中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——一元二次方程組的綜合含詳細(xì)答案(參考版)
2025-04-03 00:19本頁面
【正文】 1．考點(diǎn)：根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．14．“分塊計(jì)數(shù)法”：對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法．例如：圖1有6個(gè)點(diǎn)，圖2有12個(gè)點(diǎn)，圖3有18個(gè)點(diǎn)，……，按此規(guī)律，求圖圖n有多少個(gè)點(diǎn)？我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同（如圖），這樣圖1中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是61=6個(gè)；圖2中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是62=12個(gè)：圖3中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是63=18個(gè)；所以容易求出圖圖n中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是 、 ?。?qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”，先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊（畫在答題卡上），再完成以下問題：（1）第5個(gè)點(diǎn)陣中有 個(gè)圓圈；第n個(gè)點(diǎn)陣中有 個(gè)圓圈．（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271嗎？如果會(huì)，請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣．【答案】60個(gè)，6n個(gè)；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，它是第10個(gè)點(diǎn)陣．【解析】分析：根據(jù)規(guī)律求得圖10中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是610=60個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)；（1）第2個(gè)圖中2為一塊，分為3塊，余1，第2個(gè)圖中3為一塊，分為6塊，余1；按此規(guī)律得：第5個(gè)點(diǎn)陣中5為一塊，分為12塊，余1，得第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解則存在這樣的點(diǎn)陣．詳解：圖10中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是610=60個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)，故答案為：60個(gè)，6n個(gè)；（1）如圖所示：第1個(gè)點(diǎn)陣中有：1個(gè)，第2個(gè)點(diǎn)陣中有：23+1=7個(gè)，第3個(gè)點(diǎn)陣中有：36+1=17個(gè)，第4個(gè)點(diǎn)陣中有：49+1=37個(gè)，第5個(gè)點(diǎn)陣中有：512+1=60個(gè)，…第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案為：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，它是第10個(gè)點(diǎn)陣．點(diǎn)睛：本題是圖形類的規(guī)律題，采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法解決問題，仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)恰當(dāng)?shù)胤謮K是關(guān)鍵．15．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）證明見解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或【解析】試題分析：（1）根據(jù)一元二次方程的判別式△=b2﹣4ac的結(jié)果判斷即可，當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=，x1?x2=，表示出兩根的關(guān)系，得到x1，x2異號(hào)，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和兩根的關(guān)系分類討論即可求解.試題解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣41（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，∴△＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵x1?x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2異號(hào)，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化簡(jiǎn)得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化為x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，若x1＜0，x2＞0，上式化簡(jiǎn)得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化為x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1﹣，x2=1+．。（2）先確定等腰三角形的邊，然后求面積即可；（3）設(shè)分為兩段分別是和，然后用勾股定理求出x，最后求面積即可.【詳解】解：（1）由題意得，即：或，∴兩條線段長(zhǎng)為2和6；（2）由題意，可知分兩段為分別為3，則等
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