【導讀】關文獻，進行分析研究，獨立撰寫而成的.含其他人或機構已經(jīng)撰寫發(fā)表過的研究成果.陣相似于對角矩陣，運用線性變換把矩陣變?yōu)閷蔷仃?，求?shù)列通項公式與極限，

　　

【正文】 值 . 第 12 頁 共 16 頁 )0( s i nc o s21000001c o s2100000001c o s21000001c o s21000001c o s2?? ??????????????????nD, 解 按照第一列展開的 21c o s2 ?? ?? nnn DDD ,可以寫成矩陣的另外一種 形式 ???????????? ???????? ??? 211 01 1c o s2 nnn n DDDD ?, 記矩陣 ?????? ?? 01 1c os2 ?A,則 )2(122211?????????????????????? ????nDDADDADD nnnnn ?, 通過 0??AE? ,我們可以計算出矩陣 A 的 iaia ee ??? 21 ?? ， ,且 21 ??， 分別對應 TiaTia eXeX )1(,)1( 21 ， ??? , 取 ???????? ?11),( 21 iaia eeXXX ,則 10 0 ?? ??????? XeeXAiaia , 推出 ? ?? ? ?????? ?????????????? ????? ??c o s2 1c o s40 0 21221XeeXDD nianiann , 即 )0( s ins in )1s in ( ??? ?? ?nD n . 例 13 設有一個實對稱矩陣 A ,并且它的階數(shù)是 n 階，滿足條件 AA?2 ,且 r 為矩陣 A 的秩 ,通過上述條件求出行列式 AE?2 的值 . 解 因為 AA?2 , XXAAXX 22 ?? ??? ,所以有 0)( 2 ?X?? .因為 0?X ,所以0)1( ??? , 10或?? .因為矩陣 A 是一個 n 階的實對稱矩陣 ,所以它相似于對角矩陣 ,又因為矩陣 A 的秩為 r ,所以一定會存在一個可逆矩陣 P ,可以使得 BEAPP r ????????? 00 01,其中矩陣 rE 表示的是 r 階單位矩陣 ,所以可以推 出 第 13 頁 共 16 頁 )(220 0222 11 rnEEBEP B PPPAErnr ???????????. 對角化矩陣在其他方面的應用 例 14 在某個城市的就業(yè)數(shù)據(jù)中顯示，一共有 30 萬人從事著不同的三種行業(yè) ,分別是農(nóng)業(yè)、工業(yè)、經(jīng)商， 假設在幾年之間這個從業(yè)總?cè)藬?shù)都會保持不變 ,而且經(jīng)過整個社會的普查顯示 : (1)在這個城市的 30 萬人中 ,投身于農(nóng)業(yè) 的有 15萬人 ,工業(yè)的有 9 萬人 ,經(jīng)商的有6 萬人； (2)在投身于農(nóng)業(yè)的人中 ,每年大概有 %10 的人轉(zhuǎn)行去 經(jīng)商 , %20 的人轉(zhuǎn)行去做工業(yè)； (3)在投身于工業(yè)的人中 ,每年大概有 %20 的人轉(zhuǎn)行去干 農(nóng)業(yè) , %10 的人轉(zhuǎn)行去經(jīng)商； (4)在投身于經(jīng)商的人中 ,每年大概有 %10 的人轉(zhuǎn)行去做 工業(yè) , %10 的人轉(zhuǎn) 行去干 農(nóng)業(yè) . 現(xiàn)在請大概預測一下，在未來的一、二年以后 ,從事這三個行業(yè)的人數(shù) ,以及經(jīng)歷多年以后 ,從事這三個行業(yè)的人員總數(shù)會有什么樣的一個發(fā)展趨勢 . 解 第 i 年后還從事這三種行業(yè)的人員總數(shù) ,我們會 用一個 3 維的向量 iX 去表示它，則 TX )6,9,15(0 ? .如果想要求 21 XX， ,并且能夠很精確地考察在 ??n 時 , nX的一個發(fā)展趨勢 ,那么我們必須要引用一個 3 階矩陣 )( ijaA? ,它的作用是用來體現(xiàn)從事這三種職業(yè)人員之間的轉(zhuǎn)移情況 .那我們就能夠得出矩陣???????????A ,通過矩陣的乘法法則，我們可以得出 ??????????????001 AXXAX T ,?????????????0212 XAAXX , 所以 01 XAAXX nnn ?? ? ,如果要繼續(xù)進一步精 確地分析 nX ,那么必須要事先計算矩陣 A 的 n 次冪 nA ,所以我們先可以將矩陣 A 進行對角化 , )()()1(??????? ????????? EA , 第 14 頁 共 16 頁 所以能夠得出特征值 ,1 321 ??? ??? ,三個特征值分別代表其求出的所對應的三個特征向量 321 , qqq ,于是令 ),( 321 qqqQ ? ,則就會有矩陣 1??QBQA ,從而推出1?? BA nn , 0XAX nn ? , ???????????1B ,???????????nnnB1 , 當 ??n 時 ,矩陣 nB 將趨向于??????????001 ,從而推出矩陣nA 將趨向于 1001??????????? , 因為矩陣 nX 跟我們已經(jīng)確定下來的常量 *X 非常接近 ,所以可以得 出 1?nX 亦必趨于*X ,再通過 1?? nn AXX 的轉(zhuǎn)化，就能夠準確得知 *X 必需要滿足條件 ** AXX ? ,進而可以推斷出 *X 是矩陣 A 屬于特征值 11?? 的一個特征向量 TT ttttX ),()111(* ?? ， , ,303 ???? tttt 10?t , 按 照上面所講述的規(guī)律轉(zhuǎn)移 ,經(jīng)過許多年以后，那么這三種職業(yè)的從業(yè)人數(shù)一定會趨于相等 , 三者平均下來為 10萬人 . 第 15 頁 共 16 頁 參考文獻 [1] 北京大學教學系幾何與代數(shù)教研室．高等代數(shù) (第二版 )[M]．北京：高等教育出版社 ,1988． [2] 胡顯佑主編．線性代數(shù)摯習指導 [M]．天津：南開大學出版社 ,1997． [3] 劉九蘭 ,張乃一 ,曲問薄主編．線性代數(shù)考研 [M]．天津：天津大學出版 社 ,． [4] 謝國瑞主編．線性代數(shù)及應用 [M]．北京：高等教育出版社 .1999． [5] 張學元主編．線性代數(shù)能力試題題解 [M]．武漢：華中理工大學出版社 ,2020． [6] 徐仲主編．線性代數(shù)典型題分析解集 [M]．西北工業(yè)大學出版社 ,1998,6． [7] 樊輝 ,錢吉林主編 ,代數(shù)學辭典 [M]．武漢 ： 華中師范大學出艋社． 1994,12． [8] 曹錫皓．高等代數(shù) [M]．北京：北京師范大學出版社 ,1987． [9] 張遠達．線性代數(shù)原理 [M]．上海：上?？茖W出版社 ,1981． [10] Kline Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times[M]. New York: Oxford University Press, 1972. [11]RebolloNeira L， Fernandez Rubio the Inverse Windowed Fourier transform[M]． IEEET ranks on Information Theory， 1999. [12] BabaieZadeh， M. Jutten, C.， Mohimani, H. On the Error of Estimating the Sparsest Solution of Underdetermined Linear Systems[M]． 2020. 第 16 頁 共 16 頁 致 謝 在開始準備著手寫論文到最后定稿的整個過程中 ,指導教師 XXX老師都是非常耐心和細心的引導我和幫助我 ,在此我向王老師表示由衷的感謝 .王老師的嚴謹治學態(tài)度讓我受益匪淺 .在畢業(yè)論文寫作的這段時間里 ,他時時刻刻關心著我的 畢業(yè)論文的完成情況 ,并且經(jīng)常給我指出畢業(yè)論文中的缺點與需要改正的地方 ,最后才能使得我可以順利完成畢業(yè)論文 .與此同時，我很感謝所有給過我?guī)椭睦蠋?、同學以及一起努力奮斗過的好朋友 .