證明.引理 設(shè)且，如果(其中為所有從到的滿足如下條件的映射中的集合:)則是單射；是是齊次的，即. 設(shè)，且，（這里下同）則存在可逆陣使得對(duì)任意的，和都有，且. 設(shè)，,其中或 ，,其中為從到的映射，且，則存在可逆陣使得基于這四個(gè)引理， 設(shè)，且，則存在可逆陣，使得對(duì)任意的有或. . ，則存在可逆陣使得，. 證明 類似于文獻(xiàn)[15]中命題1的證明. ■ ，則存在可逆陣使得對(duì)任意有或. 證明 只需證明存在可逆陣使得令或，則由的單性知，對(duì)令其中且由知和由和的任意性， ，類似情形1同樣可得結(jié)論成立. ■，如果且對(duì)有，則存在可逆陣使得對(duì)任意有或.證明 步驟1. 對(duì)任意的和有，或其中.如果存在使得且故如果存在和非零向量得則由知又由知，對(duì)任意的和，有其中是一個(gè)從到的映射.步驟2. 對(duì)任意的和有，其中是一個(gè)從到的映射.顯然，知經(jīng)計(jì)算的得步驟3 如果和線性無(wú)關(guān)，則不依賴于的選擇.由于和線性無(wú)關(guān),和，令既然則經(jīng)計(jì)算得于是，不依賴于的選擇.步驟4. 如果和線性相關(guān)，則不依賴于的選擇.既然則即計(jì)算得既然和線性無(wú)關(guān)，那么由步驟3知不依賴于的選擇.步驟5. 其中是一個(gè)從到的映射.由步驟3和4，顯然.步驟6. 對(duì)任意的有.如
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