屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--29等比數(shù)列(完整版)
【正文】 11( 1 ).(1 )( 1 )11nn nna qS a a qaqqqq???? ???? ?? ??或 (1)在等比數(shù)列中 ,每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列 ,構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列 . (2)若 {an}是等比數(shù)列 ,則 {λan}?{|an|}皆為等比數(shù)列 ,公比分別為 q和 |q|(λ為非零常數(shù) ). (3)一個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)的 k次冪 ,仍組成一個(gè)等比數(shù)列 ,新公比是原公比的 k次冪 . (4)等比數(shù)列中連續(xù) n項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列 . (5)若數(shù)列 {an}與 {bn}均為等比數(shù)列 ,則 {m aq,如果 a、 G、 b成等比數(shù)列 ,那么 G叫做 a與 b的 等比中項(xiàng) ,且 G=177。 an+1二是不借助 a10導(dǎo)出 q1,進(jìn)而判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性得出最大項(xiàng)為 an,而是想當(dāng)然地認(rèn)為 an為最大項(xiàng) . 1(1 )1naqq??類型三 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 解題準(zhǔn)備 : (1)若 a10,q1或 a10,0q1,則數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列 . (2)若 a10,0q1或 a10,q1,則數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列 . (3)若 q=1,則數(shù)列 {an}是常數(shù)列 . (4)若 q0,則數(shù)列 {an}是擺動(dòng)數(shù)列且各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)間隔 . 已知等比數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn. (1)數(shù)列 {c?an}(c≠0),{|an|},{an?bn}({bn}也是等比數(shù)列 ),{a2n},{ }等也是等比數(shù)列 . (2)數(shù)列 am,am+k,am+2k,am+3k,? 仍是等比數(shù)列 . (3)若 m+n=p+q,則 am?an=ap?aq, 特別地 ,若 m+n=2p,則 am?an=a2p. 1na (4)a1an=a2an1=? =amanm+1. (5)數(shù)列 Sm,S2mSm,S3mS2m.? 仍是等比數(shù)列 (此時(shí) {an}的公比q≠1). (6)當(dāng) n是偶數(shù)時(shí) ,S偶 =S奇 而當(dāng) 0q1時(shí) ,數(shù)列是遞減的 ,此時(shí) a是最大邊 . 15.2?22[ ] q 1 , a a q a q ,1q0 q 1 , a q15。 q. 【 典例 3】 已知等比數(shù)列前 n項(xiàng)的和為 2,其后 2n項(xiàng)的和為 12,求再后面 3n項(xiàng)的和 . [解 ]解法一 :利用等比數(shù)列的性質(zhì) . 由已知 a1+a2+? +an=2, an+1+an+2+? +a2n+a2n+1+a2n+2+? +a3n=12. 注意到(a1+a2+? +an),(an+1+an+2+? +a2n),(a2n+1+a2n+2+? +a3n),(a3n+1+a3n+2+? +a4n),? 也成等比數(shù)列 ,其公比為 qn,于是 ,問題轉(zhuǎn)化為已知 : A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求 A1q3n+A1q4n+A1q5n的值 . 由 A1=2,A1qn+A1q2n=12, 得 q2n+qn6=0,則 qn=2,或 qn=3. 故 A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2當(dāng) n≥2時(shí),an=SnSn1=(a1)an1,經(jīng)驗(yàn)證 n=1時(shí) ,通項(xiàng)公式不符合 ,故當(dāng)a≠1時(shí) ,從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列 。 qn1(a1≠0,q≠0)。 (ab0). ab n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=a1 an+2≠0,n∈ N*)?{an} 是等比數(shù)列 . (4)前 n項(xiàng)和公式法 :Sn= qn =kqnk(k= 是常數(shù) ,且 q≠0,q≠1)?{an}是等比數(shù)列 . 1nna qa? ?11aq?11aq?11aq?考點(diǎn)陪練 n項(xiàng)和為 Sn=an2(a是不為 0的實(shí)數(shù) ),那么數(shù)列{an}(
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