【正文】 關(guān)系。這樣的數(shù)學(xué)活動有利于學(xué)生在相互交流中從多角度去感悟數(shù)，豐富自己的數(shù)感經(jīng)驗。針對這種“運算”的算法是形式化的，“幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起”。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，將無時無刻不與符號打交道，對數(shù)學(xué)符號的語言、工具、方法的功能和上述特性的認識事實上構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號、運用數(shù)學(xué)符號能力的培養(yǎng)也成為重要的教學(xué)目標(biāo)。數(shù)學(xué)符號最本質(zhì)的意義就在于它是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果。這表明，數(shù)學(xué)符號不僅是一種表示方式，更是與數(shù)學(xué)概念、命題等具體內(nèi)容相關(guān)的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想的核心概念，發(fā)展學(xué)生的符號意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。所以用“意識”更準(zhǔn)確些。由于數(shù)學(xué)符號是一種特殊的語言，對數(shù)學(xué)符號的理解也有其固有的特點和要求：因為符號具有一定抽象度，對符號的認識和理解就不應(yīng)是形式上的，而應(yīng)是實質(zhì)上的，即應(yīng)從抽象的符號本身看到其所表征的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)意義；由于符號具有壓縮信息的功能，所以對符號的意義的理解就不應(yīng)是片面的，而應(yīng)是全面的、完整的、特別將符號語言轉(zhuǎn)換為我們所熟悉的生活語言時，應(yīng)該抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征；由于數(shù)學(xué)符號具有概括性和一般性特征，所以對它的認識和理解又不應(yīng)是孤立的、僵化的，比如應(yīng)注意符號與符號之間的關(guān)聯(lián)（如“ ”與“ ”之間的關(guān)系），也應(yīng)注意同一符號的多重意義的理解（如 既可表示矩形面積與長、寬關(guān)系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關(guān)系，也可表示路程與時間、速度的關(guān)系，也可表示總價與單價、數(shù)量之間的關(guān)系，還可表示半圓周長與圓周率、半徑的關(guān)系，??）。關(guān)于用符號表達數(shù)學(xué)對象這里著重指出兩點：一是要注意義務(wù)教育階段整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生用符號表達數(shù)學(xué)對象是一個由簡單到復(fù)雜，由相對具體到相對抽象的過程。二是數(shù)學(xué)符號的表達是多樣化的，比如關(guān)系式、表格、圖像等等都是表達數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的符號工具，有時，即使是同一數(shù)學(xué)對象也可采用多種符號予以表達。通過觀察規(guī)律，使一學(xué)段學(xué)生能夠感悟到：對于有規(guī)律的事物，無論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達形式不同而已。由于運算和推理是數(shù)學(xué)活動最重要的基本形式，所以《標(biāo)準(zhǔn)》的這一要求是希望在各學(xué)段學(xué)習(xí)中，都加強學(xué)生在邏輯法則下使用符號進行運算、推理的訓(xùn)練，這涉及到的類型較多，如對具體問題的符號表示、變量替換、關(guān)系轉(zhuǎn)換、等價推演、模型抽象及模型解決等等。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的關(guān)系。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程組的、關(guān)于字母的思考方式來加以解決。（一學(xué)段）；“認識中括號”“在具體情境中能用字母表示數(shù)”，“結(jié)合簡單的時間情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，“能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系”（二學(xué)段）；“能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示”，“通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型思想，建立符號意識”（三學(xué)段）。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題（這實際上需要運用符號抽象和表達問題）、分析問題、解決問題（這實際上是使用符號進行運算、推理和數(shù)學(xué)思考）的全過程，在這一過程中積累運用符號的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，更好地感悟符號所蘊涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。二十世紀(jì)以來，關(guān)于歐氏幾何作為中小學(xué)課程內(nèi)容的有關(guān)爭論從未間斷過。關(guān)于空間想象力的含義，林崇德（1991）指出，中學(xué)生的空間想象包括對平面幾何圖形和立體幾何圖形的運動、變換和位置關(guān)系的認識，以及數(shù)形結(jié)合、代數(shù)問題的幾何解釋等。空間觀念至少反映了如下的5個方面的要求：（1）由形狀簡單的實物抽取出空間圖形；（2）由空間圖形反映出實物；（3）由復(fù)雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；（4）由基本的圖形中尋找出基本元素及其關(guān)系；（5）由文字或符號作出或畫出圖形。這種區(qū)分也許用另一對詞刻畫更好，即“洞察”對“嚴(yán)格”，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中都起著本質(zhì)的作用。在這個空間里，兒童必須學(xué)會去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運動。的確，一方面，空間與人類的生存密切相關(guān)，了解、探索和把握我們生活的空間能使人類更好地生存、活動和利用空間。基于這樣的分析與認識，我們可以更好地理解《標(biāo)準(zhǔn)》把“空間觀念”作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心概念的緣由與意義。這樣的目標(biāo)達成的過程是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過程中，無論是圖形的認識，圖形的運動，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù)。此外，幾何體與側(cè)面展開圖、幾何體與用平面去截所得的截面等，都蘊含著三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換。在給出包含四個方向并注明中心點的方位結(jié)構(gòu)中判斷某一物體的相對于中心的方位，是最基本的層次；只給出一個方向（如北），判斷物體之間的位置關(guān)系，就需要學(xué)生更復(fù)雜一些的想象力了，同時推理也是必要的。例如，描述從學(xué)校到家的路線示意圖，并注明方向及途中的主要參照物。當(dāng)有人向你描述你看不到的情境時，你需要根據(jù)他人的描述構(gòu)建符合原形的直觀想象，闡述和傾聽都需要在邏輯上對圖形關(guān)系進行分析和操作，準(zhǔn)確地反映出描述的結(jié)果，體現(xiàn)了操作者對其中涉及的圖形的關(guān)系等的把握的能力，其核心也是空間觀念。這些經(jīng)驗要依靠兒童以下幾個方面的能力，如會運用象“上面”、“下面”和“后面”等一些詞語，畫出一個圖形旋轉(zhuǎn)900或1800以后的圖形，作圖、折疊，讓兒童想象、繪制和比較放在不同位置上的圖形，等等，這些活動將有助于發(fā)展他們的空間觀念。在第三學(xué)段，“圖形的變化”中的各種圖形的運動，尤其是“圖形的投影”內(nèi)容的安排，其核心目標(biāo)也是發(fā)展學(xué)生的空間觀念。平時看到的東西，要進行回憶，在頭腦中想象、加工之后的再現(xiàn)，已經(jīng)是數(shù)學(xué)的抽象了，這其中即滲透了空間觀念發(fā)展的元素了。教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)匕才艑W(xué)習(xí)的活動，創(chuàng)造條件使學(xué)生有機會從事上述的活動來發(fā)展空間觀念。（3）在學(xué)生的思考、想象過程中發(fā)展空間觀念空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要不斷的經(jīng)驗的積累、想象力的豐富，因此教學(xué)中要為學(xué)生提供足夠的時間和空間去觀察和想象、操作和分析。請判斷下邊的一組圖分別是從a、b、c、d和e五點中的哪一點看到的。第四節(jié)幾何直觀一、對幾何直觀的認識顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考、想象?！保◥垡蛩固刮募?，第一卷，許良英、范岱年譯，商務(wù)印書館，1976，284）“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價值由此可見一般。這次課程改革中，強調(diào)幾何變換不僅是內(nèi)容上的變化，也是設(shè)計幾何課程指導(dǎo)思想上變化，這將是幾何課程發(fā)展的方向。幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。但是，數(shù)學(xué)中那些抽象的對象絕不是無根之木、無源之水，它的“根和源”一定是具體的。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望數(shù)學(xué)教師重視它，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生不斷提升這種能力。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。但目前，在部分教師中對此在認識上存在著一定的局限性，在幾何教學(xué)中他們僅僅重視培養(yǎng)邏輯推理能力，忽視了對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。正如前面所指出的，圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結(jié)果。在義務(wù)教育階段，許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征（如小學(xué)的分數(shù)概念、路程問題等），學(xué)會從兩個方面認識數(shù)學(xué)的這些對象是非常重要的，即數(shù)形結(jié)合是認識數(shù)學(xué)的基本角度，與其說是方法，不如說這是基本要求。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時盡量畫，其實質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。充分地利用變換去認識、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。例如，除了上面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等等。一提到“觀念”，顯然它就絕非等同于計算、作圖等簡單技能，而是一種需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的對一組數(shù)據(jù)的“領(lǐng)悟”，由一組數(shù)據(jù)所想到的、所推測到的；以及在此基礎(chǔ)上，對于統(tǒng)計與概率獨特的思維方法和應(yīng)用價值的認識。第一，點明了統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。二、對數(shù)據(jù)分析觀念要求的分析我們來對數(shù)據(jù)分析觀念上述三個方面的要求做一簡要分析： 統(tǒng)計學(xué)是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上的，本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)進行推斷。不妨看《標(biāo)準(zhǔn)》中的一個例子。教學(xué)中可作如下設(shè)計：（1）全班同學(xué)討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考慮學(xué)生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。（3）收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定決定購買水果的方案?！敖y(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果?？傊?，“統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是‘好壞’” [3]，而不是“對錯”。也就是說，數(shù)據(jù)可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一樣的，這就是數(shù)據(jù)隨機性的由來。再舉一個案例（例22），學(xué)生記錄自己在一個星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時間，如果把記錄時間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時間是不一樣的，這可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機性；更進一步，還可讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時間?！稑?biāo)準(zhǔn)》在學(xué)段目標(biāo)的“知識技能”部分，對各學(xué)段運算分別提出了明確的要求：第一學(xué)段：經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，初步認識分數(shù)和小數(shù)；理解常見的量；體會四則運算的意義，掌握必要的運算技能，能準(zhǔn)確進行運算；在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M行簡單的估算?！稑?biāo)準(zhǔn)》所提出的課程目標(biāo)中的很多方面，如：獲得“四基”（基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）；運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力等，都與運算的學(xué)習(xí)有關(guān)，運算對實現(xiàn)課程目標(biāo)發(fā)揮著重要的支撐作用?！稑?biāo)準(zhǔn)》指出：運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。換言之，運算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力。二、運算能力的特征運算能力是在不斷地運用數(shù)學(xué)概念、法則、公式，經(jīng)過一定數(shù)量的練習(xí)而逐步形成的。如前所述，在每一學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》對運算提出的要求，都是和相關(guān)的數(shù)學(xué)知識一并提出的。一題多解和多題一解的交替出現(xiàn)，相互比較，循環(huán)往復(fù)，不斷優(yōu)化，促使學(xué)生越來越感悟到：實施運算，解決問題，不僅要正確，而且要靈活、合理和簡潔。在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進行估計（案例3）；能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用（案例6）。估算是重要的運算技能，進行估算需要掌握一定的方法，需要積累一定的經(jīng)驗，需要避免出現(xiàn)過大的誤差；估算又是運算能力的特征之一，進行估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)，需要使估算的結(jié)果盡量接近實際情境，能對實際問題做出合理的解釋。適度性：運算能力需要經(jīng)過多次反復(fù)訓(xùn)練，螺旋上升逐步形成，在這一過程中，安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題是必不可少的。層次性：安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題對形成運算能力不可缺少，但訓(xùn)練的難度一定要適當(dāng)，要從數(shù)學(xué)教學(xué)的全局出發(fā)，合理調(diào)控。由此可見，層次性也是發(fā)展運算能力的要求。正確理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，是逐步形成運算技能，發(fā)展運算能力的前提。第三學(xué)段掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；掌握合并同類項和去括號的法則，進行簡單的整式減法、減法和乘法運算；利用乘法公式進行簡單計算；進行簡單的分式加、減、乘、除運算；了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算；解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加減消元法，解二元一次方程組；用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運算，解方程和解不等式的運算，在反復(fù)操練，相互交流的過程中，不僅會逐步形成運算技能，還會引發(fā)對怎么算？怎樣算的好？為什么要這樣算？等一系列問題的思考，這是由法則到算理的思考，使運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算能力發(fā)展的重要內(nèi)容。第三學(xué)段：除了“理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算”外，算理的內(nèi)容和要求進一步強化，在學(xué)習(xí)方程解法之前，要求“掌握等式的基本性質(zhì)”；在學(xué)習(xí)不等式解法之前，要求“探索不等式的基本性質(zhì)”；為此，《標(biāo)準(zhǔn)》提供了案例53：小麗去文具店買鉛筆和橡皮。函數(shù)在第三學(xué)段是重要的內(nèi)容。、多向思維逆向思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個特點。運算的互逆關(guān)系，是逆向思維的重要表現(xiàn)形式之一。由于思維定勢的消極作用，逆向思維和多向思維的難度較大，在實施運算的過程中，對分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序等各個環(huán)節(jié)都要學(xué)生引導(dǎo)進行周密的思考，力求使運算符合算理，達到正確熟練，靈活多樣，合理簡潔，實現(xiàn)運算思維的優(yōu)化及運算能力的逐步提高。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。我們把這種對客觀事物的情況有所肯定或否定的思維形式叫作判斷。上述對數(shù)學(xué)推理的解釋更多是基于形式邏輯的角度，如果從數(shù)學(xué)內(nèi)部看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法。波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱。由于完全歸納推理考查了推理前提中所有的對象或類，所以若前提成立，結(jié)論也一定成立，因此完全歸納推理不是或然的推理而是必然的推理。如由分數(shù)類比分式，由分數(shù)基本性質(zhì)得到分式基本性質(zhì)；由二維空間的三角形類比三維空間的四面體，由二維空間的勾股定理得到三維空間的畢達哥拉斯定理等。他的基本形式是三段論?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，我們會經(jīng)常遇到同時采用兩種推理方式來求得問題解決的情形如這樣一個例：探索過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長有什么關(guān)系？ 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的的過程：（2）證明結(jié)論的正確性。于是有。而在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往比證明結(jié)論更重要。這是《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的非常明確的要求。其三，它也應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)