【正文】 稱可決系數(shù) ） R2 ? 問(wèn)題： 采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測(cè)值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？問(wèn)題在于，在一個(gè)特定的條件下，做的最好的并一定就是質(zhì)量最高的。（不同模型、變量） △ 總離差平方和的分解 △ 可決系數(shù) （ 擬合優(yōu)度系數(shù) ） 67 總離差平方和的分解 ⑴ 總離差的分解： 已知由一組樣本觀測(cè)值（ Xi,Yi）， i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線： ii XY 10 ??? ?? ??iiiiiii yeYYYYYYy ?)?()?( ????????68 ? ⑵ 總離差平方和的分解： 對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和， 可以證明 ： ? 如果 Yi=?i ，即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸 “ 線 ” 上，則 擬合最好， 可認(rèn)為 “ 離差 ” 全部來(lái)自回歸線，而與 “ 殘差 ” 無(wú)關(guān)。 ? 在給定樣本中， 總體平方和 TSS不變， ? 如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則 ESS在 TSS中占的比重越大，因此定義： ? 擬合優(yōu)度：回歸平方和 ESS/Y的總離差平方和 TSS ? ? ??? 22 )( YYyTS S ii? ? ??? 22 )?(? YYyE SS ii? ? ??? 22 )?( iii YYeR S S70 可決系數(shù) R2 ○ 稱 R2 為 （樣本） 可決系數(shù) /判定系數(shù) （ coefficient of determination)。 R2越接近 1，說(shuō)明實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高 。它也是隨著抽樣的不同而不同。 ? 在例 收入－消費(fèi)支出 例中， T SSR SST SSE SSR ??? 1記 2在實(shí)際計(jì)算可決系數(shù)時(shí)，在 1?? 已經(jīng)估計(jì)出后 ： ???????????22212 ?iiyxR ? 7425000)(?222212 ??????iiyxR ?71 二、變量的顯著性檢驗(yàn) ○ 回歸分析是要判斷解釋變量 X是否是被解釋變量 Y的一個(gè)顯著性的影響因素。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn)。在 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中 ，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來(lái)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。 ○ 所謂 假設(shè)檢驗(yàn) ，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)原假設(shè)（記為 H0），然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。先假定原假設(shè) H0正確，然后根據(jù)樣本信息觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè) ○反證法 的判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的。反之，則接受假設(shè)的正確性。 ),(~? 2211 ?ixN ???)2(~???1?112211 ?????? ntSxt i ??????1?1???St ?74 案例分析 ○ 案例 ： 在上述案例的家庭收入 —消費(fèi)支出中，首先計(jì)算 ?2的估計(jì)值， ○ t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果分別為： 給定顯著性水平 ?=，查 t分布表臨界值： (8)= ○ |t1|，說(shuō)明家庭可支配收入在 95%的置信度下顯著，即是消費(fèi)支出的主要解釋變量； ○ |t0|， 表明在 95%的置信度下 ， 無(wú)法拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè) 。要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過(guò)構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來(lái)考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。 ○ 如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為 置信區(qū)間 （ confidence interval）； 1?稱為 置信系數(shù) （ 置信度 ）（ confidence coefficient）， ?稱為 顯著性水平 （ level of significance）；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為 置信限 （ confidence limit）或 臨界值（ critical values）。表示為： ? 即 ? 于是得到 :(1?)的置信度下 , ?i的置信區(qū)間是 ? 在上述 收入 消費(fèi)支出 例中，如果給定 ? =，查表得： ? 因?yàn)橐阎? ○ 于是， ? ?0的置信區(qū)間分別為： ?1∈ （ ,)， ?0∈ （ ,） )2(~????? ntstiii???P t t t( )? ? ? ? ?? ? ?2 2 1P t s ti ii(?)?? ? ? ? ? ?? ?? ? ??2 21P t s t si i ii i( ? ? )? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 2 1( ? , ? )? ?? ?? ?? ?i it s t si i? ? ? ?2 2)8()2( ??? tnt ? ??S ??S78 如何縮小置信區(qū)間 ○ 由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。 因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较拢?n越大， t分布表中的臨界值越??；同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減小； ⑵提高模型的擬合優(yōu)度。 ○模型參數(shù)一般具有特定的經(jīng)濟(jì)意義 ，如案例中 ?1的估計(jì)值為，能否說(shuō)邊際消費(fèi)傾向?yàn)?？不能，我們只能說(shuō)：邊際消費(fèi)傾向以 ，處于以 間（ ,)中。 一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測(cè)問(wèn)題 一、 ?0的無(wú)偏估計(jì)值 二、 總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 80 說(shuō) 明 ? 對(duì)于一元線性回歸方程： ? 給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值 X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值 ?0 ，可以此作為其 條件均值E(Y|X=X0)或 個(gè)別值 Y0的一個(gè)近似估計(jì)。原因是 : （ 1）參數(shù)估計(jì)量是不確定的； （ 2）存在隨機(jī)項(xiàng)的影響 ? 所以我們得到僅是預(yù)測(cè)值的一個(gè)估計(jì)值，預(yù)測(cè)值僅以某一個(gè)置信度處于以該估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間內(nèi)，預(yù)測(cè)在更大程度上說(shuō)是一個(gè)區(qū)間估計(jì)問(wèn)題 ii XY 10 ??? ?? ??81 一、 ?0的無(wú)偏估計(jì)值 △ ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì) △ ?0是個(gè)值 Y0的一個(gè)無(wú)偏估計(jì) 82 ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的無(wú)偏估計(jì) ○ 對(duì)于總體回歸函數(shù) E(Y|X)=?0+?1X， 當(dāng) X=X0時(shí)，有： E(Y|X=X0)=?0+?1X0 于是有： ○ 可見(jiàn)， ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的無(wú)偏估計(jì)。 ??? ??? 0100 XY0100100100 )()()( XEXXEYE ???????? ????????0101000100 )?()?()??()?( XEXEXEYE ?????? ??????84 二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 △ 總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 △ 總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 △ 案例分析 △ 小結(jié) 85 總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 ? 由于已知： ? 于是有： ? 可以證明： ? 因此 有： ? 故有： 0100 ??? XY ?? ?? ),(~? 2211 ?ixN ??? ),(~? 22200 ??? ??iixnXN0101000 )?()?()?( XEXEYE ???? ????)?()?,?(2)?()?( 12022000 ???? V a rXC o vXV a rYV a r ?????? 2210 /)?,?( ixXC o v ??????? ???222022022202)?(iiiixXxXXxnXYV a r ??????????? ????? ??200222222 XXXXn XnXx ii?))(( 20222XXn xx ii??? ??? ))(1( 2202????ixXXn?)))(1(,(~? 22020100 ????ixXXnXNY ???86 )2(~)(?0?0100 ???? ntSXYtY?? ))(1(?2202?0 ????iY xXXnS ?○ 于是，在 1?的置信度下， 總體均值 E(Y|X0)的置信區(qū)間為 ： 0202 ?00?0?)|(? YY StYXYEStY ?????? ??其中 87 總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 ? 由 Y0=?0+?1X0+? 知 : ? 于是有： ? 式中： ○ 從而在 1?的置信度下， Y0的置信區(qū)間 為： ),(~ 20220 ??? XNY ?)))(11(,0(~? 220200 ?????ixXXnNYY ?)2(~?00?00 ????ntS YYtYY))(11(? 2202? 00 ??????iYY xXXnS ?00202 ?000?0?? YYYY StYYStY ?? ?????? ??88 案例分析 ○ 在上述 收入 —消費(fèi)支出 案例中，得到的樣本回歸函數(shù)為： ○ 則在 X0=1000處，有： ?0= –+ 1000= ○ 而 ○ 因此，總體均值 E(Y|X=1000)的 95%的置信區(qū)間為： ? E(Y|X=1000) +? 或者是：（ , ） ○ 同樣地，對(duì)于 Y在 X=1000的 個(gè)體值 ，其 95%的置信區(qū)間為： ?Yx=1000 +? 或者是： (, ) ii XY ??? 7 2 77 4 2 5 0 0 0 )2 1 5 01 0 0 0(10 11 3 4 0 2)?(20 ??????? ???YV a r )?(0 ?YS89 小結(jié) ○ 對(duì)于 Y的總體均值 E(Y|X)與個(gè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間）： ⑴樣本容量 n越大，預(yù)測(cè)精度越高，反之預(yù)測(cè)精度越低； ⑵樣本容量一定時(shí)，置信帶的寬度當(dāng)在 X均值處最小，其附近進(jìn)行預(yù)測(cè)（插值預(yù)測(cè)）精度越大； X越遠(yuǎn)離其均值，置信帶越寬，預(yù)測(cè)可信度下降。 實(shí)例：時(shí)間序列問(wèn)題 一、 中國(guó)居民人均消費(fèi)模型 二、 時(shí)間序列問(wèn)題 三、 線性回歸模型評(píng)價(jià) 91 一、中國(guó)居民人均消費(fèi)模型 △ 案例分析 △ 建立模型 △ 模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) △ 預(yù)測(cè)分析 92 案例分析 ○ 案例 ： 考察中國(guó)居民收入與消費(fèi)支出的關(guān)系。 表 中國(guó)居民人均消費(fèi)支出與人均 GDP / 人（元） 年份 人均居民消費(fèi) CONS P 人均 GDP GDPP 年份 人均居民消費(fèi) CONS P 人均 GDP GDPP 1978 1990 1979 1991 1980 1992 1981 1 993 1982 1994 1983 1995 1984 1996 1985 1997 1986 1998 1987 1999 1988 2022 1989 93 建立模型 ○ 該兩組數(shù)據(jù)是 1978—2022年的 時(shí)間序列數(shù)據(jù) (time series data) ○ 前 例 中的 收入 —消費(fèi) 數(shù)據(jù)是 截面數(shù)據(jù) (crosssectional data)。 因此，可以認(rèn)為：模型初步通過(guò)了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。 ? 人均 GDP的 樣本均值為： E(GDPP) = ? 人均 GDP的 樣本方差 ： Var(GDPP)== 97 ○ 2022年人均居民消費(fèi)的 預(yù)測(cè)區(qū)間 ⑴在 95%的置信度下， E(CONSP2022)的預(yù)測(cè)區(qū)間 為： ? =? ? ? 或者： E(CONSP2022)∈ （ ,） ⑵同樣地，在 95%的置信度下