【正文】 ，記載于我國明代《算法統(tǒng)宗》。現(xiàn)代文譯文：大和尚與小和尚共100名，分配100個饅頭，大和尚每位給3個，小和尚3個人給1個，問大、小和尚各有多少人？思路剖析假設(shè)都是小和尚。因為小和尚3個人給1個饅頭，分配100個饅頭，應(yīng)該有小和尚3l00=300（人），比實際多了300－100=200（人）。是由于把大和尚看做小和尚造成的，由于大和尚每位給3個饅頭，相當于給9位小和尚的量。由于假設(shè)出現(xiàn)的差值即為9－l=8（人），那么大和尚的人數(shù)220247。8=25（人）。解答（3100－100）247。（33－1）=（300－100）247。8=200247。8=25（人）100－25=75（人）答：大和尚有25人，小和尚有75人。點津本題中給出的條件“大和尚每位給3個，小和尚3個人給1個”，無法直接求出大、小和尚在人數(shù)或在饅頭數(shù)上的差值，需通過條件中給出的比例關(guān)系求得。［例6］四年級某班有學生68人，為了更好地學習，同學們自愿結(jié)成了14個學習小組。這些小組有的3人，有的5人，有的7人。而且3人組與5人組的組數(shù)相同。問三種學習小組各有幾組？思路剖析前面的例題中，總體中的數(shù)量總是“非此即彼”只有兩種，而本題中出現(xiàn)了3種，似乎有些復(fù)雜。但題目中有個很重要的條件“而且3人組與5人組的組數(shù)相同”，是否可以利用這個條件將此題也轉(zhuǎn)化成我們熟悉的雞兔同籠題呢？我們將“3人組與5人組組數(shù)相同”這個條件，轉(zhuǎn)化為將他們組成4人組，那么組數(shù)應(yīng)為這兩組的組數(shù)和，因為4是3和5的平均數(shù)。那么分組情況可以看做是兩類：4人組和7人組。假設(shè)都是4人組，那么應(yīng)有人數(shù)：414=56（人），與實際人數(shù)的差值：68－56=12（人），由于假設(shè)出現(xiàn)的差值：7－4=3（人），則7人組的組數(shù)：12247。3=4（組）。解答（68－414）247。（7－4）=（68－56）247。3=12247。3=4（組）那么3人組與5人組的組數(shù)（14－4）247。2=5（組）答：學習小組中3人組和5人組各有5組，7人組有4組。[例7]有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿，蜻蜓6條腿、兩對翅膀，蟬6條腿、一對翅膀），問蜻蜒有多少只？思路剖析依照例6的思路，我們應(yīng)當將三種昆蟲分成兩類，從而將題目轉(zhuǎn)化成與雞兔同籠結(jié)構(gòu)相同的題。分析題中的已知條件，找到可以歸成一類的突破口。三種昆蟲有兩種有翅膀，一種沒翅膀，顯然不能按此劃分。三種昆蟲都有腿，而且其中兩種腿數(shù)相同，與例6思路相同，將三種昆蟲按腿數(shù)分成兩類：8腿蟲和6腿蟲。假設(shè)18只昆蟲都是8腿蟲，則有腿818=144（條），與實際腿數(shù)的差值144－118=26（條），由于假設(shè)造成的差值8－6=2（條），那么有6腿蟲：26247。2=13（只），知道了6腿蟲的總數(shù)，就可以按翅膀?qū)?shù)再將它們分成兩類：2對翅膀和1對翅膀。則又轉(zhuǎn)化成一道雞兔同籠結(jié)構(gòu)的題目。假設(shè)13只昆蟲都有2對翅膀，則有213=26（對），與實際翅膀數(shù)的差值26－20=6（對），由于假設(shè)造成的差值2－1=1（對），那么蟬（一對翅膀）有：6247。1=6（只）。解答（818－118）247。（8－6）=（144－118）247。2=26247。2=13（只）??6腿蟲數(shù)（213－20）247。（2－1）=（26－20）247。1=6（只）??1對翅膀蟲數(shù)13－6=7（只）??2對翅膀蟲數(shù)答：蜻蜓有7只。點津恰當?shù)匕讯嘟M事物根據(jù)其特點劃分成兩類，轉(zhuǎn)化成雞兔同籠結(jié)構(gòu)的題目是解題的關(guān)鍵。當組數(shù)大于2時，有時需要在同一題中解決多于1次的雞兔同籠結(jié)構(gòu)的題目，才能求得最終結(jié)果。發(fā)散思維訓(xùn)練1．動物園里有一群鴕鳥和大象，它們共有36只眼睛和52只腳，問鴕鳥和大象各有多少？2．養(yǎng)殖場共養(yǎng)雞、兔180只，已知雞腳總數(shù)比兔腳總數(shù)多180只。問養(yǎng)的雞、兔各多少只？3．學校有象棋、跳棋共20副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供60個學生進行活動。問象棋與跳棋各有多少副？4．雞、兔共有腳140只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳160只。問原有雞、兔各幾只？5．老師教同學們練跳繩，若一次能連續(xù)跳8個，老師獎給同學4塊巧克力；若跳不夠8個，則退給老師2塊。王芳同學一共練了10次，得到28塊巧克力。問王芳有幾次沒跳夠8個？6．有6個謎語，讓50人猜，共猜對了202個。已知每人至少猜對2個，且猜對2個的有5人，猜對4個的有9人，猜對3個和5個的人數(shù)一樣多，那么，6個全猜對的有多少人？7．現(xiàn)有大、小水桶共50個，每個大桶可裝水6千克，每個小桶可裝水3千克，大桶比小桶總共多裝水30千克。問大、小桶各多少個？8．小張是車工，平均每天車某種零件50個，每車好一個正品，可為企業(yè)創(chuàng)造財富14元，但車壞一個要損失96元。某天，他為企業(yè)創(chuàng)造了480元的財寶，這一天他車出的正品是多少個？9．模擬考試已舉行了24次，共出了試題426道，每次出的試題數(shù)不同，或者25題，或者16題，或者20題，那么，其中有25道試題的有多少次？10．傳說九頭鳥有九頭一尾，九尾鳥有九尾一頭。今有頭510個，尾590個，問：兩種鳥各有多少個？參考答案發(fā)散思維訓(xùn)練1．解：由于每只動物有兩只眼睛，由題意可知動物園里鴕鳥和大象的總數(shù)為：36247。2=18（只），假設(shè)鴕鳥和大象一樣也有4只腳，那么腳總數(shù)為：184=72（只），與實際的差值為：72－52=20（只），由假設(shè)引起的差值：4－2=2（只），則鴕鳥數(shù)：20247。2=10（只），大象數(shù)：18－10=8（頭）。答：鴕鳥有10只，大象有8頭。2．解：假設(shè)180只全是雞，則兔腳數(shù)為0，則雞腳數(shù)比兔腳數(shù)多：2180=360（只），與實際相比：360－180=180（只），由假設(shè)造成的差值：2+4=6（只）。那么實際的兔數(shù)是：180247。6=30（只）雞數(shù)為：180－30=150（只）答：養(yǎng)的雞為150只，兔為30只。3．解：假設(shè)象棋也可供6個人下，則可供620=120（人）學生進行活動。與實際相比，120－60=60（人），由假設(shè)造成的差值：6－2=4（人）。那么實際的象棋數(shù)為60247。4=15（副）跳棋數(shù)為20－15=5（副）答：象棋有15副，跳棋有5副。4．解：由于雞換成兔，兔換成雞，腳的只數(shù)增加了20只。故原來的兔比雞少20247。2=10（只），減去這10只雞，則雞、兔一樣多，并且共有腳：140－210=120（只）。假設(shè)雞、兔各有3只腳（雞、兔腳數(shù)的平均數(shù)），那么雞、兔共有120247。3＝40（只），雞、兔各有40247。2=20（只），實際的雞數(shù)為：20+10=30（只）。答：原有雞30只、兔20只。5．解：假設(shè)王芳10次都跳夠8個，則應(yīng)得巧克力410=40（塊）。與實際相比，40－28=12（塊）。由于跳不夠，不但沒得到巧克力，還要返還2塊。那么由假設(shè)造成的差值為4+2=6（塊）。王芳沒有跳夠的次數(shù)：12247。6=2（次）。答：沒跳夠8個的次數(shù)為2次。6．解：猜謎情況總共有5種，其中已知猜對2個的有5人、猜對4個的有9人，則猜對6個的人數(shù)：50－5－9=36（人），共猜對的題數(shù)：202－25－49＝156（個）。由于猜對3個和5個的人數(shù)一樣多，可以把他們看作為猜對4個的人。假設(shè)36個人都猜對了6個，那么共猜對的題數(shù)為636＝216（個），與實際相比，216－156=60（個），由假設(shè)造成的差值6－4=2（個），則猜對4個的人數(shù)：60247。2=30（人），那么猜對6個的人數(shù)：36－30=6（人）。答：有6人全猜對。7．解：假設(shè)50個桶都是大桶，則共裝水650=300（千克），而此時小桶裝水為0，與實際相比，相差300－30=270（千克）。若將大桶換成小桶，則每換一個，大桶裝的水就減少6千克，小桶裝的水增加3千克，大桶比小桶多裝的重量就減少：6+3=9（千克），那么小桶的個數(shù)：270247。9＝30（個）大桶的個數(shù)：50－30=20（個）答：大桶有20個，小桶有30個。8．解：假設(shè)小張這天車出的零件全部是正品，那么應(yīng)創(chuàng)造的財富為：1450=700（元），可實際只有480元，其差額是700－480=220（元）。根據(jù)題意：如果車壞一個零件要減少14+96=110（元），那么車壞零件的個數(shù)：220247。l10＝2（個），零件正品個數(shù)：50－2=48（個）。答：他車出的正品是48個。9．解：假設(shè)24次考試，每次都是16題，則并考了試題1624=384（題），與實際考題數(shù)相比，426－384=42（題）。而考25題的每次多考25－16=9（題），考20題的每次多考20－16=4（題），這樣有9A+4B=42，其中A表示考25題的次數(shù)，B表示考20題的次數(shù)。根據(jù)奇偶性分析，A只能是2。答：考25題的次數(shù)是2次。10．解：尾數(shù)590個大于頭數(shù)510個，說明九尾鳥多于九頭鳥。590－510=80（個），兩種鳥的尾數(shù)差為9－l=8（個），那么九尾鳥比九頭鳥多80247。8=10（只）。除去這10只，剩下九頭鳥與九尾鳥的數(shù)量相等，為（510－10）247。（9+l）=50（只），九尾鳥有50+10=60（只）。答：九尾鳥有60只，九頭鳥有50只。