【正文】 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . (2). 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . 2. 下列矩陣是不是正交陣: (1)。V1. V2不是向量空間, 因?yàn)槿稳? a=(a1, a2, , an)T 206。V1, l206。 (2)h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr線性無(wú)關(guān). 證明 (1)反證法, 假設(shè)h*, x1, x2, , xnr線性相關(guān). 因?yàn)閤1, x2, , xnr線性無(wú)關(guān), 而h*, x1, x2, , xnr線性相關(guān), 所以h*可由x1, x2, , xnr線性表示, 且表示式是唯一的, 這說(shuō)明h*也是齊次線性方程組的解, 矛盾. (2)顯然向量組h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr與向量組h*, x1, x2, , xnr可以相互表示, 故這兩個(gè)向量組等價(jià), 而由(1)知向量組h*, x1, x2, , xnr線性無(wú)關(guān), 所以向量組h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr也線性無(wú)關(guān). 34. 設(shè)h1, h2, , hs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解, k1, k2, , ks為實(shí)數(shù), 滿(mǎn)足k1+k2+ +ks=1. 證明x=k1h1+k2h2+ +kshs也是它的解. 證明 因?yàn)閔1, h2, , hs都是方程組Ax=b的解, 所以 Ahi=b (i=1, 2, , s), 從而 A(k1h1+k2h2+ +kshs)=k1Ah1+k2Ah2+ +ksAhs =(k1+k2+ +ks)b=b. 因此x=k1h1+k2h2+ +kshs也是方程的解. 35. 設(shè)非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的秩為r, h1, h2, , hnr+1是它的nr+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解. 試證它的任一解可表示為x=k1h1+k2h2+ +knr+1hnr+1, (其中k1+k2+ +knr+1=1). 證明　因?yàn)閔1, h2, , hnr+1均為Ax=b的解, 所以x1=h2h1, x2=h3h1, , xnr=h nr+1h1均為Ax=b的解. 用反證法證: x1, x2, , xnr線性無(wú)關(guān). 設(shè)它們線性相關(guān), 則存在不全為零的數(shù)l1, l2, , lnr, 使得 l1x1+ l2x2+ + l nr x nr=0,即 l1(h2h1)+ l2(h3h1)+ + l nr(hnr+1h1)=0,亦即 (l1+l2+ +lnr)h1+l1h2+l2h3+ +l nrhnr+1=0,由h1, h2, , hnr+1線性無(wú)關(guān)知 (l1+l2+ +lnr)=l1=l2= =lnr=0,矛盾. 因此x1, x2, , xnr線性無(wú)關(guān). x1, x2, , xnr為Ax=b的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 設(shè)x為Ax=b的任意解, 則xh1為Ax=0的解, 故xh1可由x1, x2, , xnr線性表出, 設(shè) xh1=k2x1+k3x2+ +knr+1xnr =k2(h2h1)+k3(h3h1)+ +knr+1(hnr+1h1), x=h1(1k2k3 knr+1)+k2h2+k3h3+ +k nr+1hnr+1. 令k1=1k2k3 knr+1, 則k1+k2+k3 knr+1=1, 于是 x=k1h1+k2h2+ +knr+1hnr+1. 36. 設(shè)V1={x=(x1, x2, , xn)T | x1, , xn206。R. 因此 b=(2c+1)a3+(3c1)a2+ca1, 即 b= ca1+(3c1)a2+(2c+1)a3, c206。 (3)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 . (1)當(dāng)a=4, b185。n2時(shí), A中每個(gè)元素的代數(shù)余子式都為0, 故A*=O, 從而R(A*)=0. 28. 求下列非齊次方程組的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: (1)。2), A*為A的伴隨陣, 證明. 證明 當(dāng)R(A)=n時(shí), |A|185。 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(1, 1)T. 因此方程II的基礎(chǔ)解系為 x1=(0, 1, 1, 0)T, x2=(1, 1, 0, 1)T. (2) I與II的公共解就是方程 III: 的解. 因?yàn)榉匠探MIII的系數(shù)矩陣 , 所以與方程組III同解的方程組為 . 取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(1, 1, 2)T, 方程組III的基礎(chǔ)解系為 x=(1, 1, 2, 1)T. 因此I與II的公共解為x=c(1, 1, 2, 1)T, c206。 取(x3, x4)T=(0, 8)T, 得(x1, x2)T=(1, 11)T. 方程組AB=0的基礎(chǔ)解系為 x1=(1, 5, 8, 0)T, x2=(1, 11, 0, 8)T. 因此所求矩陣為. 24. 求一個(gè)齊次線性方程組, 使它的基礎(chǔ)解系為x1=(0, 1, 2, 3)T , x2=(3, 2, 1, 0)T . 解 顯然原方程組的通解為, 即, (k1, k2206。 取x2=1, x1=x3=x4= =xn1=0, 得xn=(n1)=n+1。0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)3, |A|=0. 22. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: (1)。R(K), 及 R(K)163。m), 使lk185。k163。n, 所以R(a1, a2, , an)=n, 從而a1, a2, , an線性無(wú)關(guān). 17. 設(shè)a1, a2, , an是一組n維向量, 證明它們線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是: 任一n維向量都可由它們線性表示. 證明 必要性: 設(shè)a為任一n維向量. 因?yàn)閍1, a2, , an線性無(wú)關(guān), 而a1, a2, , an, a是n+1個(gè)n維向量, 是線性相關(guān)的, 所以a能由a1, a2, , an線性表示, 且表示式是唯一的. 充分性: 已知任一n維向量都可由a1, a2, , an線性表示, 故單位坐標(biāo)向量組e1, e2, , en能由a1, a2, , an線性表示, 于是有n=R(e1, e2, , en)163。 解　由 , 知R(a1, a2, a3)=2. 因?yàn)橄蛄縜1與a2的分量不成比例, 故a1, a2線性無(wú)關(guān), 所以a1, a2是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組. (2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, 1, 5, 6), a3T=(1, 3, 4, 7). 解 由, 知R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因?yàn)橄蛄縜1T與a2T的分量不成比例, 故a1T, a2T線性無(wú)關(guān), 所以a1T, a2T是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組. 14. 利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組: (1)。l1=2l2,l1b1+l2b2 =0222。R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 從而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A組與B組等價(jià). 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 證明 (1) a1能由a2, a3線性表示。 B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, 2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 證明B組能由A組線性表示, 但A組不能由B組線性表示. 證明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B組能由A組線性表示. 由 知R(B)=2. 因?yàn)镽(B)185。1+2180。 證明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=R(A, Em),而| Em|是矩陣(A, Em)的最高階非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要條件是R(A)=m. (2)方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=n. 證明 注意, 方程YA=En有解的充分必要條件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要條件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必要條件是R(A)=R(AT)=n. 20. 設(shè)A為m180。1. 因?yàn)? 1163。0,所以當(dāng)l185。 (3)有無(wú)窮多個(gè)解? 解 . (1)要使方程組有唯一解, 必須R(A)=3. 因此當(dāng)l185。 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=~, 于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程組無(wú)解. (2)。2時(shí), R(A)=3. 12. 求解下列齊次線性方程組: (1)。 (2)當(dāng)k=2且k185。16r4, r316r2. ) ~ ~, 矩陣的秩為3, 是一個(gè)最高階非零子式. 10. 設(shè)A、B都是m180。R(B). 這是因?yàn)锽的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不會(huì)小于B的秩. 8. 求作一個(gè)秩是4的方陣, 它的兩個(gè)行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0). 解 用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩陣的秩, 并求一個(gè)最高階非零子式: (1)。r2, r2180。 解 (下一步: r23r1, r32r1, r43r1. ) ~(下一步: r2184。3. ) ~(下一步: r2+3r3. ) ~(下一步: r1+(2)r2, r1+r3. ) ~. (2)。 解 設(shè), , 則 , . 于是 . (2). 解 設(shè), , , 則 . 第三章　矩陣的初等變換與線性方程組 1. 把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣: (1)。 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此時(shí)命題也成立. 因此|A*|=|A|n1. 19. 設(shè), AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A2E)B=A, 故 . 20. 設(shè), 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (AE)B=A2E, 即 (AE)B=(AE)(A+E). 因?yàn)? 所以(AE)可逆, 從而 . 21. 設(shè)A=diag(1, 2, 1), A*BA=2BA8E, 求B. 解 由A*BA=2BA8E得 (A*2E)BA=8E, B=8(A*2E)1A1 =8[A(A*2E)]1 =8(AA*2A)1 =8(|A|E2A)1 =8(2E2A)1 =4(E+A)1 =4[diag(2, 1, 2)]1 =2diag(1, 2, 1). 22. 已知矩陣A的伴隨陣, 且ABA1=BA1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA1=BA1+3E得 AB=B+3A, B=3(AE)1A=3[A(EA1)]1A . 23. 設(shè)P1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P1AP=L, 得A=PLP1, 所以A11= A=PL11P1. |P|=3, , ,