20xx110高考中數(shù)列綜合題解題策略與方法(專(zhuān)業(yè)版)
【正文】 例 7 已知數(shù)列 {}na 滿足 21nnaa? ? ，且 101a??，證明：121 1() 3nk k kn a a a??? ? ? ??。故原遞推關(guān)系化為12 1 12 4 2 3 ( 2 4 2 )nnn n n na a a a?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 令 1 2 4 2 nn n na a b? ? ? ? ?，則 1 3nnbb? ? ， 1 2 12 8 0b a a? ? ? ?， 故 對(duì)一切正整數(shù) n， 0nb? ， 即 1 2 4 2nnnaa? ? ? ?，對(duì)此式兩邊同時(shí)除以 12n? ，得 11 222nnaa?? ??， 故 2nna??????為等差數(shù) 列，首項(xiàng)為 1? ，公差為 2? ，故1 ( 1) ( 2 ) 1 22 nna nn? ? ? ? ? ? ? ?，故 2 (1 2 )nnan??。 函數(shù) 不動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)適當(dāng)換元來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。 例 {}na 滿足11 11, 1, 1, 2 , ...3nna a a n?? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)。 解法 4 通過(guò)直接迭代求通項(xiàng)。從而 11 222nnnnb nanbn?? ?? ? ?。 解： （ 1）證明： 當(dāng) n=1 時(shí)， 1 3 1 2a ? ? ? ，不等式成立； 假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，不等式成立，即 2kak?? ，則當(dāng) n=k+1 時(shí)，21 1 ( ) 1 ( 2) 2 1 2 5k k k k ka a k a a a k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3k??，即 1 ( 1) 2kak? ? ? ? ，故當(dāng) n=k+1 時(shí)，不等式成立。 。有時(shí)候，即使數(shù)列的通項(xiàng)能夠求出來(lái)，要證明所給的不等式也是困難難的。 解 與此遞推關(guān)系相對(duì)應(yīng)的函數(shù)是 1()3xfx x?? ?，解方程 13x xx? ??，得2 2 1 0xx? ? ? ， 解得 121xx? ?? ，此時(shí)我們考察以 1{}1na?為通項(xiàng)的數(shù)列。 解 法 3 由1 1 13nnaa? ??，可得11 13nnaa???，將這兩式相減得，111 ()3n n n na a a a??? ? ?，令 1 ( 2)n n na a b n?? ? ?，則1 2 2 111,33nnb b b a a? ? ? ? ?，故212 11( ) ( )33nnnbb ????，從而 11 1( ) , 23 nnna a n??? ? ?，故1 2 1 121( ) ... ( )1 1 1 3 11 ... (1 )3 3 3 2 3n n nnna a a a a a ?
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