【正文】 基的作用下這個(gè)線性變換的矩陣是可對角化的） ,當(dāng)然剛剛提到的這個(gè)問題其實(shí)我們可以把它歸類到矩陣是否可對角化的問題中去，因?yàn)槠鋬烧弑旧砭褪窍噍o相成的 .當(dāng)然本篇文章我們主要是研究和探索判定矩陣可對角化的諸多條件，以及我們?nèi)绾稳ミ\(yùn)用矩陣對角化的有關(guān)性質(zhì)，來把將矩陣化為對角形的問題進(jìn)行解決 .與此同時(shí)，我們也在研究和探索中發(fā)現(xiàn)了它在其他方面一些重要的運(yùn)用 . 1 矩陣對角化 我們所涉及的矩陣都是可以對角化的，其原理是指通過矩陣的一系列初等變換（指：行、列變換）后 ,就能夠得到一個(gè) 特殊的矩陣 ,其特殊性在于只有在其主對角線的數(shù)上不全為零，然而其他位置的數(shù)則是全部為零（那么這個(gè)特殊的矩陣就可以被我們稱為對角陣） ,這一整個(gè)的變換過程就被我們稱為矩陣的對角化 .當(dāng)然值得我們注意的是，我們所學(xué)過的矩陣并非都能對角化的，這個(gè)是有條件限制的 . 矩陣對角化的幾個(gè)條件 引理 ]1[ 設(shè) nnPBA ??, ,且 ,2 AA? ,2 BB? BAAB? , 則存在可逆矩陣 P ,使 BA, 可同時(shí)對角化 . 引理 ]2[2 如果 nnn Pd ia gP ??? ),( 21 ??? ?的 n 個(gè)對角元互不相同 ,矩陣 nnPB ?? ,那么 BPPB? 當(dāng)且僅當(dāng) B 本身就是對角陣 . 因?yàn)槿魏我粋€(gè)冪等矩陣 )( 2 AAA ? 一定相似于一個(gè)對角矩陣 ?????? 00 0rE ,所以任何一個(gè)對角矩陣都是能夠進(jìn)行譜分解的 ,即 ???ni iiAA 1 ?,其中 i? 是矩陣 A 的特征值 ,矩陣 iA 為冪等矩陣，那么是否任意有限個(gè)冪等矩陣的線性組合都可以對角化呢？有如下結(jié)論： 定理 ]3[1 若 第 2 頁 共 16 頁 ,2211 nnkkkA ??????? ? nkkk , 21 ? 是 n 個(gè)數(shù) , n??? ， ?21 是 n 個(gè)冪矩陣 ,并且他們兩兩可替換 , )(, jiijji ?????? , 則矩陣 A 可對角化 . 證明 若 n??? ， ?21 是 n 個(gè)冪矩陣 ,并且兩兩可換，則一定有一個(gè)可逆矩陣 1P ,使得 n??? ， ?21 , 可同時(shí)對角化 . nnnn PDPPDP 111111 ?? ???? ， ? )( 1 是對角矩陣， nDD ? , PDkDkDkPPDkPPDkPPDkPkkkA nnnnnn )()()()( 2211112211112211 ??????????????? ???? ???,由 是對角矩陣， nDD ?1 知 nn DkDkDk ??? ?2211 同樣是對角矩陣 ,即矩陣 A 為對角化的矩陣 . 定理 ]4[2 如果 nnPA ?? , 21 ??， 是它兩個(gè)不相同的特征值 ,那么矩陣 A 可對角化? 一定有冪等矩陣 ? ,滿足 ???? )( 121 ??? EA . 證明 必要性：如果 A 是一個(gè)對角化的矩陣 ,那么就一定會有一個(gè)可逆的矩陣 P ,滿足 ??????????2211111 EEAPP ?? 是一個(gè)對角陣 . ? ? ? ? ? ? 121211121211111211 000 ????? ???????????????????????? ?????? ???? PEPEPEPPEPPEPPAPA ?????????, 并且 ? 相似于 2121212000 ????????????????????? ??? PEPPEPPEP, 第 3 頁 共 16 頁 若 ? 為冪矩陣 ,則一定有一個(gè)冪矩陣 ? 滿足 ???? )( 121 ??? EA . 充分性：若存在 ? 使得 ???? )( 121 ??? EA , 因?yàn)?? 是冪矩陣 ,所以一定會有一個(gè) T ,滿足 TET ???????? ? 21 0, ? ? ? ? TEETTEETTETEA ????????????? ???????????? ???2211112121121 )0(0 ???????? , 因此， TEETATT ??????? ??221111 ??, 即矩陣 A 為可對角化的 . 定理 ]5[3 設(shè)矩陣 nnPA ?? 存在 n 個(gè)不同的特征值 ,則對于矩陣 nnPB ?? , BAAB? , 當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 BA, 同時(shí)可以對角化 . 證明 必要性 若矩陣 A 存在 n 個(gè)特征值 ,且這些特征值是互不相同的數(shù)，則矩陣A 為對角化的矩陣 .設(shè) APPT 1?? , 其中 ),( 21 ndiagT ??? ?? ,則 A B PPBPA P PPBPPT 1111 )( ???? ?? TBPPAPBPPP )( 111 ??? ?? , 即 T 與 BPP1? 是可以進(jìn)行交換的 ,因此得知 BPP1? 是對角矩陣 ,且矩陣 B 也是為對角化的矩陣 . 充分性 如果矩陣 BA, 可以同時(shí)進(jìn)行對角化 ,那么一定存在一個(gè)可逆陣 P ,使得 PDPA 11?? , PDPB 21?? (其中為 21 DD， 對陣 ), BAPDPPDPPDDPPDDPPDPPDPAB ????? ?????? 11211212112111 , 因此我們可以通過上述的一系列條件，來求出 A 的特征值，且這是兩個(gè)相互不同的數(shù) .從而我們得出了矩陣對角化的成立的條件：如果 ???2 這個(gè)條件成立，那么就認(rèn)為矩陣 A 可對角化 ,否則就認(rèn)為矩陣 A 不能可對角化 ,其中 )(/)( 21 ??? ???? EA . 對角化矩陣的性質(zhì) 定理 ]6[4 設(shè) A 為數(shù)域 P 上的一個(gè) n 階的矩陣 ,且它為可對角化的， t??? , 21 ? 是A 的相互不同的特征根 ,則一定會有 n 階的 tAAA , 21 ? 滿足 (1) tt AAAA ??? ???? ?2211 ； 第 4 頁 共 16 頁 (2) EEAAA t ,21 ???? ? 是單位矩陣； (3) ii AA?2 ； (4) jiAA ji ?? ,0 ,其中 1?? TTBA ii . 證明 （ 1）如果 A 可對角化 ,那么在數(shù)域 P 上一定會存在一個(gè)可逆矩陣 T ,并且它的階數(shù)為 n 階，滿足 BATTt??????????????????00211?, 其中 i? 的重?cái)?shù)為 is ,由于矩陣 ???????????????????????????????????????????110000111?????tB ??, 將它記為 tt BBB ??? ??? ?2211 ,因此， )()()( 1111122111 ???? ???????? TTBTTBTBBBTT BTA tttt ????? ??, 將其記為 tt AAA ??? ??? ?2211 ,其中 1?? TTBA i ,所以 tt AAAA ??? ???? ?2211 . (2)如果每個(gè) iB 為對角形的冪矩陣 ,那么 EBBB t ???? ?21 , ET ETTTBTTBTTBAAA tt ????????? ???? 11121121 ?? , 故 EAAA t ???? ?21 . (3)如果 1?? TTBA ii ,那么 iiiiiiiiii ATTBTTBTBTBTTBTTBTTBTTBA ?????? ??????? 112111112 ))(( , 故 ii AA?2 . (4)當(dāng) ji? 時(shí) , 0))(( 11111 ???? ????? TBTBTTBTTBTTBTTBAA jijijiji , 0 為零矩陣 ,故 jiAA ji ?? ,0 . 例 1 在數(shù)域 P 上，若已知?????????????6788152051115A 的三個(gè)特征根分別是 3,2,1 ,則一定會有一個(gè)???????????211243132T ,滿足 BATT ?????????????3000200011 ,其中????????????????1111342