【正文】 等于 q可能等于 1,則需分 q=1和 q≠1兩種情況進行討論 . 【 典例 4】 設正項等比數(shù)列 {an}的首項 a1= 前 n項和為 Sn,且 210S30(210+1)S20+S10=0. (1)求 {an}的通項 。 qn(k≠0)是 {an}成等比數(shù)列的 充要條件 ,這時 nnmab1 .1akq? ? (1)定義法 : (q是不為 0的常數(shù) ,n∈ N*)?{an}是等比數(shù)列 . (2)通項公式法 :an=cqn(c,q均是不為 0的常數(shù) ,n∈ N*)?{an}是等比數(shù)列 . (3)中項公式法:a2n+1=an bn}與 仍為等比數(shù)列 ,其中 m是不為零的常數(shù) . (6)當 q≠0,q≠1時 ,Sn=kk q3n 1 1 2 ( 2 ),3 7 8 ( 3 ).nnqq? ???? ? ? ???解法二 :利用求和公式 . 如果公比 q=1,則由于 a1+a2+? +an=2,可知 an+1+? +a3n=4,與已知不符 , ∴ q≠ ,得 ① 又 ② 式②除以式①得 qn(1+qn)=6, ∴ q2n+qn= qn=2,或 qn=3. 1 (1 ) 2,1naqq? ??21 (1 ) 1 2 ,1nna q qq? ??? ?3n n332n31n( 1 )12112 ( 2) ,3n Sq 1 q q ,S378 ( 3 )14q.nnnna q qqSqq? ? ????? ???? ? ??????又 再 后 項 的 和 ③ 式 ③ 除 以 式 ①得 [反思感悟 ]由已知條件 ,根據前 n項和公式列出關于首項 a1和公比 q及 n的兩個方程 ,應能解出 a1和 q關于 n的表達式 ,這樣可能較繁瑣又不便于求出結果 ,若采用整體處理的思路 ,問題就會變得簡單 ,也可采用等比數(shù)列的性質使問題簡化 .解法一利用等比數(shù)列的性質 。 重慶 )在等比數(shù)列 {an}中 ,a2022=8a2022,則公比 q的值為 ( ) 解析 :依題意得 =q3=8,q=2,選 A. 答案 :A 20222022aa類型一 等比數(shù)列的判斷與證明 解題準備 :證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法有兩種 :一是利用等比數(shù)列的定義 ,即證明 =q(q≠0,n∈ N*),二是利用等比中項法 ,即證明 a2n+1=anan+2≠0(n∈ N*).在解題中 ,要注意根據欲證明的問題 ,對給出的條件式進行合理地變形整理 ,構造出符合等比數(shù)列定義式的形式 ,從而證明結論 . 1nnaa?【 典例 1】 數(shù)列 {an}的前 n項和記為 Sn,已知 a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,? ),求證 : (1)數(shù)列 { }是等比數(shù)列 。第二十九講等比數(shù)列 回歸課本 (1)如果一個數(shù)列從第 2項起 ,每一項與它的前一項的 比 等于同一常數(shù) ,那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列 .這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 公比 ,通常用字母 q表示 . (2)對于正整數(shù) m、 n、 p、 q,若 m+n=p+q,則等比數(shù)列中am,an,ap,aq的關系為 am (2)Sn+1=4an. 2nn?nSn? ?? ? ? ? ? ?n 1 n 1 n n 1n n 1 n 1 n1n[ ] 1 a S S , an 2 S n S S . nS 2 n 1 S ,.2.2.1