20xx110高考中數(shù)列綜合題解題策略與方法-資料下載頁(yè)
2025-07-28 14:40本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】題中占有重要地位。本文通過一些例子說明解決數(shù)列綜合題的基本策略與方法。，善于把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。因而要解決這個(gè)問題必須緊扣題意，并把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。解法1把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。引入?yún)?shù)x，使得。解法2把問題轉(zhuǎn)化為便于求通項(xiàng){}na的情形。，將這兩式相減得，n=1也滿足等式，故所求通項(xiàng)為31. 由已知遞推關(guān)系可得，，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。例2在數(shù)列{}na中，2111,3244,1,2,...nnaaannn???????函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)，通過適當(dāng)換元來簡(jiǎn)化問題。的不動(dòng)點(diǎn)，就是指滿足方程()fxx?系相對(duì)應(yīng)的函數(shù)()yfx?的不動(dòng)點(diǎn)，就可將有關(guān)數(shù)列問題化簡(jiǎn)。的根，解這個(gè)方程得121,1xx???利用這兩個(gè)跟，我們考察以1{}1n. ，此時(shí)我們考察以1{}. 故對(duì)一切正整數(shù)n，0nb?，對(duì)此式兩邊同時(shí)除以12n?
【正文】 kk kaa ?? ? ???。于是 112112111111 1 1 11 1 1 21 1 1 1(1 ... )1 2 2 21 1 2 2 1( 2 )1 2 1 1 3 2nnkkkknna a aaaa???????? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ??? 故 121 1 1 1...1 1 1 2na a a? ? ? ?? ? ?。 說 明：本題 （ 2）的證明關(guān)鍵是要由已知遞推關(guān)系導(dǎo)出一個(gè)遞推不等關(guān)系1 21nnaa? ??，進(jìn)而導(dǎo)出 111 1 1 , ( 2 )1 1 2 kk kaa ?? ? ???。這里對(duì) 1 ( ) 1n n na a a n? ? ? ?中一部分 na 不變，一部分 na 縮小為 n+2，這種放縮技巧是值得重視的。 例 7 已知數(shù)列 {}na 滿足 21nnaa? ? ，且 101a??，證明：121 1() 3nk k kn a a a??? ? ? ??。 分析：這是由一道高考數(shù)學(xué)試題改編而來的，命題者給出的的解答是比較復(fù)雜的。下面我們給出另一種解法，而且利用這種解法很容易把問題加以推廣。 證明 首先用數(shù)學(xué)歸納法可以證明對(duì)一切正整數(shù) n， 0na? ，于是對(duì) 21nnaa? ?兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得 1lg 2lgnnaa? ? ，故 {lg }na 是等比數(shù)列，可求得1 1lg 2 lgnnaa?? ，即 121nnaa?? ，由于 101a??，故 {}na 是單調(diào)遞減數(shù)列，故 1nnaa? ? ，且 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 13 k k k k k k k k k k ka a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，221 2 1 1 1113 3 3 3 31 1 1 11( ) ( ) ( )1 1 1 1( ) ( )3 3 3 3nnk k k k k k k k knk k nna a a a a a a a aa a a a a? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? 說明：這個(gè)例子中對(duì) 2ka? 進(jìn)行適當(dāng)放大的技巧也是值得深思的。 以上我們通過七個(gè)典型的例子，從五個(gè)方面說明求解數(shù)列綜合題的基本策略與方法。所舉例子并不復(fù)雜，但所運(yùn)用的方法在近幾 年的高考 數(shù)學(xué) 試題求解中是普遍策用的。在這部分內(nèi)容的高考備考中，教師要“站得高，看得遠(yuǎn)”，要注重培養(yǎng)學(xué)生的化歸、轉(zhuǎn)化的能力，要重視解題途徑的探求過程。
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