【正文】 ，就自然能得出的和。有了這個(gè)思想，下面我們就來(lái)嘗試一下。不妨設(shè),于是可得。所以?？磥?lái)我們的嘗試成功了。下面來(lái)看看第二問，問題二構(gòu)造了一個(gè)新的數(shù)列，讓我們求出，即數(shù)列的所有項(xiàng)之和。還是老規(guī)矩，我們得先看看的樣子。由以及上一問的結(jié)論可得,。（此處對(duì)于進(jìn)行裂項(xiàng)也是一個(gè)難點(diǎn)，很多同學(xué)可能想不到這樣處理。）經(jīng)過(guò)裂項(xiàng)處理之后，很容易看出可用裂項(xiàng)求和法來(lái)求的所有項(xiàng)之和。即。所以仔細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)這類問題難就難在開頭的起步，這里解題的過(guò)程往往帶著“頓悟”的色彩，只要邁出了一步，后面的路就比較好走，可是這種“頓悟”的出現(xiàn)，卻不是那么容易的，這需要我們根據(jù)問題本身的提示來(lái)表征問題，并在相應(yīng)的問題空間中進(jìn)行搜索，在這個(gè)問題空間中，潛在可能的新表征方式很多，一旦在搜索中發(fā)現(xiàn)了對(duì)等性表征，頓悟就產(chǎn)生了，接下來(lái)的解題過(guò)程也變得很輕松。 數(shù)列構(gòu)造法與最值問題的應(yīng)用方法引導(dǎo)：構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法，基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來(lái)研究另一類問題的思維方法。在解題過(guò)程中，若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以根據(jù)題目特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題也能培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維，同時(shí)對(duì)提高解題能力也有所幫助。用構(gòu)造法求數(shù)列最值問題，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過(guò)合理的推理，探究出問題中隱藏的數(shù)列關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，從而與數(shù)列的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，以達(dá)到解題目的。下面我們來(lái)看例題。例4 已知實(shí)數(shù)滿足，且，求的最大值和最小值。選題意圖：本題問題簡(jiǎn)潔，卻很復(fù)雜，通過(guò)此題我們能夠體會(huì)到數(shù)列的工具性特點(diǎn)，即有些問題通過(guò)數(shù)列這一工具可以得到更簡(jiǎn)潔的解答。同時(shí)也希望同學(xué)們通過(guò)此題體會(huì)問題之間的轉(zhuǎn)化。解析：觀察所給條件，因?yàn)?，所以，從而。從這一步變形，的“樣子”就變成了只和的乘積有關(guān)了，即問題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍從而求得的最值。此步的操作充分體現(xiàn)了“變更問題”這一解題思想。再回頭看看，這里是關(guān)鍵的一步，這里建立了所求問題與數(shù)列之間的聯(lián)系，故由等差數(shù)列的等差中項(xiàng)可知成等差數(shù)列，這里我們成功的構(gòu)造了一個(gè)等差數(shù)列，接下來(lái)就可以沿著等差數(shù)列這條“路”考慮，先設(shè)公差為，這里的形式比較“肥胖”，不妨設(shè)，則由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得觀察的形式，可采用相乘的方法將其“消去”，消元思想在此處產(chǎn)生了巨大的作用，所以，所以，從而解出，可得，即，故。因此。到這里就完美地解決了此問?？吹酱祟}大多數(shù)同學(xué)都感覺無(wú)從下手，但通過(guò)變形，類比聯(lián)想到等差中項(xiàng)的形式，采用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)另辟蹊徑來(lái)解決問題，可謂獨(dú)具匠心。構(gòu)造法的應(yīng)用是極其廣泛的，這種方法即有利于學(xué)生融會(huì)貫通“基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能”，又有利于幫助學(xué)生提高綜合解題能力，對(duì)于啟迪學(xué)生思維，開拓學(xué)生視野均頗有益處。 數(shù)列與向量、概率的綜合問題方法引導(dǎo)：向量因具有代數(shù)與幾何的雙重屬性與其他知識(shí)的綜合,成為高考命題的熱點(diǎn),尤其是向量與數(shù)列的綜合題,它能夠利用向量的性質(zhì)給出數(shù)列的關(guān)系式,再利用數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行求解,體現(xiàn)了考查能力的命題原則。數(shù)列是傳統(tǒng)高考重點(diǎn)內(nèi)容，概率是新生代，數(shù)列與概率的交匯可以迸發(fā)出一類檔次較高的綜合題，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造能力大有裨益。與數(shù)列、向量有關(guān)的概率綜合題頻頻出現(xiàn)在各類高考模擬試卷中，這類問題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)多，構(gòu)思新穎。對(duì)這些問題的求解，需要有較強(qiáng)的思維能力以及運(yùn)算能力。然而很多同學(xué)感到難以下手，考試時(shí)經(jīng)常棄而不答，令人惋借。下面我們就以一道例題來(lái)談?wù)勥@類題的思想方法，希望同學(xué)們能從中受到啟發(fā)，掌握破解此類綜合題的通法。例5 已知數(shù)列及點(diǎn),對(duì)所有,滿足(1) (2) (3) 存在實(shí)數(shù),使。(Ⅰ) 用表示；(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),在與兩項(xiàng)中,至少有一項(xiàng)是數(shù)列 的最小項(xiàng),試求實(shí)數(shù)的取值范圍；(Ⅲ)設(shè)為正整數(shù),在(Ⅱ)的條件下,試證：數(shù)列中的最小項(xiàng)為與最小項(xiàng)為的概率相等。選題意圖：此類題是高考題中的“新星”，向量與概率問題與數(shù)列之間的綜合并不是很常見。這也恰恰體現(xiàn)出了數(shù)列知識(shí)的相容性。希望通過(guò)此題擴(kuò)展同學(xué)們的眼界也希望借此來(lái)向同學(xué)們展示數(shù)列知識(shí)的綜合性。解析：對(duì)于此類題的“病原”往往是信息量較大，涉及知識(shí)面廣?！安“Y”表現(xiàn)為復(fù)雜難懂，讀完題后或許沒有任何頭緒，“良藥”一味——“嘗試錯(cuò)誤式”，即遇到新的陌生問題時(shí)，將自己經(jīng)驗(yàn)中與新問題有關(guān)的知識(shí)，有關(guān)的問題類型和有關(guān)的方法集中起來(lái)做出嘗試，如果嘗試失敗，就進(jìn)行新的嘗試，從積累的全部經(jīng)驗(yàn)中做出一個(gè)又一個(gè)嘗試，直到問題解決。下面我們來(lái)分析一下這道題，首先看第一問，讓我們用表示，再看看題目所給條件，由條件(1) (2),可知數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,于是可以寫出,由題意我們可得四點(diǎn)的坐標(biāo)，而對(duì)于條件(3)，說(shuō)明直線平行，現(xiàn)在我們來(lái)整理一下“手里的碎片”——碎片一：是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列且；碎片二：四點(diǎn)坐標(biāo)；碎片三：直線平行。下面我們就開始嘗試吧，因?yàn)槠叫?，所?故。又，所以。這里出現(xiàn)了的遞推形式。結(jié)合其形式，所以由累加法可得=====，這里我們就把第一問解決了。此處難點(diǎn)在于能否理解的含義，它是一個(gè)突破口。接著我們來(lái)看看第二問，是求實(shí)數(shù)的取值范圍，條件告訴我們即，我們可將第一問的式子變形，故可從二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)考慮，這里“類比思想”的運(yùn)用為我們指明了接下來(lái)的“路”。于是可設(shè)，考慮它的圖象（如圖1）是開口向上且對(duì)稱軸為的拋物線,由題設(shè), 在與兩項(xiàng)中,至少有一項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng),則有,注意此處比較難，對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”的思想的應(yīng)用在這里就成了我們最好的工具，當(dāng)然前提是要相當(dāng)熟悉二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)。所以,，這里求出了第二問，此問的關(guān)鍵就是將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解數(shù)列問題。緊接著我們來(lái)看看最后一問，是讓我們?cè)?Ⅱ)的條件下,求證數(shù)列中的最小項(xiàng)為與最小項(xiàng)為的概率相等，這一問讓人摸不著頭腦，很多同學(xué)根本無(wú)法下手。我們先把概率放一放。先回頭看看前兩問的結(jié)論，首先我們知道，然后又知道，所以知道。于是有（1）當(dāng),即時(shí),.于是（2）當(dāng)即時(shí), ,于是由(1),(2)我們可以看出,數(shù)列中的最小項(xiàng)應(yīng)為。又由及,為正整數(shù),則，于是 當(dāng)時(shí),，即為最小項(xiàng)； 當(dāng)時(shí), =。 當(dāng)時(shí), ，即為最小項(xiàng)。接下來(lái)我們就要考慮一下概率了，由上面分析可知，的所有取值可能有13種，其中能導(dǎo)致為最小項(xiàng)的結(jié)果有6種，即數(shù)列中的最小項(xiàng)為的概率為,其中能導(dǎo)致為最小項(xiàng)的結(jié)果也有6種，即數(shù)列中的最小項(xiàng)為的概率也為,所以數(shù)列中的最小項(xiàng)為與最小項(xiàng)為的概率相等。此問的解題關(guān)鍵是找出與所隱藏的信息，進(jìn)而對(duì)的取值進(jìn)行討論，如果這里能很清楚的弄明白，這題就成功了一大半，此類題的信息量較大，所涉及的知識(shí)點(diǎn)也很多，希望在以后的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們能注重綜合能力的培養(yǎng)。圖13 結(jié)論學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題。數(shù)學(xué)解題是一種探索性活動(dòng)。所謂數(shù)學(xué)的探索性活動(dòng)，就是對(duì)數(shù)學(xué)問題，人們根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，運(yùn)用實(shí)驗(yàn)、觀察、想像、直覺、猜測(cè)、驗(yàn)證和反駁的方法，尋求一種可能性的活動(dòng)。解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)是尋求解決數(shù)學(xué)問題方法的一種心理活動(dòng)，是一種高級(jí)形式的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是一種有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，更是高考的重要考點(diǎn)之一。數(shù)列知識(shí)是解決大多實(shí)際問題的有用模型，數(shù)列問題是數(shù)學(xué)思想方法的良好載體。同時(shí)，作為新課程的重要組成部分，數(shù)列對(duì)學(xué)生思維能力、運(yùn)算能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)具有極其重要的價(jià)值，尤其對(duì)于“觀察、猜測(cè)、抽象、概括、論證”這樣一種發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的途徑的訓(xùn)練具有不可替代的作用。學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)疑惑，要思考；思則必有所獲，惑則必有所思，而在這一思一惑之中，我們的思維才會(huì)找到理性的出口。學(xué)習(xí)數(shù)列，使我對(duì)數(shù)學(xué)要疑惑要思考這一點(diǎn)有了更深的了解。本文通過(guò)對(duì)數(shù)列解題的分析與研究，正是想在茫茫題海中找尋一個(gè)出口，探尋其中之奧秘。數(shù)列的相關(guān)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)新課程的重點(diǎn)之一，它包括數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)列的極限等內(nèi)容。在近幾年的高考試題中均有數(shù)列題目出現(xiàn)，要學(xué)好這部分內(nèi)容，應(yīng)系統(tǒng)、全面地掌握好數(shù)列的基本知識(shí)，弄清數(shù)列和其它知識(shí)的聯(lián)系，在理解的基礎(chǔ)上去感受去嘗試去探究。同時(shí)掌握數(shù)列所蘊(yùn)含的獨(dú)特的解題方法和思維模式，也是學(xué)好數(shù)列所必不可少的。參考文獻(xiàn)[1] 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