【正文】 技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，使運算符合算理，合理簡捷。換言之，運算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力?！稑?biāo)準(zhǔn)》是在總目標(biāo)的四個方面之一的“數(shù)學(xué)思考”中提出運算能力的：“建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維?！边@說明運算能力是數(shù)學(xué)思考的重要內(nèi)涵。不僅如此，運算能力對《標(biāo)準(zhǔn)》在總目標(biāo)中提出的其他三個方面——知識技能、問題解決和情感態(tài)度的目標(biāo)的整體實現(xiàn)，同樣是不可缺少的基本條件。二、運算能力的特征運算能力是在不斷地運用數(shù)學(xué)概念、法則、公式，經(jīng)過一定數(shù)量的練習(xí)而逐步形成的。要使學(xué)生通過各種運算和對代數(shù)式、方程、不等式的變形以及重要公式的推導(dǎo)，通過用概念、法則、性質(zhì)進行簡單的推理，發(fā)展邏輯思維能力。運算的正確、靈活、合理和簡捷是運算能力的主要特征。首先要保證運算的正確，為此，必須要正確理解相關(guān)的概念、法則、公式和定理等數(shù)學(xué)知識，明確意識到實施運算的依據(jù)。如前所述，在每一學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》對運算提出的要求，都是和相關(guān)的數(shù)學(xué)知識一并提出的。然后，在適度訓(xùn)練，逐步熟悉的基礎(chǔ)上，清楚地意識實施運算中的算理。不斷總結(jié)正反兩方面的經(jīng)驗和教訓(xùn)，逐漸減少在實施運算中，思考概念、法則公式等的時間和精力，提高運算的熟練程度，以求運算的順暢，力求避免失誤。一題多解和多題一解出現(xiàn)在運算過程中是十分普遍的，即一般性與特殊性往往同時出現(xiàn)在實施運算的過程中，一題多解體現(xiàn)了運算的靈活性，多題一解則體現(xiàn)了運算的普適性。一題多解和多題一解的交替出現(xiàn)，相互比較，循環(huán)往復(fù)，不斷優(yōu)化，促使學(xué)生越來越感悟到：實施運算，解決問題，不僅要正確，而且要靈活、合理和簡潔。要充分重視估算?！稑?biāo)準(zhǔn)》在每個學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中，都強調(diào)了估算，提出了具體的要求，配備了一定數(shù)量的案例。第一學(xué)段：在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M行簡單的估算。在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進行估計（案例3）；能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用（案例6）。第二學(xué)段：理解估算的意義。結(jié)合現(xiàn)實情境感受大數(shù)的意義，并能進行估計（案例23）；在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算（案例26，案例27）；會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積（案例33）。第三學(xué)段：掌握必要的運算（包括估算）技能；能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍（案例47）；經(jīng)歷估計方程解的過程（案例52）；會利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解。估算是重要的運算技能，進行估算需要掌握一定的方法，需要積累一定的經(jīng)驗，需要避免出現(xiàn)過大的誤差；估算又是運算能力的特征之一，進行估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)，需要使估算的結(jié)果盡量接近實際情境，能對實際問題做出合理的解釋。運算能力的形成不是一蹴而就的，運算能力的發(fā)展總是從簡單到復(fù)雜，從低級到高級，從具體到抽象，有層次地發(fā)展起來的。因此，在實際教學(xué)過程中，既不能讓學(xué)生的運算能力在已有的水平上停滯不前，也不能超越知識的內(nèi)容和其他能力水平孤立地發(fā)展運算能力。應(yīng)該貫穿于師生共同參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動的全過程中，并體現(xiàn)發(fā)展的適度性、層次性和階段性。適度性：運算能力需要經(jīng)過多次反復(fù)訓(xùn)練，螺旋上升逐步形成，在這一過程中，安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題是必不可少的。題量過少，訓(xùn)練不足，難以形成技能，更難以形成能力；然而題量過多，搞成題海戰(zhàn)術(shù)，反而會使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，適得其反。目前，學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)過重，數(shù)學(xué)課程的作業(yè)量過大是重要原因之一。把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求，進行適量訓(xùn)練，科學(xué)安排，應(yīng)是發(fā)展運算能力的要求。層次性：安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題對形成運算能力不可缺少，但訓(xùn)練的難度一定要適當(dāng)，要從數(shù)學(xué)教學(xué)的全局出發(fā)，合理調(diào)控。義務(wù)教育的主要任務(wù)是打基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)尤其如此，訓(xùn)練題要有一定的數(shù)量，更要有合理的質(zhì)量。以二次根式為例，如果沒有最簡二次根式的概念，沒有分母有理化的要求，就會使教學(xué)無所適從，既造成教學(xué)的困惑，又影響高中階段的進一步學(xué)習(xí)。[1] ——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].（6）.第147頁[2] ——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].（6）.第143頁[3] ——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].（6）.第143頁安排為訓(xùn)練題，那就過于繁瑣，過分強調(diào)技巧，增加了負(fù)擔(dān)，對今后學(xué)習(xí)的作用也不大，應(yīng)當(dāng)避免。由此可見，層次性也是發(fā)展運算能力的要求。階段性：由前可知，《標(biāo)準(zhǔn)》對運算和運算能力的要求是分學(xué)段提出的，每個學(xué)段的要求都體現(xiàn)了一定的學(xué)段特征，力求符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這是完全必要的，適宜的。這也表明，階段性也應(yīng)是發(fā)展運算能力的要求。三、運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個長期的過程，首先伴隨著數(shù)學(xué)知識的積累和深化。正確理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，是逐步形成運算技能，發(fā)展運算能力的前提。運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展自然包括運算技能的逐步提高，而更應(yīng)引起關(guān)注的是運算思維素質(zhì)的提升和發(fā)展。在義務(wù)教育階段，運算能力的培養(yǎng)、發(fā)展要經(jīng)歷如下過程：第一學(xué)段理解萬以內(nèi)的數(shù)，初步認(rèn)識小數(shù)和分?jǐn)?shù)，初步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運算，以及簡單的分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加減運算。第二學(xué)段認(rèn)識萬以上的數(shù)，進一步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運算（包括混合運算），小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運算（包括混合運算），了解并初步應(yīng)用運算律。第三學(xué)段掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；掌握合并同類項和去括號的法則，進行簡單的整式減法、減法和乘法運算；利用乘法公式進行簡單計算；進行簡單的分式加、減、乘、除運算；了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算；解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加減消元法，解二元一次方程組；用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。無論是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運算，解方程和解不等式的運算，一開始總是和具體事物相聯(lián)系的，以后逐步脫離具體事物，抽象成數(shù)與式，方程與不等式的運算。直至到高中階段進行更為抽象的符號運算，如集合的交、并、補等運算，命題的或、且、非等運算。運算思維的抽象程度，是運算能力發(fā)展的主要特征之一。學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運算，解方程和解不等式的運算，在反復(fù)操練，相互交流的過程中，不僅會逐步形成運算技能，還會引發(fā)對怎么算？怎樣算的好？為什么要這樣算？等一系列問題的思考，這是由法則到算理的思考，使運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算能力發(fā)展的重要內(nèi)容。《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定了一系列與算理相關(guān)的內(nèi)容。第二學(xué)段：探索并了解運算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對加法的分配律），會應(yīng)用運算律進行一些簡便運算。了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。第三學(xué)段：除了“理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算”外，算理的內(nèi)容和要求進一步強化，在學(xué)習(xí)方程解法之前，要求“掌握等式的基本性質(zhì)”；在學(xué)習(xí)不等式解法之前，要求“探索不等式的基本性質(zhì)”；為此，《標(biāo)準(zhǔn)》提供了案例53：小麗去文具店買鉛筆和橡皮。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮？在此案例中，不僅給出了詳細(xì)的解題方案和過程，并指出：這是一個求整數(shù)解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計算，有助于學(xué)生直觀理解不等式。對于初中的學(xué)生，這個問題是生活常識，但希望學(xué)生能通過這個例子學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式看待生活中的問題。在一元二次方程的內(nèi)容中，《標(biāo)準(zhǔn)》不僅設(shè)置了“能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”，而且增加了“會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等”；“*了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”等內(nèi)容，表明不僅要學(xué)習(xí)和掌握解一元二次方程的運算方法，更要思考和領(lǐng)悟解一元二次方程的算理。函數(shù)在第三學(xué)段是重要的內(nèi)容。函數(shù)概念的引入，運算對象從常量提升到變量。運算的內(nèi)容更加豐富多彩，《標(biāo)準(zhǔn)》中不僅有“能確定簡單實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會求出函數(shù)值”；“會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式”；“會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為 的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)”等直接進行運算的內(nèi)容；還包括與運算密切相關(guān)的內(nèi)容，如：“能結(jié)合圖像對簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系進行分析”；“用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關(guān)系”；“結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論”；“根據(jù)一次函數(shù)的圖像和表達式 y = kx + b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況”；“能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式”；“根據(jù)圖像和表達式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況”；“*知道給定不共線三點的坐標(biāo)可以確定一個二次函數(shù)”。由常量到變量，表明運算思維產(chǎn)生了新的飛躍，運算能力也發(fā)展到一個新的高度。、多向思維逆向思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個特點。在第二學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定“在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系”。在第三學(xué)段，又增加了乘方與開放的互逆關(guān)系。到高中階段，更有指數(shù)與對數(shù)，微分與積分等互逆關(guān)系。運算的互逆關(guān)系，是逆向思維的重要表現(xiàn)形式之一。運算也是一種推理，在實施運算分析和解決問題的過程中，“由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果索因”的推理模式也是經(jīng)常要用到的，表現(xiàn)為有效探索運算的條件與結(jié)論，已知與未知的相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化，思維方向是互逆的，更是相輔相成的。在實施運算的過程中，還會遇到多因素的情況，各個因素相互聯(lián)系，相互制約，又相輔相成，更加需要思考不同的思維方向，不同的解題思路和不同的解題方法，通過比較，加以擇優(yōu)選用。這是運算思維達到一個新的高度的重要標(biāo)志，是運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展的高級階段。由于思維定勢的消極作用，逆向思維和多向思維的難度較大，在實施運算的過程中，對分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序等各個環(huán)節(jié)都要學(xué)生引導(dǎo)進行周密的思考，力求使運算符合算理，達到正確熟練，靈活多樣，合理簡潔，實現(xiàn)運算思維的優(yōu)化及運算能力的逐步提高。第七節(jié) 推理能力推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位。誠如《標(biāo)準(zhǔn)》所指出的：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。一、對數(shù)學(xué)推理的認(rèn)識數(shù)學(xué)推理直接與命題有關(guān)。在數(shù)學(xué)中，我們隨時會對思維對象作出一種斷定。如：“ 是無理數(shù)”，“ 不是等腰三角形”。我們把這種對客觀事物的情況有所肯定或否定的思維形式叫作判斷。判斷作為一種思維形式，與表示它的語句有密切關(guān)系。在數(shù)學(xué)中把表示判斷的語句稱為命題。而數(shù)學(xué)推理則是以一個或幾個數(shù)學(xué)命題推出另一個未知命題的思維形式。上述對數(shù)學(xué)推理的解釋更多是基于形式邏輯的角度，如果從數(shù)學(xué)內(nèi)部看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法。它與數(shù)學(xué)證明緊密關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)推理與證明共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)的最重要的基礎(chǔ)。二、《標(biāo)準(zhǔn)》中的推理能力 推理能力在數(shù)學(xué)中是屬于數(shù)學(xué)思考（思維）能力中的一種，因此《標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)表述中作了明確的要求，指出：要“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”。合情推理是數(shù)學(xué)家喬治波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱。歸納推理是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結(jié)論的推理。它的思維進程是從特殊到一般。按照它考慮的對象是否完全而又分為完全歸納推理和不完全歸納推理。由于完全歸納推理考查了推理前提中所有的對象或類，所以若前提成立，結(jié)論也一定成立，因此完全歸納推理不是或然的推理而是必然的推理。合情推理中的歸納推理一般指不完全歸納推理。類比推理是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。如由分?jǐn)?shù)類比分式，由分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)得到分式基本性質(zhì)；由二維空間的三角形類比三維空間的四面體，由二維空間的勾股定理得到三維空間的畢達哥拉斯定理等。類比推理也是一種或然性的推理。而演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）確定的規(guī)則出發(fā)，得到某個具體結(jié)論的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的結(jié)論一定真）。它的思維進程是從一般到特殊。他的基本形式是三段論。，相輔相成波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，??用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)卻是實驗性的歸納科學(xué)?！保úɡ麃啞稊?shù)學(xué)與猜想》），因此，與之相適應(yīng)，應(yīng)該有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；用演繹推理驗證猜想，證明結(jié)論。正如《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“兩種推理功能不同，相輔相成。”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，我們會經(jīng)常遇到同時采用兩種推理方式來求得問題解決的情形如這樣一個例：探索過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長有什么關(guān)系？ 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的的過程：（2）證明結(jié)論的正確性。如圖2，連接 和。因為 和 是⊙ 的切線，則，即 和 均為直角三角形。又因為和，則 與 全等。于是有。這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程。由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質(zhì)的有效工具。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，學(xué)生很少經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的活動過程。而在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往比證明結(jié)論更重要?！稑?biāo)準(zhǔn)》提出培養(yǎng)合情推理能力，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識提供了支撐。三、關(guān)于學(xué)生推理能力培養(yǎng)在整個義務(wù)教育階段，對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是內(nèi)容學(xué)習(xí)和目標(biāo)達成的一條主線，也是一個逐漸提升的長期過程。如下幾個方面在教學(xué)中應(yīng)該加以注意。這是《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的非常明確的要求。這里的“貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程”應(yīng)該有這樣幾層含義：其一，它應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)課程的各個學(xué)習(xí)內(nèi)容，即應(yīng)包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率及綜合實踐等所有領(lǐng)域內(nèi)容。其二，它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動過程。如在概念教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷從特定對象的本質(zhì)屬性入手，抽象、概括形成概念的過程，并引導(dǎo)學(xué)生有條理表述概念定義；在命題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分清條件、結(jié)論，把握條件、結(jié)論間的邏輯關(guān)系；在證明教學(xué)中，更要讓學(xué)生遵循證明規(guī)則，通過數(shù)學(xué)推理、證明數(shù)學(xué)結(jié)論。其三，它也應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)，如