【正文】 因此，可以認(rèn)為：模型初步通過(guò)了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。 實(shí)例：時(shí)間序列問(wèn)題 一、 中國(guó)居民人均消費(fèi)模型 二、 時(shí)間序列問(wèn)題 三、 線性回歸模型評(píng)價(jià) 91 一、中國(guó)居民人均消費(fèi)模型 △ 案例分析 △ 建立模型 △ 模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) △ 預(yù)測(cè)分析 92 案例分析 ○ 案例 ： 考察中國(guó)居民收入與消費(fèi)支出的關(guān)系。原因是 : （ 1）參數(shù)估計(jì)量是不確定的； （ 2）存在隨機(jī)項(xiàng)的影響 ? 所以我們得到僅是預(yù)測(cè)值的一個(gè)估計(jì)值，預(yù)測(cè)值僅以某一個(gè)置信度處于以該估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間內(nèi)，預(yù)測(cè)在更大程度上說(shuō)是一個(gè)區(qū)間估計(jì)問(wèn)題 ii XY 10 ??? ?? ??81 一、 ?0的無(wú)偏估計(jì)值 △ ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì) △ ?0是個(gè)值 Y0的一個(gè)無(wú)偏估計(jì) 82 ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的無(wú)偏估計(jì) ○ 對(duì)于總體回歸函數(shù) E(Y|X)=?0+?1X， 當(dāng) X=X0時(shí)，有： E(Y|X=X0)=?0+?1X0 于是有： ○ 可見(jiàn)， ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的無(wú)偏估計(jì)。 ○模型參數(shù)一般具有特定的經(jīng)濟(jì)意義 ，如案例中 ?1的估計(jì)值為，能否說(shuō)邊際消費(fèi)傾向?yàn)?？不能，我們只能說(shuō)：邊際消費(fèi)傾向以 ，處于以 間（ ,)中。表示為： ? 即 ? 于是得到 :(1?)的置信度下 , ?i的置信區(qū)間是 ? 在上述 收入 消費(fèi)支出 例中，如果給定 ? =，查表得： ? 因?yàn)橐阎? ○ 于是， ? ?0的置信區(qū)間分別為： ?1∈ （ ,)， ?0∈ （ ,） )2(~????? ntstiii???P t t t( )? ? ? ? ?? ? ?2 2 1P t s ti ii(?)?? ? ? ? ? ?? ?? ? ??2 21P t s t si i ii i( ? ? )? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 2 1( ? , ? )? ?? ?? ?? ?i it s t si i? ? ? ?2 2)8()2( ??? tnt ? ??S ??S78 如何縮小置信區(qū)間 ○ 由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過(guò)構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來(lái)考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。反之，則接受假設(shè)的正確性。 ○ 所謂 假設(shè)檢驗(yàn) ，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)原假設(shè)（記為 H0），然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn)。它也是隨著抽樣的不同而不同。 ? 在給定樣本中， 總體平方和 TSS不變， ? 如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則 ESS在 TSS中占的比重越大，因此定義： ? 擬合優(yōu)度：回歸平方和 ESS/Y的總離差平方和 TSS ? ? ??? 22 )( YYyTS S ii? ? ??? 22 )?(? YYyE SS ii? ? ??? 22 )?( iii YYeR S S70 可決系數(shù) R2 ○ 稱(chēng) R2 為 （樣本） 可決系數(shù) /判定系數(shù) （ coefficient of determination)。度量擬合程度的指標(biāo)： 判定系數(shù) （ 又稱(chēng)可決系數(shù) ） R2 ? 問(wèn)題： 采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測(cè)值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？問(wèn)題在于，在一個(gè)特定的條件下，做的最好的并一定就是質(zhì)量最高的。 ? 盡管從 統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 上已知，如果有足夠多的重復(fù)抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)值不一定就等于該真實(shí)值。 ○ 可以證明 ， ?2的 最小二乘估計(jì)量 是關(guān)于 ?2的無(wú)偏估計(jì)量。1） ? 這就是著名的高斯 —馬爾可夫定理。180。180。180。 57 參數(shù)估計(jì)值的最小方差特性 ○ 參數(shù)估計(jì)值的最小方差特性是指在所有的線性無(wú)偏參數(shù)估計(jì)值中，普通最小二乘法的參數(shù)估計(jì)量具有最小的方差特性，即其波動(dòng)最小、最穩(wěn)定。0=∑wi（ a0+a1Xi+?i） ? 將上式展開(kāi)得到： ? 226。1） =a1+∑ki E（ ?i）=a1 ? 如果基本假定中的 E（ ?i）≠0， 則估計(jì)值就是有偏的。1） = a1 ? 將 Yi=a0+a1Xi+?i代入表達(dá)式： 226。 擁有這類(lèi)性質(zhì)的估計(jì)量稱(chēng)為 最佳線性無(wú)偏估計(jì)量 （ best liner unbiased estimator, BLUE）。 表 參數(shù)估計(jì)的計(jì)算表 i X i Y i x i y i i y x 2 i x 2 i y 2 i X 2 i Y 1 800 594 1350 973 1314090 1822500 947508 640000 352836 2 1100 638 1050 929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122 750 445 334050 562500 198381 1960000 1258884 4 1700 1155 450 412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2022 1408 1 50 159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6 2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 1050 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 15674 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448 平均 2150 1567 52 7 7 7 4 2 5 0 0 05 7 6 9 3 0 0?21 ??? ??iiixyx? 1 5 5 6 7?? 00 ??????? XY ??因此，由該樣本估計(jì)的回歸方程為： ii XY ???53 四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì) ○ 當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說(shuō)需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。 49 似（或）然函數(shù) ? 滿(mǎn)足基本假設(shè)條件下，對(duì)一元線性回歸模型： ? 隨機(jī)抽取 n組樣本觀測(cè)值（ Xi, Yi）（ i=1,2,…n ）。 ○ 從總體中經(jīng)過(guò) n次隨機(jī)取樣，抽到樣本容量為 n的樣本觀測(cè)值，在任一次隨機(jī)抽取中，樣本觀測(cè)值都以一定的概率出現(xiàn)，如果已經(jīng)知道總體的參數(shù)，則由變量的頻率函數(shù)可以計(jì)算其概率。 兩式相減 ， 并根據(jù)均值性質(zhì) ， 得到樣本回歸直線的離差形式： ⑶ 正規(guī)方程組的離差形式： ∑eixi =0 根據(jù)已知一階條件： ∑ei=0， ∑eiXi =0， 將 xi =Xi X代入第二式得到： ∑eixi =0； ○ 將 樣本回歸模型 的離差形式 : +ei 代入 ∑eixi =0， 即： ∑（ ） xi =0 即可以得到樣本回歸模型的參數(shù)估計(jì)值的表達(dá)式 。 ?? ????? n iiin i XYYYQ121021))??(()?( ??44 方程組（ *）稱(chēng)為 正規(guī)方程組 （ normal equations） 。這個(gè)準(zhǔn)則要求：選擇最佳的參數(shù)，使全部觀測(cè)值的殘差平方和達(dá)到最小，即：∑ei2=Min 。 41 其他假定 ○ 其他假定： 是關(guān)于方程形式的假定。?j)=E(?i) ⑷ 隨著樣本容量的無(wú)限增加，解釋變量 X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。 39 自變量假定 ○ 自變量假定： 是關(guān)于 Xi的假定， Xi在回歸分析中是固定取值的確定性變量，即非隨機(jī)變量。 ○線性回歸模型的基本假設(shè)主要有四條： △ 隨機(jī)假定 △ 自變量假定 △ 因變量假定 △ 其他假定 38 隨機(jī)假定 ○ 隨機(jī)假定： 是關(guān)于 ?i值分布的假定， ?i是一個(gè)隨機(jī)變量，不包含對(duì) Y的系統(tǒng)影響。 ? 估計(jì)方法 有多種，其中最廣泛使用的是 普通最小二乘法 （ ordinary least squares, OLS）。使估計(jì)得到的樣本回歸方程盡可能接近真實(shí)的總體回歸方程。該直線稱(chēng)為 樣本回歸線 （ sample regression lines）。那么 Yi的期望值 E(Yi)的軌跡就稱(chēng)作總體回歸直線，相應(yīng)的方程： E(Yi)=?0+?1Xi 就是 總體回歸方程 ， ?0， ?1稱(chēng)作總體回歸方程的參數(shù)。 ○上式又 稱(chēng)為 總體回歸函數(shù)（ PRF） 的隨機(jī)設(shè)定形式。 ? 但對(duì)某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出 Yi可能與該平均水平 Y有偏差，并且聚集在平均水平 Y 的周?chē)? ? 含義： 回歸函數(shù)（ PRF）說(shuō)明被解釋變量 Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量 X變化的規(guī)律。 ? 該例中： E(Y | Xi=800)=605 ○ 描出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：雖然不同的家庭其消費(fèi)支出存在差異，但是，隨著收入的增加，消費(fèi) “ 平均地說(shuō) ” 也在增加，且 Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。 19 案例分析： ? 案例 ： 一個(gè)假想的社區(qū)有 100戶(hù)家庭組成，要研究該社區(qū)每月 家庭消費(fèi)支出 Y與每月 家庭可支配收入 X的關(guān)系。 17 三、總體回歸函數(shù) △ 回歸分析 △ 案例分析 △ 總體回歸函數(shù) 18 回歸分析 ○ 回歸分析： 相關(guān)關(guān)系的特征是不確定性，一個(gè)變量不能依據(jù)其他有關(guān)變量的數(shù)值，精確地、一一對(duì)應(yīng)地求出其數(shù)值。 ⑵ 線性相關(guān)理論， 只能反映變量之間相互關(guān)系的密切程度，并不意味著任何函數(shù)關(guān)系。相關(guān)檢驗(yàn)步驟如下： ⑴首先計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) r。 ②兩端連加則有： ∑Yi=n?0+?1∑Xi， 同除 n： Y=?0+?1X；即：均值 (X， Y)也在直線 Yi=?0+?1Xi上。 ○ 即：樣本相關(guān)系數(shù)： r =∑xiS Y2)189。 ○ 因?yàn)?SX、 SY與 X、 Y的計(jì)量單位相同，所以表達(dá)式SXY/(SX ? 第二， ∑xi為校正該點(diǎn)的不足，利用與樣本容量 n有關(guān)的量： n1去除 ∑xiy i的數(shù)值大小可以看出 X、 Y的近似相關(guān)程度。y i0；否則 ∑xi . . . . ○ 在散點(diǎn)圖上： 當(dāng) (Xi， Yi) 落在 Y . . . . Ⅰ 、 Ⅲ 象限時(shí)， xi、 yi同號(hào)， . yi . . . 即 xi 由于兩個(gè)變量 X、 Y之間的總體相關(guān)系數(shù) ρ一般無(wú)法獲得，因此經(jīng)常用某個(gè)特定的樣本相關(guān)系數(shù) r作為總體相關(guān)系數(shù) ρ的一個(gè)估計(jì)值（或替代值）。兩個(gè)變量 X、 Y之間真實(shí)的相關(guān)程度，使用總體相關(guān)系數(shù) ρ來(lái)表示的，即： ? ρ=Cov(X,Y)/ [(Var(X) 10 二、簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析 △ 總體相關(guān)系數(shù) △ 樣本相關(guān)系數(shù) △ 樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍 △ 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) △ 線性相關(guān)理論的局限性 11 總體相關(guān)系數(shù) ? 總體相關(guān)系數(shù)。 ③ 回歸分析和相關(guān)分析：都是 研究隨機(jī)變量間的統(tǒng)計(jì)依賴(lài)關(guān)系，并能測(cè)度線性依賴(lài)程度的大小，不關(guān)注具體的依賴(lài)關(guān)系。但僅靠回歸分析還不能對(duì)變量間的因果關(guān)系做出最后的判斷，必須與經(jīng)濟(jì)行為的定性分析等相結(jié)合。 正相關(guān) 線性相關(guān) 不相關(guān) 相關(guān)系數(shù) (1≤ρ≤1) 統(tǒng)計(jì)依賴(lài)關(guān)系 負(fù)相關(guān) 有因果關(guān)系 回歸分析 正