注冊巖土工程師數(shù)學考試復習資料-文庫吧在線文庫
【正文】 ,0≤θ≤2л 則 I= （ 3） 利用球面坐標計算三重積分：直角坐標與球面坐標的關系：x=rsin cosθ,y=rsin sinθ,x=rcos ,(0≤θ≤2л, 0≤ ≤л, 0≤r≤+∞) ， 此處要注意如何判斷 θ 、 、r 的取值， r 為原點 O 與點 M 間的距離， 為有向線段 OM 與 z 軸正向所夾的角， θ 為從正 z 軸來看自 x 軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段 OP 的角，這里 P 為點 M 在 xoy 面上的投影。 第二類曲線積分的計算：設 P(x,y)、 Q(x,y)在有向曲線弧 L 肯定義且連續(xù)， L 的參數(shù)方程為 其中 t單調(diào)地由 變到時，點 M（ x,y）從 L 的起點 A 沒 L運動到終點 B， 、在以 及 為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)，且 ，則曲線積分 存在，且= 如果 L 由方程 y= 或 x= 給出，則有= 例 例 計算 ，其中 L 為拋物線 y=x2 上點 A（ 1， 1）與點 B（ 1， 1）之間的一段弧。 二、 重點： 本講的重點是向量積、數(shù)量積的計算，兩平面的夾角、點到平面的距離，空間直線的一般方程以及兩直線的交角。取 x 為積分變量，它的變化區(qū)間為 [a,a]，旋轉(zhuǎn)橢球體中相應于 [a,a]上任一小區(qū)間 [x,x+dx]的薄片的體積，近似于底半徑為 、高為 dx 的扁圓柱體的體積，即體積元素 dV= ，于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 （ 3）平行截面面積為已知的立體的體積： 設立體由某曲面及平面 x=a,x=b 所圍成，過點且垂直于 x 軸的截面面積為 A(x)，則其體積為 v= (4)平面曲線的弧長： 設曲線弧的方程為 y=y(x),(a≤x≤b),y(x) 在 [a,b]上具有一階連續(xù)導數(shù)，則其弧長為 設曲線弧的參數(shù)方程為 ，（ α≤t≤β ）其中 、 在 [α ， β]上具有連續(xù)導數(shù)，則其弧長為 S= 設曲線弧的極坐標方程為 r=r(θ)（ α≤θ≤β ），其中 r(θ) 在 [α,β] 上具有連續(xù)導數(shù)，則其弧長為 例 1 計算曲線 y=x3/2 上相應于 x 從 a 到 b 的一段弧的長度。 第一類曲線積分的性質(zhì)： （ 1）（線性性） 其中 α 、 β 為常數(shù)） （ 2）（可加性）當 L=L1+L2 時 第一類曲線積分的計算方法：設 f(x,y)在曲線??；上有定義且連續(xù)，；的參數(shù)方程為（ α≤t≤β ）其中 、 在 [α,β] 上具有一階連續(xù)導數(shù)，且 ，則曲線積分 存在，且= （ αβ ） 如果曲線 L 由方程 y= (x)（ x0≤x≤X ）給出，則有 （ x0≤X ）類似地，如果曲線 L 由方程 x= 給出，（ y0≤y≤Y ）則有 （ y0≤Y ） 例 計算 ，其中 L 是拋物線 y=x2上點 O（ 0， 0）與點 B（ 1， 1）之間的一段弧。 1. 2 重積分的性質(zhì)： 性質(zhì) 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即 （ k 為常數(shù)） 性質(zhì) 函數(shù)的和 (或差 )的二重積分等于各個函數(shù)的二重積分的和（或差），即 性質(zhì) 如果閉區(qū)域 D 被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在 D 上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和，即 性質(zhì) 如果在 D 上， f(x,y)=1， ? 為 D 的面積，則 ?= 性質(zhì) 如果在 D 上， f(x,y)≤ （ x,y），則有不等式， 特殊地，由于 |f(x,y)| ≤f(x,y) ≤|f(x,y)| ，又有不等式 性質(zhì) 設 M,m 分別是 f(x,y)在閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值， ? 為 D 的 面積，則有 m?≤ ≤M? 性質(zhì) （二重積分的中值定理）設函數(shù) f(x,y)在閉區(qū)域 D 上連續(xù)， ? 為 D 的面積，則在 D 上至少存在一點（ ξ ， η ）使得下式成立： 1. 3 二重積分的計算： 按照二重積分的定義來計算二重積分，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對于一般的函數(shù)和區(qū)域來說，這不是一種切實可行的方法，現(xiàn)在我們來講兩種計算二重積分的方法。 難點：本講的難點是三重積分的計算，三重積分的應用問題。 例 2求曲線 x=t,y=t2,z=t3在占點（ 1， 1， 1）處的切線及法平面方程。 ：設函數(shù) z=f(x,y)在點（ x0,y0）的某一鄰戴內(nèi)有定義，當 y 固定在 y0 上面的結(jié)果，就得到結(jié)果。 解： f’(x)=6x （ x21） 2令 f’(x)=0 ，求得駐點 x1=1,x2=0,x3=1， f’’(x)=6 （ x21） (5x21),因 f’’(0)=60,f(x) 在 x=0處 取得極小值，極小值為 0；因 f’’( 1)= f’’(+1)=0,用定理無法判別，只能看導數(shù) f’(x) 在駐點 x1=1， x3=1 左右鄰近的符號。 微分中值定理與導數(shù)的應用。 正態(tài)總體中均值 μ 的假設檢驗： H0： μ=μ 0， H0： μ≠μ 0 例 1某電工器材廠行產(chǎn)一種云母帶，其厚度在正常生產(chǎn)下服從 N（ ,），某日在生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽查了 10 次，發(fā)現(xiàn)平均厚度為 ，如果標準差不變，試部生產(chǎn)是否正常？取 α 為 由于樣本觀測值未落在拒絕域中，所以不能拒絕原假設，可以認為該天生產(chǎn)正常。一般我們抽取的樣本滿足下面二個條件：（ 1）樣本中的個體相互獨立，（ 2）樣本中個體的分布同總體的分布。 解： 一維隨機變量的分布和數(shù)字特征： 一維隨機變量的概念：一個變量依試驗結(jié)果的改變而取不同的實數(shù)值，而試驗的結(jié)果具有隨機性，因此這個變量的取值也具有隨機 性，稱這個變量為一維隨機變量，記為 X。 （ 4） 重復獨立試驗、二項概率公式： 重復獨立試驗：做幾個試驗，它們是完全同樣一個試驗的重復，且它們是相互獨立的，即相應于每一次試驗的隨機事件的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，稱這類試驗是重復獨立試驗。 三、內(nèi)容講解： 函數(shù)與極限 函數(shù)的概念與特性 因此，所給級數(shù)是絕對收斂的。
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