屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--29等比數(shù)列-wenkub.com
2025-01-15 19:36 本頁面
【正文】 (2)求 {nSn}的前 n項和 Tn. 1,2 [分析 ](1)利用 S2nSn?S3nS2n? 的關(guān)系化簡 210S30(210+1)S20+S10=0. (2)利用錯位相減法求和 . [解 ](1)由 210S30(210+1)S20+S10=0得 210(S30S20)=S20S10, 即 210(a21+a22+? +a30)=a11+a12+? +a20, 可得 210?q10(a11+a12+? +a20)=a11+a12+? +a20. 因為 an0,所以 210q10=1, 解得 q= ,因而 an=a1qn1= (n∈ N*). 1212n? ? ? ?? ?223nnn11nn2 a a q ,S nS nnS n T11,221111221 , .1 221212,2 2 21 1 2 1( 1 2 ) .2 2 2 2 2 2( 1 2 n )nnnnnnnnnT nnn??? ? ?? ? ? ?? ??????????????? ? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ?????因 為 是 首 項 公 比 的 等 比 數(shù) 列 故則 數(shù) 列 的 前 項 和11n211 1 1 1( 1 2 )2 2 2 2 2 2111( 1 ) 22,14212( 1 ) 12.2 2 2,TnnnnnnnT nnn n nn n n?????? ? ? ? ? ? ? ? ??????????? ??? ? ???? ? ??前 兩 式 相 減 得即錯源一 對公比 q的范圍、取值考慮不周全 【 典例 1】 已知三角形的三邊構(gòu)成公比為 q的等比數(shù)列 ,則 q的取值范圍 ( ) 1 5 5 1.( 0 , ) .( , 1 ]221 5 5 1 1 5.[ 1 , ) .( , )2 2 2ABCD??? ? ? [錯解 ]設(shè)三角形的三邊分別為 a,aq,aq2,且 a0,q的兩邊之和大于第三邊 ,得 a+aqaq2,即 1+qq2,解得 0q [剖析 ]不考慮 q的范圍就認為 aq2是最大邊是錯誤的 ,事實上 ,由于 a0,當(dāng) q1時數(shù)列是遞增的 ,aq2是最大邊 。 q3n反之也正確 . (2)只有同號的兩個數(shù)才有等比中項 ,且這兩數(shù)的等比中項互為相反數(shù) . 類型二 等比數(shù)列的基本量運算 解題準(zhǔn)備 :在等比數(shù)列的通項公式和前 n項和公式中 ,共有a1,an,q,n,Sn五個量 ,知道其中任意三個量 ,都可以求出其余兩個量 .解題時 ,將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系 ,然后利用方程組的思想求解 . 【 典例 2】 設(shè)數(shù)列 {an}為等比數(shù)列 ,且 a10,它的前 n項和為 80,且其中數(shù)值最大的項為 54,前 2n項的和為 通項公式 . 1n 2n2n nn21( 1 )80 ,1( 1 )65 [ ] q , S 8 0 , S 656 0 , q 1 ,S 2S .60.q 8 .11nnaqqaqq? ????? ? ?????????? ??解 設(shè) 數(shù) 列 的 公 比 為 由 得得②①②否①則將 qn=81代入①得 ,a1=q1.③ 又 ∵ a10,∴ q1.∴ 數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列 . 從而 ,a1qn1=54, ∴ a1qn=54q,∴ 81a1=54
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