【正文】 握會得以提高。在此給大家一個(gè)建議，此處很好地體現(xiàn)了幾何直觀的作用，利用幾何直觀糾正學(xué)生這個(gè)錯(cuò)誤很有效。這個(gè)問題也是大家一直談?wù)摰模何覀兯愕哪康氖鞘裁?？其?shí)我們在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的時(shí)候，可能有的時(shí)候又要考慮到算的原因和它將來的發(fā)展。在學(xué)生出現(xiàn)問題的時(shí)候，我們怎么去給它克服思維的定勢，找到錯(cuò)誤的根源，以及解決它。所以運(yùn)算能力的培養(yǎng)不僅要關(guān)注在解決問題的過程中，考慮要解決一些純數(shù)學(xué)問題，也要考慮解決其他知識這方面的問題。這個(gè)例子一方面反應(yīng)了對運(yùn)算的理解，另一個(gè)方面有一些運(yùn)算也可以運(yùn)用到其他的知識中去，這其實(shí)也加深了學(xué)生對運(yùn)算知識的一些理解，同時(shí)也培養(yǎng)他這方面的能力。所以運(yùn)算能力的培養(yǎng)其實(shí)是一個(gè)大家比較關(guān)注的話題，當(dāng)然也是一個(gè)非常重要的話題，但是我們也注意到，運(yùn)算能力的培養(yǎng)不是一下子能夠到位，我們應(yīng)該循序漸進(jìn)，隨著知識的學(xué)習(xí)和深入把它要滲透到我們教學(xué)過程里面去，這樣的話才對學(xué)生真正的發(fā)展起作用。話題五 符號意識和代數(shù)的思維特點(diǎn)一、意義及作用學(xué)生一進(jìn)入初中，首先學(xué)的代數(shù)內(nèi)容就是用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)一般被認(rèn)為是學(xué)習(xí)代數(shù)的開始。用字母表示數(shù)把小學(xué)所學(xué)的關(guān)于數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行了一般化的表示。用符號是數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)，符號實(shí)際上是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)可以說是一個(gè)符號化的世界，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，人們用符號來進(jìn)行表示，而且用符號來進(jìn)行交流，所以學(xué)生具有符號意識是非常重要的。逐步形成符號或感受符號的作用是非常重要的，沒有符號在一定意義上來說就沒有近代和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)，所以符號的產(chǎn)生，用符號來進(jìn)行表示非常重要，標(biāo)準(zhǔn)指出，建立符號意識有助于學(xué)生的理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形成就是從用字母表示數(shù)開始，學(xué)生就應(yīng)該用符號來進(jìn)行表示，用符號來進(jìn)行思考。二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義在課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂稿中，將“符號意識”界定為：主要是指學(xué)生能夠理解，并且運(yùn)用符號來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理。這里所提到的運(yùn)用符號來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，其實(shí)也像剛才所提，在小學(xué)字母表示數(shù)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步建立比較復(fù)雜一些的數(shù)量關(guān)系和盡可能地用符號刻畫事物發(fā)展的趨勢和變化規(guī)律。符號可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理，也就是涉及到我們用基礎(chǔ)的符號來不斷構(gòu)建數(shù)學(xué)、代數(shù)部分的運(yùn)算大系統(tǒng)。其實(shí)符號可以表示，也可以運(yùn)算，也可以去轉(zhuǎn)換。課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中特別突出符號的作用，它可以進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考。這里面我們所理解的數(shù)學(xué)表達(dá)，其實(shí)對學(xué)生來說就是能夠建立初步的符號意識，用符號和其他的一些手段，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活，這其實(shí)是一種對學(xué)生來說比較基本的要求。在此基礎(chǔ)之上，他能夠用符號進(jìn)行思考，其實(shí)更是對他理性思維和在數(shù)學(xué)能力上的一個(gè)要求的體現(xiàn)。三、與內(nèi)容的聯(lián)系與符號意識相關(guān)內(nèi)容，第一個(gè)要考慮的是符號的表示。第二點(diǎn)是對符號的解釋。還有一點(diǎn)，在符號意識中還有一個(gè)符號的運(yùn)算，以及符號之間的轉(zhuǎn)換。四、如何培養(yǎng)首先應(yīng)該讓學(xué)生在實(shí)際的問題情景中理解符號以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義。也就是說我們培養(yǎng)符號意識和具體問題應(yīng)該是發(fā)生聯(lián)系的。其次也是非常重要的，我們經(jīng)常說數(shù)學(xué)是一種語言，其實(shí)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的符號也是一種語言，因此我們要培養(yǎng)學(xué)生的自然語言和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換能力。我們知道學(xué)生自然語言能力非常好，因?yàn)檫@是他的母語，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生符號意識的過程中，讓他實(shí)現(xiàn)這兩種語言之間的轉(zhuǎn)換也非常重要。有學(xué)者認(rèn)為，在解決問題的過程中，他的符號感通常和數(shù)感、函數(shù)感、圖表感相互聯(lián)系。笛卡爾也指出，任何問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的問題，任何的數(shù)學(xué)問題，都能夠轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，任何的代數(shù)問題又可以轉(zhuǎn)化成解方程的問題。通過數(shù)學(xué)化思想來實(shí)現(xiàn)問題的解決，我們現(xiàn)在且不說這個(gè)論述是不是完全正確，但從某種意義上說，數(shù)學(xué)化是一個(gè)非常重要的過程。在方程學(xué)習(xí)過程中，他如何實(shí)現(xiàn)這種數(shù)學(xué)化？方程就是把文字表達(dá)的一些條件，改用了數(shù)學(xué)符號，其實(shí)這是利用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題所必須的一個(gè)程序。另外就是數(shù)學(xué)當(dāng)中除了字母表示數(shù)之外，還有一些其他的符號，如∥、⊥、∵、∴、≌ 等等。我們在引入這些符號的時(shí)候可以聯(lián)系一些數(shù)學(xué)史，給學(xué)生增加一些數(shù)學(xué)文化方面的知識，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)既有價(jià)值又非常有意思，愿意學(xué)，我們課程目標(biāo)的一個(gè)目標(biāo)是態(tài)度情感價(jià)值觀的，在這個(gè)方面應(yīng)該使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的熱愛，體會到數(shù)學(xué)本身也是有意思的，這方面老師在教學(xué)當(dāng)中也可以嘗試做一下。話題六 模型思想一、意義及作用數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活緊密相連。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是信息技術(shù)的發(fā)展，通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的方法正廣泛應(yīng)用于科學(xué)、工程和社會學(xué)科等多個(gè)領(lǐng)域。因此，模型思想作為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，對 7 ～ 9 年級學(xué)生思維能力的發(fā)展和問題解決能力的培養(yǎng)都具有重要的作用。二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義《課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿》將“模型思想”界定為“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識。”由此可見，模型思想有這樣幾層含義：首先其來源于現(xiàn)實(shí)生活和問題情境；其次，用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行表述，將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，并加以解決；最后，還原到現(xiàn)實(shí)問題，去解釋數(shù)學(xué)解的合理性。三、與內(nèi)容的聯(lián)系1．方程模型一個(gè)長為 10 米 的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為 8 米。如果梯子的頂端下滑 1 米，那么梯子的底端滑動多少米？2．不等式模型 模型：某地出租車費(fèi)用是這樣計(jì)算的 :（1）每公里 2 元, 基價(jià)為 3 公里, 起價(jià) 10 元；（2）15 公里以上的部分加收 50% 空駛費(fèi)； 請分析里程為多少公里時(shí)更換出租車更劃算？設(shè)里程為 x km(x15)，超過 15 公里時(shí)兩種方案的費(fèi)用分別為：時(shí)，即 x19 時(shí)，更換出租車更劃算 3．函數(shù)模型某書定價(jià) 8 元。如果一次購買 10 本以上，超過 10 本部分打 8 折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。四、如何培養(yǎng)首先，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)貼近學(xué)生的生活。其次，注意引導(dǎo)學(xué)生建立模型。最后，結(jié)合綜合實(shí)踐活動的開展，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。課程《初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)》運(yùn)算能力、符號意識、模型思想與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系是什么？教學(xué)中應(yīng)如何去培養(yǎng)？請結(jié)合個(gè)人教學(xué)實(shí)踐談一談。作業(yè)要求：（1）字?jǐn)?shù)要求：不少于300字。字體要求宋體，大小medium，word文檔字體大小三號。（2）作業(yè)內(nèi)容如出現(xiàn)雷同，該作業(yè)成績?yōu)椴缓细瘛＃?）為方便批改，請盡量不要用附件的形式提交。（最好先在文檔編輯word軟件里編輯好，再將內(nèi)容復(fù)制到答題框提交，提交的操作時(shí)間不要超過20分鐘）初中數(shù)學(xué)作業(yè)二初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分與運(yùn)算能力相關(guān)的內(nèi)容，一個(gè)是有理數(shù)的運(yùn)算。還有實(shí)數(shù)的運(yùn)算，但由于解決實(shí)際問題取近似值，落腳點(diǎn)還是有理數(shù)運(yùn)算，帶根號的無理數(shù)的運(yùn)算實(shí)際上是恒等變形。關(guān)于式的運(yùn)算，實(shí)際上就是恒等變形。運(yùn)算在解決問題中是必須的，運(yùn)算能力的培養(yǎng)是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運(yùn)算，都要求其結(jié)果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。經(jīng)歷過程，理解運(yùn)算的意義?！稑?biāo)準(zhǔn)》降低了對有理數(shù)運(yùn)算的要求，降低了式的運(yùn)算和變形的難度和技巧，并不代表現(xiàn)在不需要重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，而是結(jié)合時(shí)代特點(diǎn)對運(yùn)算的內(nèi)涵及其重點(diǎn)進(jìn)行必要的調(diào)整。重要的不再是計(jì)算的熟練程度和技巧，而是對運(yùn)算意義的理解。如乘法公式現(xiàn)在只要求兩個(gè)：平方差公式和完全平方公式。但對其理解的要求更高了：會推導(dǎo)乘法公式，了解公式的幾何背景，并能進(jìn)行簡單計(jì)算。在教學(xué)中通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)過程，可以體會到數(shù)與代數(shù)中公式的這一本質(zhì)。而且如果真的碰到(a+b)3 的話，也會用類似的方法計(jì)算或推導(dǎo)出新的公式。因此最主要的還是對“公式”本身的意義和作用的理解，體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，懂得怎么應(yīng)用公式。講究策略，優(yōu)化運(yùn)算的過程，強(qiáng)化一題多解。運(yùn)算過程可以理解為是根據(jù)運(yùn)算定義及其性質(zhì)從已知的運(yùn)算對象推導(dǎo)出結(jié)果的過程，因此，運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)是一種推理過程。例如，在教學(xué)1+2+3+?+99+100= 有些學(xué)生是想的：1+100=2+99=3+98=?=50+51=101，所以答案10150=5050；也有的是，兩次題目中的加數(shù)、顛倒相加而得；還有的學(xué)生用的是另外的方法。不論哪種策略方法，但用了推理能力這一點(diǎn)則是無疑的。學(xué)會反思，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性（養(yǎng)成良好的習(xí)慣）。例如在教學(xué)整式的加減法時(shí)，例題教學(xué)結(jié)束后，提出如下問題：怎樣能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行整式的運(yùn)算？學(xué)生在結(jié)合自己的做法討論交流后得出：在掌握去括號和合并同類項(xiàng)的法則后，還要每做完一步就回過頭快速的檢查自己是否正確，當(dāng)確信準(zhǔn)確無誤后再繼續(xù)進(jìn)行下面的計(jì)算，經(jīng)過了這樣的過程，學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確性就大大的提高了。這是對運(yùn)算過程的反思。還有就是對運(yùn)算結(jié)果的反思。在教學(xué)一元一次方程的解法和應(yīng)用時(shí)，除了要求學(xué)生在解的過程中反思外，還要求對計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行反思，不僅是檢驗(yàn)結(jié)果正確與否，更重要的是考察結(jié)果是否合理，是否符合實(shí)際。與符號意識相關(guān)內(nèi)容，第一個(gè)要考慮的是符號的表示。第二點(diǎn)是對符號的解釋。還有一點(diǎn)，在符號意識中還有一個(gè)符號的運(yùn)算，以及符號之間的轉(zhuǎn)換。1．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是要懂得符號的意義和會用符號來解決問題。作為我們數(shù)學(xué)教師特別要重視符號教學(xué)在實(shí)踐當(dāng)中實(shí)施的過程。符號雖然很抽象，但它來源于實(shí)際，我們在教學(xué)過程當(dāng)中應(yīng)該從實(shí)際問題當(dāng)中去抽象，讓學(xué)生感覺到這些符號有用。例如：每千克蘋果a元，那么3千克蘋果多少元？學(xué)生明確后，進(jìn)而提出問題：你能利用生活中的實(shí)際賦予3a其它的意義嗎？學(xué)生經(jīng)過幾分鐘的思考給出了很多如：每只鋼筆a元，3支鋼筆多少元等的不同解釋。通過這樣一個(gè)問題，不僅讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值，而且在舉例的過程中真正理解了符號的意義并會應(yīng)用符號來解決問題。2．建立學(xué)生的符號感實(shí)際上是一個(gè)漸進(jìn)的過程，不能一步到位。我們在教的過程中必須要考慮學(xué)生的每個(gè)年齡段的心理和認(rèn)知規(guī)律，要科學(xué)，重視情境教學(xué)，幫助學(xué)生去認(rèn)識與理解符號感。通過創(chuàng)設(shè)問題的情境讓學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)、共同探索，使其充分認(rèn)識所學(xué)知識的優(yōu)越性和必要性，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。如：在引入建立符號感的過程中，采用了學(xué)生最熟悉的情境一個(gè)籃球比賽。學(xué)生熟悉這個(gè)情境，非常容易建立式子，自然而然地滲透了符號，包括表格、式子一系列的應(yīng)用。非常自然對于學(xué)生建立符號感，感悟這個(gè)問題是有好處的。3．體驗(yàn)情境中對符號的需求，引導(dǎo)學(xué)生去感知、去頓悟。在講字母表示數(shù)、用代數(shù)式來表示我們生活當(dāng)中一些關(guān)系的時(shí)候，或者想出一些關(guān)系式的時(shí)候都應(yīng)該讓學(xué)生從一些自己身邊的最熟悉的自己最感興趣的、身邊的東西去出發(fā)，讓學(xué)生去體會用這樣一些代數(shù)式和字母來表示這樣一些關(guān)系的事。它實(shí)際上是一個(gè)必要性、簡潔體驗(yàn)情境中對符號的需求，引導(dǎo)學(xué)生去感知、去頓悟簡潔性與一般性。4．遵循認(rèn)知規(guī)律，滲透數(shù)學(xué)思想方法，循序漸進(jìn)地，讓學(xué)生建立并發(fā)展符號感。對字母表示數(shù)的情境是有層次性的。應(yīng)因材施教。課堂上問題的設(shè)置都要貼近學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教學(xué)過程中必須遵循認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)，既要考慮它的長期性，又要考慮它的層次性，應(yīng)循序漸進(jìn)的從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般。必須是自始至終的，抓住主要的課時(shí)進(jìn)行符號感的教學(xué)，才是最有效的。5．讓學(xué)生努力地去觀察生活、讓他主動的去發(fā)現(xiàn)。加深對實(shí)際情境的了解，增加我們學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和閱歷。，就可把數(shù)量關(guān)系問題化為圖形性質(zhì)去討論，形成“以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)“數(shù)a的絕對值的化簡時(shí)”如果就單純的通過具體的數(shù)發(fā)現(xiàn)正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的絕對值的情況，用文字語言敘述也會非常熟練，但是在化簡a的絕對值時(shí)，還是會忘記考慮要分類討論，直接將絕對值符號去掉，就等于a，如果此時(shí)教師能利用數(shù)軸學(xué)生很容易就會考慮到a的情況，也就不會出現(xiàn)上述的錯(cuò)誤了。可見有機(jī)地利用圖形語言，可提高學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)記憶效果,又可以加強(qiáng)理解。如果在教學(xué)時(shí)結(jié)合圖形和文字語言加強(qiáng)理解和記憶，學(xué)生則大大的減少錯(cuò)誤。與模型思想相關(guān)內(nèi)容：方程模型、不等式模型、函數(shù)模型。教師要建立以人為本的教育觀，以實(shí)際應(yīng)用問題教學(xué)為突破口,逐步培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法的意識。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。因此必須改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是：以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來組織教學(xué)工作。（2）通過實(shí)踐活動或游戲的數(shù)學(xué)，從中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)建模應(yīng)用能力。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決各類實(shí)際問題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集資料，觀察和研究實(shí)際對象的特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁