【導讀】通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題；組合的應用；二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)及二項式系數(shù)和。答題出現(xiàn)的可能性較大。分類計數(shù)原理中的分類；正確地分類與分步是學好這一章的關(guān)鍵。記住下列幾個階乘數(shù)：1！二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；①每位學生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有；同一信箱中，有C42·A33種投法、，故共有C31+C32+C42·A33=81（種）。因?qū)W生可同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將4名學生看作4個“店”，②競賽項目可以挑學生，而學生無選擇項目的機會，每一項可以挑4種不同學生，方法3個數(shù)字中有一個是奇數(shù)，有1333CA，故共有33A＋1333CA＝24種方法，故選B；從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有3374AA?

　　

【正文】 x x x a? ? ?，令 39。( ) 0fx? ，解得 120, 1x x a? ? ?。 （Ⅰ）當 1a? 時， 39。2( ) 6f x x? ， ()fx在 ( , )???? 上單調(diào)遞增； 當 1a? 時， ? ?39。 ( ) 6 1f x x x a? ? ?????， 39。( ), ( )f x f x 隨 x 的變化情況如下表： x ( ,0)?? 0 (0, 1)a? 1a? ( 1, )a? ?? 39。()fx + 0 ? 0 ? ()fx 極大值 極小值 從上表可知，函數(shù) ()fx在 ( ,0)?? 上單調(diào)遞增；在 (0, 1)a? 上單調(diào)遞減；在第 20 頁 共 25 頁 ( 1, )a? ?? 上單調(diào)遞增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當 1a? 時，函數(shù) ()fx沒有極值；當 1a? 時，函數(shù) ()fx在 0x?處取得極大值，在 1xa??處取得極小值 31 ( 1)a?? 。 點評： 本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。 題型 5：導數(shù)綜合題 例 9．（ 06廣東卷）設(shè)函數(shù) 3( ) 3 2f x x x? ? ? ?分別在 12xx、 處取得極小值、極大值 .xoy平面上點 AB、 的坐標分別為 11()x f x（ , ） 、 22()x f x（ , ） ，該平面上動點 P 滿足 ? 4PA PB? ,點 Q 是點 P 關(guān)于直線 2( 4)yx??的對稱點 .求 (I)求點 AB、 的坐標； (II)求動點 Q 的軌跡方程 . 解 析： (Ⅰ )令 033)23()( 23 ?????????? xxxxf 解得 11 ??? x或 ； 當 1??x 時 , 0)( ?? xf ， 當 11 ??? x 時 , 0)( ?? xf ， 當 1?x 時 ， 0)( ?? xf 。 所以 , 函 數(shù) 在 1??x 處 取 得 極 小 值 , 在 1?x 取 得 極 大 值 , 故1,1 21 ??? xx , 4)1(,0)1( ??? ff 。 所以 , 點 A、 B 的坐標為 )4,1(),0,1( BA ? 。 （ Ⅱ ） 設(shè) ),( nmp ， ),( yxQ ， ? ? ? ? 4414,1,1 22 ????????????? nnmnmnmPBPA ， 21??PQk，所以21????mx ny。 又 PQ 的中點在 )4(2 ?? xy 上，所以 ?????? ???? 4222 nxmy， 消去 nm, 得? ? ? ? 928 22 ???? yx 。 點評：該題是導數(shù)與平 面向量結(jié)合的綜合題。 例 10 ． （ 06 湖南卷）已知函數(shù) ( ) sinf x x x?? , 數(shù)列 { na } 滿第 21 頁 共 25 頁 足 : 110 1 , ( ) , 1 , 2 , 3 , .nna a f a n?? ? ? ?證明 :(ⅰ ) 101nnaa?? ? ?； (ⅱ ) 31 16nnaa? ?。 證明 : （ I）．先用數(shù)學歸納法 證明 01na??，ｎ＝ 1,2,3,? (i).當 n=1 時 ,由已知顯然結(jié)論成立 。 (ii).假設(shè)當 n=k 時結(jié)論成立 ,即 01ka??。 因為 0x1 時 ， 39。 ( ) 1 cos 0f x x? ? ?,所以 f(x)在 (0,1)上是增函數(shù) 。 又 f(x)在 [0,1]上連續(xù) ， 從而 1( 0 ) ( ) ( 1 ) , 0 1 sin 1 1kkf f a f a ?? ? ? ? ? ? n=k+1時 ,結(jié)論成立 。 由 (i)、 (ii)可知， 01na??對一切正整數(shù)都成立 。 又因為 01na??時， 1 si n si n 0n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?，所以 1nnaa? ? ，綜上所述 101nnaa?? ? ? 。 （ II）．設(shè)函數(shù) 31( ) sin6g x x x x? ? ?， 01x??， 由（ I）知，當 01x??時， sinxx? ， 從而 2 2 239。 2 2( ) c o s 1 2 s in 2 ( ) 0 .2 2 2 2 2x x x x xg x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 g (x)在 (0,1)上是增函數(shù) 。 又 g (x)在 [0,1]上連續(xù) ,且 g (0)=0， 所以 當 01x??時， g (x)0 成立 。 于是 31( ) 0 , si n 06n n n ng a a a a? ? ? ?即．故 31 16nnaa? ?。 點評：該題是數(shù)列知識和導數(shù)結(jié)合到一塊。 題型 6：導數(shù)實際應用題 例 11．（ 06 江蘇卷）請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形 狀是高為 1m 的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為 3m 的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O 到底面中心 1o 的距離為多少時，帳篷的體積最大？ 本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。 解析：設(shè) OO1為 x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面第 22 頁 共 25 頁 邊長為 2 2 23 ( 1 ) 8 2x x x? ? ? ? ?（單位： m） 。 于是底面正六邊形的面積為（單位： m2） ： 2 2 2 2 23 3 33 ( 1 ) 6 ( 8 2 ) ( 8 2 )42x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?。 帳篷的體積為 （單位： m3） ： 233 3 1 3( ) ( 8 2 ) ( 1 ) 1 ( 1 6 1 2 )2 3 2V x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ????? 求導數(shù)，得 23( ) (1 2 3 )2V x x? ??； 令 ( ) 0Vx? ? 解得 x=2(不合題意，舍去 ),x=2。 當 1x2 時， ( ) 0Vx? ? ,V(x)為增函數(shù)；當 2x4 時， ( ) 0Vx? ? ,V(x)為減函數(shù)。 所以當 x=2 時 ,V(x)最大。 答 ： 當 OO1為 2m 時，帳篷的體積最大。 點評：結(jié)合空間幾何 體的體積求最值，理解導數(shù)的工具作用。 例 12．（ 06 浙江卷）已知函數(shù) f(x)=x3 + x3 ，數(shù)列｜ xn ｜(xn ＞ 0)的第一項 xn ＝ 1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在 ))(,( 11 ?? nn xfx 處的切線與經(jīng)過（ 0， 0）和（ x n ,f (xn )）兩點的直線平行（如圖）求證：當 n *N? 時， (Ⅰ )x 。23 12 12 ?? ??? nnnn xxx （Ⅱ） 21 )21()21( ?? ?? nnn x。 證明：（ I）因為 39。2( ) 3 2 ,f x x x??所以曲線 ()y f x? 在 11( , ( ))nnx f x??處的切線斜率12113 2 .nnnk x x????? 第 23 頁 共 25 頁 因為過 (0,0) 和 ( , ( ))nnx f x 兩點的直線斜率是 2 ,nnxx? 所以 221132n n n nx x x x??? ? ?. （ II）因為函數(shù) 2()h x x x??當 0x? 時單調(diào)遞增，而 221132n n n nx x x x??? ? ? 21142nnxx???? 211(2 ) 2nnxx????， 所以 12nnxx?? ，即 1 1,2nnxx? ?因此 11 21 2 11( ) .2 nnnn xx xx x x x ????? ? ????? ? 又因為122 12( ),nn n nx x x x? ?? ? ?令 2 ,n n ny x x?? 則 1 1.2nnyy? ? 因為 21 1 1 2,y x x? ? ? 所以 12111( ) ( ) .22nnnyy??? ? ? 因此 221( ) ,2 nn n nx x x ?? ? ? 故 1211( ) ( ) .22nnnx???? 點評： 本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。 題型 7：定積分 例 13． 計算下列定積分的值 （ 1） ?? ?31 2 )4( dxxx；（ 2） ? ?21 5)1( dxx；（ 3） dxxx? ?20 )sin(? ；（ 4） dxx??222cos?? ； 解析：（ 1） （ 2）因為 56 )1(])1(61[ ???? xx，所以61|)1(61)1( 21621 5 ????? xdxx； （ 3） 第 24 頁 共 25 頁 （ 4） 例 14． （ 1） 一物體按規(guī)律 x＝ bt3 作直線運動，式中 x 為時間 t 內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方．試求物體由 x＝ 0 運動到 x＝ a 時，阻力所作的功 。 （ 2） 拋物線 y=ax2＋ bx 在第一象限內(nèi)與直線 x＋ y=4 相切．此拋物線與 x 軸所圍成的圖形的面積記為 S．求使 S 達到最大值的 a、 b 值，并求 Smax． 解 析：（ 1） 物體的速度 23 3)( btbtdtdxV ????。 媒質(zhì) 阻力 42222 9)3( tkbbtkkvF zu ??? ，其中 k 為比例常數(shù)， k0。 當 x=0 時， t=0；當 x=a 時， 311 )(batt ??， 又 ds=vdt，故阻力所作的功為： 3 277130 320 30 2 727727)3(111 baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFW tttzuzu ??????? ???? （ 2） 依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與 x 軸的交點的橫坐標分別為 x1=0， x2=－ b/a，所以 320 2 6 1)( badxbxaxS ab ??? ?? (1) 又直線 x＋ y=4 與拋物線 y=ax2＋ bx 相切，即它們有唯一的公共點， 由方程組??? ?? ?? bxaxy yx24 得 ax2＋ (b＋ 1)x－ 4=0，其判別式必須為 0，即 (b＋ 1)2＋ 16a=0． 第 25 頁 共 25 頁 于是 ,)1(161 2??? ba代入（ 1）式得： )0(,)1(6 128)( 43 ??? bb bbS ， 52 )1(3 )3(128)( ? ??? b bbbS ； 令 S39。(b)=0；在 b＞ 0 時得唯一駐點 b=3，且當 0＜ b＜ 3 時， S39。(b)＞ 0；當 b＞ 3 時， S39。(b)＜ 0．故在 b=3 時， S(b)取得極大值，也是最大值，即 a=－ 1， b=3 時 ， S 取得最大值，且29max ?S。 點評：應用好定積分處 理平面區(qū)域內(nèi)的面積。 五．思維總結(jié) 1．本講內(nèi)容在高考中以填空題和解答題為主 主要考查： （ 1）函數(shù)的極限； （ 2）導數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)及在解決實際問題中的應用； （ 3）計算曲邊圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。 2．考生應立足基礎(chǔ)知識和基本方法的復習，以課本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標。