注冊(cè)巖土工程師數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料(參考版)
2024-08-24 17:44本頁(yè)面
【正文】 難點(diǎn)： 本講的難點(diǎn)是曲面方程和空間曲線方程。 解：取坐標(biāo)系如下圖所示， Ix= 其中 M= 第一講 向量代數(shù)與空間解析幾何 一、 內(nèi)容提要： 本章主要是講解與向量代數(shù)、曲面、平面、空間曲線、 直線有關(guān)的一些計(jì)算。 解：現(xiàn)在 y’=x1/2, 從而弧長(zhǎng)元素 ds= 根據(jù)公式有：s= (1)求曲面的面積：設(shè)曲面 S 由方程 z=f(x,y)給出 D 為曲面 S 在 xoy 面上的投影區(qū)域，函數(shù) f(x,y)在 D 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲面 S 的面積為 例 1 求球面 x2+y2+z2=25 被平面 z=3 所分成的上半部分曲面的面積。 解：這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓 及 x 軸所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體。 解： 積分的應(yīng)用： 3. 1 定積分的應(yīng)用：定積分的應(yīng)用一般表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面， （ 1） 求平面圖形的面積： 若平面圖形由曲線 y=f1(x) y=f2(x)和直線 x=a,x=b所圍成，則其面積 A= 若平面圖形由曲線 r= ,r= ，及射線 所圍成，則其面積 A= 例 計(jì)算由兩條拋物線： y2=x、 y=x2 所圍成的圖形的面積。 兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系： = 其中 （ x,y）、 （ x,y）為有向曲線弧 L 上點(diǎn)（ x,y）處的切線向量的方向角。 解： 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分概念、性質(zhì)及計(jì)算： 概念：設(shè) L 為 xoy 面內(nèi)從點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的一條有向光滑曲線弧，函數(shù) P(x,y)、 Q(x,y)在 L上有界，用 L 上的點(diǎn) M1(x1,y1)， M2(x2,y2)?M n1(xn1,yn1)把 L 分成 n 個(gè)有向小弧段，(i =1,2,?n ， M0=A， Mn=B)設(shè) xi=xixi1, yi=yi=yi1，點(diǎn)（ ξi,ηi ）為 上任意取定的點(diǎn)，如果當(dāng)各小弧段長(zhǎng)度的最大值 λ→0 時(shí)， 的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù) P(x,y)在有向曲線 L上對(duì)坐標(biāo) x的曲線積分或 P(x,y)dx在有向曲線弧 L上的第二類(lèi)曲線積分，記作 。 當(dāng) f(x,y)在光滑曲線弧 L 上連續(xù)時(shí) = 總存在，當(dāng) L 為閉曲線時(shí)，曲線積分可記為 ，特殊地，當(dāng) f(x,y)表示曲線形構(gòu)件的線密度時(shí)， 就表示該構(gòu)件的質(zhì)量 M。如下圖所示： 例 設(shè)空間區(qū)域 :x2+y2+z2≤R2 ， x≥0, y≥0 ， z≥0, 則求 解： 0≤ ≤л/2 ， 0≤r≤R,0≤θ≤л/2 ，則 = = 平面曲線積分： 2. 1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、性質(zhì)及其計(jì)算問(wèn)題。 解： ={（ x,y,z） |0≤z≤1 y,(x,y)∈D,} 其中 D={(x,y)|x2≤y≤1, 1≤x≤1} I= （ 2） 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分： 直角坐標(biāo)系與柱面坐標(biāo)的關(guān)系是： x=rcosθ,y=rsinθ,z=z（ 0≤r≤+∞, 0≤θ≤2л, ∞≤z≤+∞ ） 設(shè) ={(r, θ,z)| (r, θ) ≤z≤ (r, θ), (r, θ) ∈D}, 其中D={( r, θ)|r1(θ)≤r,≤r2(θ),α≤θ≤β} 則 例 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算： I= 其中 是由 z=1,z=1 ,x2+y2z2=1所圍成的區(qū)域。 （ 1） 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分： 設(shè)積分區(qū)域 D 可以用不等式 ≤y≤ ,a≤x≤b 來(lái) 表示，則 這個(gè)先對(duì) y 后對(duì) x的二次積分也常記作 類(lèi)似地，如果積分區(qū)域 D 可以用不等式 ≤y≤ ， c≤y≤d 來(lái)表示，其中函數(shù) 、 在區(qū)產(chǎn) [c,d]上連續(xù)，則有 上式右端的積分叫做先對(duì) x、后對(duì) y 的二次積分，這個(gè)積分也記作 (2) 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分： 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系是 x=rcosθ ， y=rsinθ （ 0≤r≤+∞, 0≤θ≤2л ） 設(shè) D={（ r, θ ） | ≤r≤ ,α≤θ≤β} 則 = 特別（ i） D={（ r, θ ）|0≤r≤ ,α≤θ≤β} 則有 =（ ii） D 由閉曲線 r=r(θ) 所圍成，則= 例 計(jì)算 其中 D 是由中心 在原點(diǎn)、半徑為 a 的圓周所圍成的閉區(qū)域。三重積分的幾何意義表示物體質(zhì)量 M 的近似值。下面我們講一下重積分的性質(zhì)。 二重積分的幾何意義：二重積分 在幾何上表示以曲面 z=f(x,y)為頂，閉區(qū)域 D 為底的曲頂柱體的體積。 三、內(nèi)容講解： 重積分： 1二重積分的概念：設(shè) f(x,y)是有界閉區(qū)域 D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 D任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域， 其中 表示第 I 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè) 上任取一點(diǎn)（ ξi,ηi ），作乘積 f（ ξi,ηi ） （ i=1,2,? ， n），并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中最大值 λ 趨于零時(shí)，這和的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域 D 上的二重積分，記作 ,其中 f(x,y)叫做被積函數(shù) 叫做被積表達(dá)式， 叫做面積元素， x 與 y 叫做積分變量， D 叫做積分區(qū)域，叫做積分和。 二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是二重積分的計(jì)算，平面曲線積分，定積分的應(yīng)用問(wèn)題。 原函數(shù)存在的定理：如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)，那末在區(qū)間 I 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) F(x)，使對(duì)任一 x∈I 都有 F’(x)=f(x) 。 難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是廣義積分的計(jì)算。 第四講 不定積分、定積分、廣義積分的的概念及計(jì)算 一、內(nèi)容提要： 本講主要是講解不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的換元積分法和分部積分法，定積分的概念與性質(zhì)， 定積分的換元積分法和分部積分法，無(wú)窮限的廣義積分和無(wú)界函數(shù)的廣義積分。 第三步：定出 ACB2的符號(hào)，按上述定理的結(jié)論判定 f(x,y)時(shí)否有極值，是極大值還是極小值。 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z=f(x,y)極值的求法敘述如下： 第一步：解方程組， fx(x,y)=0 f(x,y) =0 求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。 ACB20 時(shí)，沒(méi)有極值。 高階偏導(dǎo)數(shù) ：若函數(shù) z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) fx(x,y)及 fy(x,y)存在，則稱(chēng)它們?yōu)?f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以 上的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)。 ： 多元函數(shù)的概念：設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn) P(x,y)∈D 變量 z 按照一定的
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