【正文】 做減法，記作：。顯然，整數(shù)集對于減法運算是封閉的，而且，存在著“相反數(shù)”與“單位元”，使得。除法的定義：除法是乘法的逆運算。除法是通過乘法來定義的。由于除法將出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，因此，運算的集合需要從整數(shù)集合（）擴展到有理數(shù)集合（）。對于，如果，則稱為與的商，求商的運算叫做除法，記作：（=）。顯然，有理數(shù)集對于除法運算是封閉的，而且，存在著“相反數(shù)”與“單位元”，使得。2．?dāng)?shù)的運算數(shù)的運算內(nèi)容貫串于整個一、二學(xué)段，是這兩個學(xué)段比較重要、占用學(xué)習(xí)時間最多的內(nèi)容。對于數(shù)的運算首先要使學(xué)生理解為什么要運算，這達(dá)到不同目的，決定了選擇不同的運算方式和不同的精度要求。美國數(shù)學(xué)教師學(xué)會（NCTM）1989年編寫的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》中對計算問題有一段論述，反映對運算的觀念（見下圖），從中可以受到一些啟示。首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生理解的是面對具體的情形，確定是否需要計算。然后再確定需要什么樣的計算方法?？谒?、筆算、計算器、計算機和估算都是供學(xué)生選擇的方式，都可以起到算出結(jié)果的目的。應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生對算理的理解和掌握，按照標(biāo)準(zhǔn)的要求把握運算的熟練程度的要求。重視估算的理解運用。鼓勵學(xué)生用自己的方法去嘗試運算，選擇合適的方法進(jìn)行運算。理解常見的數(shù)量關(guān)系，并運用常見的數(shù)量關(guān)系解決問題。（1）整數(shù)運算對于整數(shù)的運算《標(biāo)準(zhǔn)》在兩個學(xué)段分別提出具體的內(nèi)容要求。第一學(xué)段：1．結(jié)合具體情境，體會整數(shù)四則運算的意義（參見例5）。2．能熟練地口算20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，能口算百以內(nèi)的加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)。3．能計算三位數(shù)的加減法，一位數(shù)乘三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以一位數(shù)的除法。4．認(rèn)識小括號，能進(jìn)行簡單的整數(shù)四則混合運算（兩步）。第二學(xué)段：1．能計算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。2．認(rèn)識中括號，能進(jìn)行簡單的整數(shù)四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。3．探索并了解運算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對加法的分配律），會應(yīng)用運算律進(jìn)行一些簡便運算。4．在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系。學(xué)習(xí)整數(shù)的運算首先要使學(xué)生理解算理，把握四則運算的本質(zhì)。如，加一個正數(shù)比原數(shù)大，學(xué)習(xí)加法時，要使學(xué)生理解這個算理。減法是加法的逆運算，減去一個正數(shù)就比原來的數(shù)小。乘法是加法的簡便運算，是求相同加數(shù)的和，這是乘法的本質(zhì)特征。除法是乘法的逆運算。教學(xué)中應(yīng)強調(diào)讓學(xué)生理解四則運算，了解它們之間的關(guān)系。對于運算的難度和熟練程度，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》針對不同的內(nèi)容提出明確的要求。限制運算的步驟是為了控制繁雜的問題，往往四則運算的多步計算會出很繁雜的問題，對于每一步驟的計算學(xué)生可能都會做，但在若干步驟計算中，如果有一個地方出錯，就會導(dǎo)致整個結(jié)果出錯。在有的計算器之后，人們在現(xiàn)實生活中遇到繁雜的問題時，可以選擇用計算工具，而沒有必要把用大量的時間用于復(fù)雜的運算。而對于這種運算，稍不留意就會在某一個環(huán)節(jié)出錯，也會導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。應(yīng)當(dāng)?shù)瘜\算的熟練程度的要求，選擇正確的計算方法，準(zhǔn)確地得到運算結(jié)果，比運算的熟練程度更重要。應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運算的結(jié)果，而不是單純地看運算的速度。三、教材分析通過前面七冊的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)的四則運算，編排本單元的目的是對以前的知識進(jìn)行較為系統(tǒng)的概括和總結(jié)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。主要內(nèi)容分為三個方面：四則運算的意義和各部分間的關(guān)系（例1～例3）；混合運算的順序（例4）；解決問題（例5）。（一）主要內(nèi)容 本單元的主要內(nèi)容是在復(fù)習(xí)已學(xué)過四則運算的知識的基礎(chǔ)上，對加、減、乘、除四則運算進(jìn)行概括。在學(xué)生已經(jīng)掌握的整數(shù)四則混合運算的基礎(chǔ)上，對四則混合運算順序進(jìn)行歸納總結(jié)。這里第一次出現(xiàn)中括號，使四則混合運算方面的知識趨于完整。本單元包括三部分內(nèi)容，即：四則運算的意義，每種運算中各部分間的關(guān)系；四則混合運算；解決實際問題。本單元的內(nèi)容安排如下：從上面可以看出，本單元教學(xué)內(nèi)容分為三個層次。1．四則運算的意義和各部分間的關(guān)系（例1——例3）．學(xué)生在前七冊教材中，對整數(shù)四則運算已經(jīng)有了較多的接觸，積累了豐富的感性認(rèn)識并掌握了相應(yīng)的基礎(chǔ)知識和技能。在此基礎(chǔ)上，對整數(shù)四則運算的意義和關(guān)系進(jìn)行抽象、概括，使學(xué)生對每種運算的認(rèn)識從感性上升到理性。整數(shù)四則運算的意義是學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運算意義的基礎(chǔ)，對于四則運算意義認(rèn)識的提升，將為學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運算的意義和關(guān)系打下基礎(chǔ)。2．四則混合運算（例4）。四則混合運算和運算順序是計算教學(xué)中的重要基礎(chǔ)知識。本單元在學(xué)生已學(xué)過的混合運算及運算順序，初步認(rèn)識小括號的作用的基礎(chǔ)上，認(rèn)識中括號，對整數(shù)四則混合運算進(jìn)行概括和總結(jié)。由此，不僅使學(xué)生豐富了計算知識，提高計算能力，也為學(xué)生列綜合算式解決問題打好基礎(chǔ)。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)運算做好準(zhǔn)備。3．解決問題（例5）。本單元設(shè)置用兩、三步計算解決的實際問題，旨在讓學(xué)生合理靈活的運用相關(guān)知識解決問題，感受、領(lǐng)悟優(yōu)化思想，提高解決問題的能力。四則運算的意義、四則混合運算的順序是本單元的教學(xué)重點也是教學(xué)的難點。（二）教學(xué)目標(biāo) 1．結(jié)合具體情境，理解加、減、乘、除四則運算的意義，掌握四則運算中各部分間的關(guān)系，對四則運算知識進(jìn)行較系統(tǒng)的概括和總結(jié)。2．認(rèn)識中括號，掌握四則混合運算的順序，能進(jìn)行簡單的四則混合運算。3．讓學(xué)生經(jīng)歷解決實際問題的過程，學(xué)會用四則混合運算知識解決一些實際問題，感受解決問題的一些策略和方法。4．通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提高抽象概括能力，養(yǎng)成認(rèn)真審題、獨立思考等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。（三）教學(xué)建議1．讓學(xué)生經(jīng)歷從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的過程。學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)會加、減、乘、除的計算方法，積累了豐富的有關(guān)加、減、乘、除的意義的感性認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，通過解決簡單的實際問題，激活學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗，再以“為什么要用加（減、乘、除）法計算？”引導(dǎo)學(xué)生思考，概括運算的意義。例如教學(xué)加法的意義時，可放手讓學(xué)生解決“西寧到拉薩的鐵路長多少千米”這個問題。在解決問題中經(jīng)歷把814 km與1142km合在一起，即把814與1142合成一個數(shù)的計算過程，喚起學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗。之后，通過“為什么要用加法計算？”引導(dǎo)學(xué)生思考：加法是什么樣的運算？在此基礎(chǔ)上，概括加法的意義，進(jìn)而概括說明加法算式各部分的名稱。由解決問題到概括出加法的意義，是學(xué)生對加法的認(rèn)識從感性上升到理性。2．重視歸納整理，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)。本單元教學(xué)的重要內(nèi)容是概括四則運算的意義，豐富、梳理四則混合運算順序的知識。教材設(shè)置了4道例題，依次教學(xué)加、減、乘、除法的意義及各部分間的關(guān)系，0的運算特性，四則混合運算等教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)中，教師要縱觀全局駕馭教材，適時引導(dǎo)學(xué)生把分散學(xué)習(xí)的知識串成線、結(jié)成網(wǎng)，逐步完善知識結(jié)構(gòu)。例如，在概括四則運算的意義之后，可引導(dǎo)學(xué)生用圖表的形式，歸納整理知識，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，加深對知識的理解和掌握。3．組織好練習(xí)，深化知識，培養(yǎng)能力本單元設(shè)置了3個練習(xí)，都突出了教學(xué)的重點和難點，教學(xué)時，應(yīng)突出練習(xí)的針對性，注重學(xué)生的理解和掌握。例如，練習(xí)一第1題是四道有關(guān)加、減運算意義的問題。題目中特別提出：“下面各題應(yīng)用什么方法計算？為什么？”要求用加、減法得意義說明各題選擇方法的道理。教學(xué)時，應(yīng)讓學(xué)生切實經(jīng)歷把加、減法的意義應(yīng)用于具體問題進(jìn)行判斷、推理和表述的過程。這樣，才能讓學(xué)生加深理解加、減法的意義，培養(yǎng)學(xué)生的判斷、推理能力及有根據(jù)的說理能力。又如，練習(xí)2第3題“調(diào)皮的小貓”，調(diào)皮的小貓的爪印遮住了等式中的因數(shù)、除數(shù)或被除數(shù)。教學(xué)時，不僅要用好活潑有趣的素材，激發(fā)學(xué)生參與練習(xí)活動的興趣；還要組織好交流，請學(xué)生說說求出“爪印下”各數(shù)的根據(jù)。學(xué)生根據(jù)算式各部分間的關(guān)系來說明，或是利用乘、除法的關(guān)系來解釋，將使學(xué)生對乘、除法算式各部分間的關(guān)系的認(rèn)識得到進(jìn)一步提高，使學(xué)生加深對乘、除法關(guān)系的理解。4．建議用6課時教學(xué)四、重難點突破（一）加、減法的意義及各部分間的關(guān)系突破建議：1．用好主題圖展開教學(xué)活動。教學(xué)時，可用課件呈現(xiàn)我國地圖鐵路建設(shè)的發(fā)展。隨語言描述先定格在西寧至格爾木，再呈現(xiàn)格爾木至拉薩的鐵路修通。讓學(xué)生直觀感受西寧至拉薩包括西寧到格爾木和格爾木到拉薩兩段路程。同時了解我國鐵路建設(shè)的發(fā)展，感受時代的發(fā)展。以現(xiàn)實情境引入教學(xué)，可以促使學(xué)生積極主動地參與到教學(xué)活動中來。2．引導(dǎo)學(xué)生對加法的意義進(jìn)行概括。解決“西寧到拉薩的鐵路長多少千米”這個問題后，以“為什么用加法計算”來引導(dǎo)學(xué)生思考“加法是什么樣的運算”，讓學(xué)生經(jīng)歷從實際應(yīng)用到抽象概括意義的過程。這個過程也是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的過程。3．通過對比，突破教學(xué)難點。盡管學(xué)生對減法的人是積累了豐富的感性認(rèn)識，但從本質(zhì)上認(rèn)識減法還有很大的距離。因此，教學(xué)中可組織好“對比”活動，讓學(xué)生通過對比，發(fā)現(xiàn)第3題和第1題的聯(lián)系，即第1題是已知兩個加數(shù)求它們的和，第3題是反過來，已知兩個加數(shù)的和和其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)。從而幫助學(xué)生突破概括減法意義的難點。同時通過對比有效幫助學(xué)生理解減法是加法的反向運算，建立逆運算概念，掌握加、減法的關(guān)系。4．以“問題”引導(dǎo)學(xué)生整理出關(guān)系式對加、減法各部分間的關(guān)系的總結(jié)，以“加（減）法中最基本的數(shù)量關(guān)系式是什么？”“怎樣求加法？”“怎樣求被減數(shù)和減數(shù)？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，整理出加、減法各部分間的關(guān)系式。由此，提升學(xué)生對加、減法算式中各部分間的關(guān)系的認(rèn)識，是學(xué)生受到初步的辯證的思想熏陶。（二）乘、除法的意義及各部分間的關(guān)系突破建議：1．讓學(xué)生經(jīng)歷“過程”，提升認(rèn)識放手讓學(xué)生獨立解決問題，激活已有的知識和經(jīng)驗，在這個基礎(chǔ)上，讓學(xué)生比較加法算式與乘法算式，思考：乘法是什么樣的運算？有解決問題到比較與思考，讓學(xué)生經(jīng)歷“由3+3+3+3=12與3X4=12，用乘法算比較簡便→求幾個相同加數(shù)的和用乘法算簡便→概括出乘法的確切意義”的過程，使學(xué)生對乘法的認(rèn)識從感性上升到理性。2．突出除法和乘法的聯(lián)系，概括除法的意義除法是與乘法相反的運算。借助學(xué)生對除法意義的感性認(rèn)識，以解決第（1）、（2）、（3）題為基礎(chǔ)，組織比較活動。通過比較，弄清楚乘法算式與除法算式中已知數(shù)與未知數(shù)的變化，進(jìn)而從除法算式和乘法算式的聯(lián)系出發(fā)，思考、概括除法的意義。這樣，不僅利于用比較準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言概括除法的意義，還有助于學(xué)生理解除法和乘法的關(guān)系，認(rèn)識除法是乘法的逆運算。3．借助具體實例化解難點學(xué)生對乘、除法各部分間的關(guān)系和有關(guān)0的運算，在前幾年的學(xué)習(xí)中積累了比較豐富的認(rèn)識和經(jīng)驗。這里，重點是總結(jié)整理出關(guān)系式和把有關(guān)0的運算知識系統(tǒng)化。其中，概括有余數(shù)除法各部分間的關(guān)系，以及“0為什么不能作除數(shù)”是教學(xué)的難點。教學(xué)中，可以借助具體實例，幫助學(xué)生想清楚、弄明白，化解難點。例如，呈現(xiàn)有余數(shù)除法算式30247。4=7??2，185247。12=15??5，據(jù)此讓學(xué)生思考“怎樣求被除數(shù)”等問題，進(jìn)而概括出關(guān)系式。再如，借一個非零的數(shù)除以0（如：5247。0=口）與0247。0的例子，讓學(xué)生對例子的討論獲得“0不能作除數(shù)”的結(jié)論。這個過程，也讓學(xué)生明白了0為什么不能作除數(shù)的道理。（三）含括號的混合運算的順序突破建議：1．步步深入，發(fā)揮學(xué)生的主體作用教學(xué)例4時，首先借助基本式題96247。12＋4 X 2與例4（1）依次展開數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生通過“說”和“計算”激活已有的混合運算的知識和經(jīng)驗，并把這些知識和經(jīng)驗自然運用到三步式題。然后結(jié)合例4（2）引入中括號，要讓學(xué)生憑借對小括號的認(rèn)識，去判定其運算順序，并完成計算，讓學(xué)生在親歷中切實感受和認(rèn)識中括號的作用，體驗含有兩重括號的混合運算的運算順序。最后，請學(xué)生總結(jié)帶有中、小括號的四則混合運算順序??從激活已有的知識和經(jīng)驗→認(rèn)識中括號、完成計算→總結(jié)運算順序，教學(xué)任務(wù)步步深入，利用好學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。2．豐富和提升學(xué)生的認(rèn)識借助復(fù)習(xí)，引出“加、減、乘、除四種運算統(tǒng)稱四則運算”。在此基礎(chǔ)上，還可以說明：加法和減法叫做第一級運算，乘法和除法叫做第二級運算。有第一級運算、第二級運算的概念，就為學(xué)生更科學(xué)地總結(jié)概括四則混和運算的運算順序創(chuàng)造了條件，也為以后學(xué)習(xí)第三級運算（乘方、開方）做了準(zhǔn)備。（四）解決問題突破建議：1．創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣、激活經(jīng)驗用課件或掛圖創(chuàng)設(shè)師生在公園準(zhǔn)備租船游湖的情境，請學(xué)生用語言描述并提煉相關(guān)的信息，讓學(xué)生切實感受問題的現(xiàn)實性，激發(fā)學(xué)生對問題的興趣，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗與相應(yīng)的知識，促使學(xué)生積極探索租船的方案。2．讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的一般過程首先，讓學(xué)生自己弄懂題意，厘清已知信息數(shù)據(jù)和要解決的問題?！胺治雠c解答”環(huán)節(jié)，先引導(dǎo)學(xué)生憑借生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)“租大船便宜”，然后再以“空出兩個座位”激發(fā)學(xué)生尋找最省錢的方案?！盎仡櫯c反思”環(huán)節(jié)，則應(yīng)加強引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決這類問題的一般策略。讓學(xué)生通過思考探索、討論交流等活動明確解決問題的基本步驟，積累解決問題的經(jīng)驗?！都?、減法的定義及各部分間的關(guān)系》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識與技能結(jié)合具體情境通過對算式變換的比較，理解和掌握加、減法的意義和各部分之間的關(guān)系。（二）過程與方法在探索加、減法各部分之間的關(guān)系的過程中，發(fā)展抽象、概況的能力，進(jìn)一步建立代數(shù)的思想。（三）情感態(tài)度和價值觀在用抽象文字表示加、減法各部分間的關(guān)系的過程中，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯性，體會數(shù)學(xué)的價值。二、教學(xué)重難點教學(xué)重點：理解和掌握加減法各部分之間的關(guān)系。教學(xué)難點：表示加、減法各部分間的關(guān)系。三、教學(xué)準(zhǔn)備課件、學(xué)習(xí)單。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題1．師：同學(xué)們，你們知道中國新世紀(jì)四大工程之一，被譽為“天路”的工程是什么嗎？預(yù)設(shè)：生：青藏鐵路2．師：青藏鐵路的建設(shè)創(chuàng)造了很多高海拔地區(qū)鐵路建設(shè)的奇跡，今天這節(jié)課我們就從數(shù)學(xué)的角度一起走近青藏鐵路。（出示主題圖）3．師：你能根據(jù)圖中的信息提出什么數(shù)學(xué)問題嗎？ 預(yù)設(shè)：生1：西寧到拉薩的鐵路長多少千米？ 生2：格力木到拉薩的鐵路長多少千米？ 生3：西寧到格里木的鐵路長多少千米？（隨著學(xué)生提出問題，課件隨機顯示）