屆總復習-走向清華北大--29等比數(shù)列(文件)
【正文】 項和為 Sn. (1)數(shù)列 {c?an}(c≠0),{|an|},{an?bn}({bn}也是等比數(shù)列 ),{a2n},{ }等也是等比數(shù)列 . (2)數(shù)列 am,am+k,am+2k,am+3k,? 仍是等比數(shù)列 . (3)若 m+n=p+q,則 am?an=ap?aq, 特別地 ,若 m+n=2p,則 am?an=a2p. 1na (4)a1an=a2an1=? =amanm+1. (5)數(shù)列 Sm,S2mSm,S3mS2m.? 仍是等比數(shù)列 (此時 {an}的公比q≠1). (6)當 n是偶數(shù)時 ,S偶 =S奇 7=14而當 0q1時 ,數(shù)列是遞減的 ,此時 a是最大邊 . 15.2?22[ ] q 1 , a a q a q ,1q0 q 1 , a q15。解法二利用求和公式 ,但需先確定 q≠1,否則不可斷定用 q≠1時的公式 . 類型四 等比數(shù)列前 n項和及其性質(zhì) 解題準備 : n項和公式 : 1n 11( 1 ) ,(1 )( 1 ) .1S1nnn a qa a qaqqqq????????????? n項和公式中涉及的基本量有 a1,q,an,n,用公式時 ,必須弄清公比 q是可能等于 1還是不等于 q可能等于 1,則需分 q=1和 q≠1兩種情況進行討論 . 【 典例 4】 設正項等比數(shù)列 {an}的首項 a1= 前 n項和為 Sn,且 210S30(210+1)S20+S10=0. (1)求 {an}的通項 。 q. 【 典例 3】 已知等比數(shù)列前 n項的和為 2,其后 2n項的和為 12,求再后面 3n項的和 . [解 ]解法一 :利用等比數(shù)列的性質(zhì) . 由已知 a1+a2+? +an=2, an+1+an+2+? +a2n+a2n+1+a2n+2+? +a3n=12. 注意到(a1+a2+? +an),(an+1+an+2+? +a2n),(a2n+1+a2n+2+? +a3n),(a3n+1+a3n+2+? +a4n),? 也成等比數(shù)列 ,其公比為 qn,于是 ,問題轉(zhuǎn)化為已知 : A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求 A1q3n+A1q4n+A1q5n的值 . 由 A1=2,A1qn+A1q2n=12, 得 q2n+qn6=0,則 qn=2,或 qn=3. 故 A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2 (2)Sn+1=4an. 2nn?nSn? ?? ? ? ? ? ?n 1 n 1 n n 1n n 1 n 1 n1n[ ] 1 a S S , an 2 S n S S . nS 2 n 1 S ,.2.2.12nnnnnSnSSnnSn? ? ???????? ? ?? ? ? ? ? ?證 明整 理 得 所 以故 是 以 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列? ? ? ? ? ?? ? ? ?111n 1 n2 1 2 1 2n 1 n2 1 n 2 .S 4 n 1 4a n 2 .a 3S 34111, S a a 4 .n 1 , S 4a .nnnSSnnSn?????????? ? ?? ? ? ? ???由 知 ≥于 是 ≥又 故因 此 對 于 任 意 正 整 數(shù) 都 有[反思感悟 ](1)等比數(shù)列從第 2項起 ,每一項 (有窮等比數(shù)列的末項除外 )是它的前一項與后一項的等比中項 。當 n≥2時,an=SnSn1=(a1)an1,經(jīng)驗證 n=1時 ,通項公式不符合 ,故當a≠1時 ,從第二項起成等比數(shù)列 。 qn(k≠0)
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