屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--29等比數(shù)列(存儲版)
【正文】 ? ? ? ?111n 1 n2 1 2 1 2n 1 n2 1 n 2 .S 4 n 1 4a n 2 .a 3S 34111, S a a 4 .n 1 , S 4a .nnnSSnnSn?????????? ? ?? ? ? ? ???由 知 ≥于 是 ≥又 故因 此 對 于 任 意 正 整 數(shù) 都 有[反思感悟 ](1)等比數(shù)列從第 2項起 ,每一項 (有窮等比數(shù)列的末項除外 )是它的前一項與后一項的等比中項 。解法二利用求和公式 ,但需先確定 q≠1,否則不可斷定用 q≠1時的公式 . 類型四 等比數(shù)列前 n項和及其性質(zhì) 解題準(zhǔn)備 : n項和公式 : 1n 11( 1 ) ,(1 )( 1 ) .1S1nnn a qa a qaqqqq????????????? n項和公式中涉及的基本量有 a1,q,an,n,用公式時 ,必須弄清公比 q是可能等于 1還是不等于 q可能等于 1,則需分 q=1和 q≠1兩種情況進(jìn)行討論 . 【 典例 4】 設(shè)正項等比數(shù)列 {an}的首項 a1= 前 n項和為 Sn,且 210S30(210+1)S20+S10=0. (1)求 {an}的通項 。 7=14 遼寧 )設(shè) Sn為等比數(shù)列 {an}的前 n項和 ,已知 3S3=a42,3S2=a32,則公比 q=( ) 334234334 3 4: : 3a a a , 4a a ,32,324q .SaSaaa???????? ? ????①解 析 ① ② 得②答案 :B 5.(2022 an an=ap an+2(an反之也正確 . (2)只有同號的兩個數(shù)才有等比中項 ,且這兩數(shù)的等比中項互為相反數(shù) . 類型二 等比數(shù)列的基本量運(yùn)算 解題準(zhǔn)備 :在等比數(shù)列的通項公式和前 n項和公式中 ,共有a1,an,q,n,Sn五個量 ,知道其中任意三個量 ,都可以求出其余兩個量 .解題時 ,將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系 ,然后利用方程組的思想求解 . 【 典例 2】 設(shè)數(shù)列 {an}為等比數(shù)列 ,且 a10,它的前 n項和為 80,且其中數(shù)值最大的項為 54,前 2n項的和為 通項公式 . 1n 2n2n nn21( 1 )80 ,1( 1 )65 [ ] q , S 8 0 , S 656 0 , q 1 ,S 2S .60.q 8 .11nnaqqaqq? ????? ? ?????????? ??解 設(shè) 數(shù) 列 的 公 比 為 由 得得②①②否①則將 qn=81代入①得 ,a1=q1.③ 又 ∵ a10,∴ q1.∴ 數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列 . 從而 ,a1qn1=54, ∴ a1qn=54q,∴ 81a1=54q.④ ③④ 聯(lián)立 ,解得 q=3,a1=2. ∴ an=a1qn1=2 3n1. [反思感悟 ]因為前 n項和與前 2n項和已知 ,這為建立方程提供了條件 ,由此可求得首項 a1與公比 q之間的關(guān)系 ,進(jìn)而確定an. 求解本題時 ,有兩個易錯點(diǎn) :一是不判斷 q≠1而直接利用公式Sn= 。 (2)求 {nSn}的前 n項和 Tn. 1,2 [分析 ](1)利用 S2nSn?S3nS2n? 的關(guān)系化簡 210S30(210+1)S20+S10=0. (2)利用錯位相減法求和 . [解 ](1)由 210S30(210+1)S20+S10=0得 210(S30
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