屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--29等比數(shù)列(編輯修改稿)
2025-02-14 19:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ????? ? ?????????? ??解 設(shè) 數(shù) 列 的 公 比 為 由 得得②①②否①則將 qn=81代入①得 ,a1=q1.③ 又 ∵ a10,∴ q1.∴ 數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列 . 從而 ,a1qn1=54, ∴ a1qn=54q,∴ 81a1=54q.④ ③④ 聯(lián)立 ,解得 q=3,a1=2. ∴ an=a1qn1=2 3n1. [反思感悟 ]因?yàn)榍?n項(xiàng)和與前 2n項(xiàng)和已知 ,這為建立方程提供了條件 ,由此可求得首項(xiàng) a1與公比 q之間的關(guān)系 ,進(jìn)而確定an. 求解本題時(shí) ,有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) :一是不判斷 q≠1而直接利用公式Sn= 。二是不借助 a10導(dǎo)出 q1,進(jìn)而判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性得出最大項(xiàng)為 an,而是想當(dāng)然地認(rèn)為 an為最大項(xiàng) . 1(1 )1naqq??類型三 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 解題準(zhǔn)備 : (1)若 a10,q1或 a10,0q1,則數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列 . (2)若 a10,0q1或 a10,q1,則數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列 . (3)若 q=1,則數(shù)列 {an}是常數(shù)列 . (4)若 q0,則數(shù)列 {an}是擺動(dòng)數(shù)列且各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)間隔 . 已知等比數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn. (1)數(shù)列 {c?an}(c≠0),{|an|},{an?bn}({bn}也是等比數(shù)列 ),{a2n},{ }等也是等比數(shù)列 . (2)數(shù)列 am,am+k,am+2k,am+3k,? 仍是等比數(shù)列 . (3)若 m+n=p+q,則 am?an=ap?aq, 特別地 ,若 m+n=2p,則 am?an=a2p. 1na (4)a1an=a2an1=? =amanm+1. (5)數(shù)列 Sm,S2mSm,S3mS2m.? 仍是等比數(shù)列 (此時(shí) {an}的公比q≠1). (6)當(dāng) n是偶數(shù)時(shí) ,S偶 =S奇 q. 當(dāng) n是奇數(shù)時(shí) ,S奇 =a1+S偶 q. 【 典例 3】 已知等比數(shù)列前 n項(xiàng)的和為 2,其后 2n項(xiàng)的和為 12,求再后面 3n項(xiàng)的和 . [解 ]解法一 :利用等比數(shù)列的性質(zhì) . 由已知 a1+a2+? +an=2, an+1+an+2+? +a2n+a2n+1+a2n+2+? +a3n=12. 注意到(a1+a2+? +an),(an+1+an+2+? +a2n),(a2n+1+a2n+2+? +a3n),(a3n+1+a3n+2+? +a4n),? 也成等比數(shù)列 ,其公比為 qn,于是 ,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知 : A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求 A1q3n+A1q4n+A1q5n的值 . 由 A1=2,A1qn+A1q2n=12, 得 q2n+qn6=0,則 qn=2,或 qn=3. 故 A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2 q3n 7=14 q3n 1 1 2 ( 2 ),3 7 8 ( 3 ).nnqq? ???? ? ? ???解法二 :利用求和公式 . 如果公比 q=1,則由于 a1+a2+? +an=2,可知 an+1+? +a3n=4,與已知不符 , ∴ q≠ ,得 ① 又 ② 式②除以式①得 qn(1+qn)=6, ∴ q2n+qn= qn=2,或 qn=3. 1 (1 ) 2,1naqq? ??21 (1 ) 1 2 ,1nna q qq? ??? ?3n n332n31n( 1 )12112 ( 2) ,3n Sq 1 q q ,S378 ( 3 )14q
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