注冊巖土工程師數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料(已修改)
2025-08-31 17:44 本頁面
【正文】 第二講微分學(xué) 一、內(nèi)容提要：本講主要是講解函數(shù)與極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問題。 二、重點：本講的重點是極限的運算、奇偶性的判斷、連續(xù)函數(shù)的間斷點的判斷以及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)計算問題。 難點：本講的難點是導(dǎo)數(shù)的計算以及極限的運算。 三、內(nèi)容講解： 函數(shù)與極限 函數(shù)的概念與特性 因此，所給級數(shù)是絕對收斂的。 第八講 概率與數(shù)理統(tǒng)計 一、內(nèi)容提要： 本講主要是講解隨機事件與概率，古典概率，一維隨機變量的分布和數(shù)字特征，數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，參數(shù)估計，假設(shè)檢驗，方差分析，回歸分析。 二、本講的重點是： 隨機事件的關(guān)系，二項概率公式，條件概率，分布函數(shù)的性質(zhì)，連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)、分布函數(shù)，正態(tài)分布，常用隨機變量的分布和數(shù)字特征 。 本講的難點是：數(shù)理統(tǒng)計方面的參數(shù)估計，假設(shè)檢驗，方差分析，回歸分析。 三、內(nèi)容講解： 隨機事件與概率： （ 1)隨機事件的關(guān)系 與運算： 包含：若事件 A 發(fā)生，一定導(dǎo)致事件 B 發(fā)生，那么稱事件 B 包含事件 A，記作 A B。 相等：若兩事件 A 與 B 相互相互包含，即 A B 且 B A，那么稱事件 A 與 B 相等，記作 A=B 和事件：稱 “ 事件 A 與事件 B 中至少有一個發(fā)生 ” 的事件為 A 與 B 的和事件，記為 A∪B 積事件：稱 “ 事件 A 與事件 B 同時發(fā)生 ” 的事件為 A 與 B 的積事件，記為 A∩B 簡記為 AB 互不相容：若事件 A 與事件 B 不能同時發(fā)生，則稱 A 與 B 互不相容，記作 AB= 差事件：稱 “ 事件 A 發(fā)生且事件 B 不發(fā)生 ” 的事件為 A 與 B 的差，記作 AB 對立事件：若事件 A 與 B 滿足 A∪B= ( 為必然事件 )，同時 AB= ，稱 A 與 B是對立的，記 B= 交換律：對任意兩事件 A 和 B 有 A∪B=B∪A ， AB=BA， 結(jié)合律：對任意事件 A、 B、 C 有 A∪ （ B∪C ） = （ A∪B ） ∪C ， A∩ （ B∩C ） =（ A∩B ） ∩C 分配律：對任意事件 A、 B、 C 有 A∪ （ B∩C ） =（ A∪B ） ∩ （ A∪C ）， A∩ （ B∪C ） =（ A∩B ） ∪ （ A∩C ） (2)概率的公理化定義： 設(shè)試驗的樣本空間為 ，隨機事件 A 為 的子集， P（ A）為實值函數(shù)，若滿足下列三條公理： 公理 對于 任一隨機事件 A，有 0≤P （ A） ≤1 ， 公理 P（ ） =1， P（ ） =0 公理 對于 一系列互不相容的事件 A1， A2， ?A n? 有 P（ A1+ A2+? ） =P（ A1） +P（ A2） +? 則稱函數(shù) P（ A）為隨機事件的概率。 概率的性質(zhì)： （ i） P（ ） =1P（ A） （ ii） (ii)當(dāng) A B 時，有 P（ BA） =P（ B） P（ A） （ iii）當(dāng) A1， A2， ?A n互不相容時，有 P（ A1+ A2+? ） =P（ A1） +P（ A2） +?P （ An） （ iv） P（ A∪B ） =P（ A） +P（ B） P（ AB） (2)條件概率與相互獨立性： 條件概率：如果 A、 B 是隨機試驗的兩個事件，且 P（ B） 0，則稱事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 的概率為事件 B 發(fā)生條件下事件 A 發(fā)生的條件概率，記作 P（ A|B）條件概率可以通過下列公式計算： （ P（ B） 0） 乘法定理：兩事件的積 事件的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積： P（ AB） =P（ A） P（ B|A）（ P（ A） 0） P（ AB） =P（ B） P（ A|B）（ P（ B） 0） 全概率公式：設(shè)事件 A1， A2， ?A n兩兩相斥，且事件 B 為事件 A1+A2+?+A n的子事件，A1+A2+?+A n= ，且 P（ Ai） 0，則對任一事件 B 有 P（ B） =P（ A1） P（ B| A1） + P（ A2） P（ B| A2） +?+ P （ An） P（ B| An）這個公式稱為全概率公式， 貝葉斯公式 事件的相互獨立性： 若 P（ AB） =P（ A） P（ B），則稱 A、 B 相互獨立。當(dāng) P（ A）、 P（ B）都不為零時，從事件 A、 B 相互獨立能推得（ B|A） =P（ B）或 P（ A|B） =P（ A） 定理：若四對事件 A、 B； A、 ； 、 B； 、 中有一對相互獨立，則另外三對也是相互獨立的。 （ 4） 重復(fù)獨立試驗、二項概率公式： 重復(fù)獨立試驗：做幾個試驗，它們是完全同樣一個試驗的重復(fù)，且它們是相互獨立的，即相應(yīng)于每一次試驗的隨機事件的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，稱這類試驗是重復(fù)獨立試驗。 二項概率公式：設(shè)每個試驗中事件 A 出現(xiàn)的概率為 p，則 n 次重復(fù)獨立試驗中事件 A 恰好出現(xiàn) k 次的概率 (k=0,1,2,?,n) 此公式稱為二項概率公式。 例 某人投籃，每次命中率為 ，至少命中 4 次的概率是多少？ 解：利用二項公式得：因為有 “ 至少 ” 二字，所以 k 可為 4 或 5 所以至少命中 4 次的概率為： += 例 有三批同一規(guī)格的產(chǎn)品存放在一起， 各批產(chǎn)品分別占存時的 40%、 35%、 25%，而次品率分別為 2%、 1%、 3%，若從這堆存品中隨機地抽取一個產(chǎn)品，則它是次品的概率為多少。 解：利用全概率公式得： P（ B） =P（ A1） P（ B|A1） + P（ A2） P（ B|A2） + P（ A3） P（ B|A3） =++= 例 兩個小組生產(chǎn)同樣的零件，第一組的廢品率為 2%，第二組產(chǎn)品為第一組的 2 倍，而廢品率為 3%，若兩組生產(chǎn)的零件放在一起，從中任選一件，經(jīng)檢查是廢品，則這件廢品是第一組生產(chǎn)的概率為多少。 解 ：由全概率公式可得： 古典概型： 具備下面兩個特點的隨機試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型： （ 1）可能的試驗結(jié)果的個數(shù)是有限的，記為 n 個； （ 2）
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