【正文】 志力,一種鍥而不舍的進(jìn)取精神?；A(chǔ)理論掌握好了，在不同的情景下可以得到不同的發(fā)展，激發(fā)著我們探討數(shù)學(xué)這門學(xué)科的激情，這就是數(shù)學(xué)獨(dú)特的引人之處。有興趣的同學(xué)還可以利用幾何畫板緩慢增加F1F2的距離，使它靠近兩半徑之和。這時兩圓的交點(diǎn)的運(yùn)動軌跡會是怎樣的呢？試一試就有意外的發(fā)現(xiàn)！橢圓還有其他方法進(jìn)行構(gòu)造嗎？答案是肯定的。下面一起來看實驗2：某定圓F1及其內(nèi)部一點(diǎn)F2，半徑為2a，點(diǎn)M是圓上的一動點(diǎn)，連結(jié)MF2，且作MF2的中垂線交MF1于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動時，試探討點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡。分析，利用幾何畫板設(shè)定動點(diǎn)M的速度，并且跟蹤點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，不難發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)M在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是橢圓。試驗分析：由MF2的垂直平分線得PF1=PF2, PF1+PF2=PF1+PM=MF1=2a 滿足動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離和為常數(shù),其軌跡 是橢圓。建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可列的方程 (x+c)2+y2+ 化簡這無理方程得(xc)2+y2=2a (a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2) 令a2c2=b2得 x2a2＋ y2b2=1以上兩個實驗，不同的方案得到相同的軌跡——橢圓。數(shù)學(xué)知識可能在將來會遺忘,但這種學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的方法是終生受益的。試驗3：在平在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b為半徑畫兩個圓（a＞b），過大圓上一動點(diǎn)M，作MD的垂直X軸，連接OM交小圓于點(diǎn)D，過用E作MD的垂線，垂足為P，當(dāng)點(diǎn)M在大圓上運(yùn)動時，試探討點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡。YMEOPDX Animate M試驗3試驗現(xiàn)象：用鼠標(biāo)輕輕地移動點(diǎn)M，并且跟蹤點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，隨著點(diǎn)M的移動，便得到一個橢圓。試驗分析： 設(shè)OM與x正半軸夾角為 則x=a cosq y=b sinq, 消去參數(shù)：q得x2a2＋ q, P(x,y)y2b2=1試驗3中，我們利用幾何畫板特有的跟蹤功能，清晰地反映了 被動點(diǎn)P與主動點(diǎn)M的關(guān)系，受a、b不同的影響，點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡不再是圓了，而是一個標(biāo)準(zhǔn)的橢圓，課堂上我們可邊演示邊講解，從實踐中得出的理論是令人終忘的，只有理解了的知識才是屬于自己的。方程我們稱它為橢圓的參數(shù)方程，其中 以上三個實驗，我們借助幾何畫板這軟件，成功地演示了橢圓的形成過程，橢圓是一種非常重要的圓錐曲線，我們理解了它的產(chǎn)生過程，便能為下一步運(yùn)用橢圓的性質(zhì)解決問題提供了很好的理論依據(jù)。實踐證明，橢圓的定義是用來解決橢圓有關(guān)問題的一種有效的工具，有些疑難問題束手無策時，聯(lián)想到其定義便能柳暗花明，而前兩個實驗的結(jié)論便是我們橢圓的定義，而我們實驗的結(jié)論是從實踐中得出的，參與了就難以忘懷，我們堅信幾何畫板會給數(shù)學(xué)課堂帶來更多、更好的幫助。接下來我們開始利用幾何畫板根據(jù)橢圓的方程探橢圓的簡單幾何性質(zhì)。在解析幾何里，常常利用曲線方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，通過對曲線方程的討論，得到曲線的形狀、大小和位置，下面我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，借助《幾何畫板》來研究橢圓的幾何性質(zhì)。yyPP1B1OF2F1xOP21，范圍：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可得y=177。bsqrt(1((x^2)/(a^2)))，分別繪制這兩個函數(shù)的圖象，得到一個完整的橢圓。在坐標(biāo)系中，分別繪制（a，0），（a，0），（0，b），（0，b）四點(diǎn)，構(gòu)成一個矩形方框，結(jié)果橢圓在這個矩形內(nèi)，由此可知橢圓位于直線X=177。a，y=177。b所圍成的矩形內(nèi)。對稱性：在繪制函數(shù)y=177。bsqrt(1((x^2)/(a^2)))時，可發(fā)現(xiàn)上、下兩條對稱的曲線，很明顯，橢圓是關(guān)于X軸對稱的，在橢圓上任取一點(diǎn)P，利用鏡面反射，作關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn)P1正好也在橢圓上，說明橢圓關(guān)于Y軸所對稱，再作P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P2，可得其對稱點(diǎn)P2以也在橢圓上，這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，由于P點(diǎn)的任意性，得知橢圓既是軸對稱圖形(對稱軸是X軸、Y軸)，又是中心對稱圖形，原點(diǎn)是對稱中心。用幾何畫板探討橢圓對稱性和范圍，簡潔明了，學(xué)生可以動手做實驗親身體會便可以牢固掌握。離心率：我們知道，橢圓的焦距與長軸長的比e=(c/a)，稱它為橢圓的離心率，在實驗2中，橢圓的離心率其實就是(F[1]F[2]/F[1]M)的比值，因為F1F2=2C，如果把圓內(nèi)這定點(diǎn)F2的位置移動，使得F1F2的大小發(fā)生變化，這是點(diǎn)P的軌跡——橢圓的圓扁程度也跟著發(fā)生變化，為什么離心率的變化會影響著橢圓的圓扁呢？帶著這個疑問，我們一起來分析實驗2。因為當(dāng)F2移動靠近F1時，e就減小，而橢圓卻越來越圓，在畫板中可以清晰看到這個變化過程，若F2與F1重合時，我們可猜測所得圖形就圓，也即離心率越小，橢圓就越圓，這結(jié)論從理論上我們也可以分析得到，因為e=(c/a)=sqrt(1((b^2)/(a^2)))中，若a不變，b變大，1((b^2)/(a^2))就變小，這時離心率變小，所以離心率越小，橢圓就越圓。實驗2中，還可以進(jìn)一步探討離心率的范圍，因為點(diǎn)F2在圓內(nèi)可知F1F2＜R=F1M，所以e一定小于1，即0＜e＜1 4 探討過橢圓焦點(diǎn)三角形的面積問題？在橢圓上任取一點(diǎn)P，邊結(jié)PFPF2得△PF1F2。點(diǎn)P在什么位置時，三角形的面積B1PPB1F2F1F2F1 Animate P面積 最大？PF2F1 = 厘米2 Animate P面積 PF2F1 = 厘米2設(shè)定點(diǎn)P的動畫，并在測量欄，測量三角形PF1F2的面積，點(diǎn)擊動畫按鈕時，△的面積在不斷地變化，當(dāng)點(diǎn)P繞橢圓運(yùn)動一周時可發(fā)現(xiàn)它在兩處的面積最大，即短軸的頂點(diǎn)。理論依據(jù)：△PF1F2的面積以是F1F2為底邊，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值為高的積，而邊F1F2不變，當(dāng)高|y[p]|最大時面積最大，所以點(diǎn)P在短軸的兩端點(diǎn)時其面積最大。拓展：利用幾何畫板進(jìn)一步演示橢圓內(nèi)與定點(diǎn)有關(guān)的問題，不僅形象直觀，而且很容易發(fā)現(xiàn)其特殊位置，幫助我們找到解決問題的方法、思路。幾年以來，我利用幾何畫板對高中數(shù)學(xué)進(jìn)行了很多種嘗試，在課堂上直接演示一些曲線的形成過程，比如后面的雙曲線、拋物線的形成過程，親眼所見、親手操作，得到的圓錐曲線，對于理解其定義，應(yīng)用它的性質(zhì)解題，可以起稱潛移默化的作用，從實踐中，得出來的數(shù)學(xué)知識，其精彩過程有時是終生難忘的，不僅在解析幾何中，幾何畫板有著很多的應(yīng)用，還有比如函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何等知識有著很廣的應(yīng)用。任意的函數(shù)，只要輸入其解析式，便能得到其圖像，很方便研究它的性質(zhì)例如單調(diào)性、周期性，最值，交點(diǎn)的個數(shù)等等問題。在立體幾何方面，可以利用圖像的旋轉(zhuǎn)，對折把抽象的角，距離等問題利用添色功能把它門淺顯化?，F(xiàn)在幾何畫板正在普及，大眾化。相信越來越多的教師學(xué)他，應(yīng)用他。使更多的學(xué)生終生受益。