【正文】 ：“他是罪犯嗎？”，也可以問：“他有不在現(xiàn)場(chǎng)的證據(jù)嗎？”第一個(gè)問題是不恰當(dāng)?shù)模痪邆淇刹僮餍?。第二個(gè)問題是恰當(dāng)?shù)模鼮橄乱徊叫袆?dòng)指出了方向。解題課教學(xué)過程中，下列問題是恰當(dāng)?shù)摹Ｔ跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遷移理論、信息理論、認(rèn)知理論、建構(gòu)主義等關(guān)于思維規(guī)律的理論，是每一個(gè)教師都應(yīng)當(dāng)認(rèn)真學(xué)習(xí)和努力掌握的。其中“建構(gòu)主義的崛起是八、九十年代最引人注目的事件”，1989年國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)文獻(xiàn)中，關(guān)于全球數(shù)學(xué)教育界最關(guān)心的十七個(gè)問題中，第三個(gè)問題指出：“剛誕生的認(rèn)識(shí)建構(gòu)主義對(duì)數(shù)學(xué)教師很有用”，建構(gòu)主義的核心便是：“知識(shí)是由認(rèn)識(shí)主體自己建構(gòu)的?！苯?gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)應(yīng)在與現(xiàn)實(shí)情境相類似的情境中發(fā)生，教學(xué)目標(biāo)是解決學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中遇到的問題，學(xué)習(xí)內(nèi)容要選擇真實(shí)性任務(wù)，并且不能對(duì)其作簡(jiǎn)單化處理。而認(rèn)知理論認(rèn)為，新知識(shí)被納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而擴(kuò)大了它的內(nèi)容，這一過程稱為同化。當(dāng)新知識(shí)在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有適當(dāng)?shù)闹R(shí)與之聯(lián)系，就要對(duì)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改組，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個(gè)過程叫做順應(yīng)。初中學(xué)生開始學(xué)習(xí)代數(shù)，基本上是通過順應(yīng)來(lái)學(xué)習(xí)的。在數(shù)學(xué)解題課中，運(yùn)用思維規(guī)律，結(jié)合初中學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而提出的問題是恰當(dāng)?shù)?。例如初中幾何講角度的四則運(yùn)算時(shí)，無(wú)論學(xué)生還是老師，都會(huì)立即聯(lián)想起時(shí)分秒的運(yùn)算，應(yīng)先問對(duì)時(shí)分秒怎么做加減乘除，再問對(duì)度分秒怎么做加減乘除，這個(gè)順序不應(yīng)該顛倒，否則就不符合認(rèn)知理論。又如幾何入門難的問題，歷來(lái)沒有很好解決，其源蓋在于教材的安排。根據(jù)記憶理論，人的短期記憶的容量是57個(gè)信息塊，超過了就造成記憶的困難，電話號(hào)碼升為八位后，大部分人都不能聽一次就準(zhǔn)確復(fù)述，而七位號(hào)碼時(shí)復(fù)述沒有困難。翻開初一幾何課本，頭三周的教材中，幾乎每一節(jié)課的概念、定義、規(guī)定等信息塊都超過七個(gè)，學(xué)生普遍記不住，對(duì)信息的敏感度降低，同時(shí)，枯燥的內(nèi)容也使學(xué)生失去了學(xué)習(xí)的興趣。這里指的是過深的問題不恰當(dāng)，學(xué)生不熟悉的問題不恰當(dāng)。初中生的知識(shí)面不廣，邏輯思維能力不強(qiáng)，且小學(xué)階段的學(xué)習(xí)主要通過模仿和反復(fù)訓(xùn)練、機(jī)械記憶完成，對(duì)初中的學(xué)習(xí)要求還不適應(yīng)，因此，教學(xué)中不宜提出過深的問題。如幾何課本中勾股定理的證明通過拚?qǐng)D來(lái)完成，教材的立意是好的，既有愛國(guó)主義教育，又能動(dòng)手試做，但實(shí)際上這種證明方法并不成功。思路是怎么來(lái)的？為什么要這樣證？試試看將幾塊板子交給學(xué)生，沒有幾個(gè)人能將所需圖形拚出來(lái)。別說學(xué)生記不住，老師都難以獨(dú)立地重新完成整個(gè)證明過程。其實(shí)在學(xué)習(xí)了相似形后，用射影定理證明勾股定理是輕松自然，水到渠成的。又如實(shí)際情境的引進(jìn)，實(shí)際問題的提出，教材很注意這一點(diǎn)。但中國(guó)地大物博，各地學(xué)生之間差距極大，某些看似實(shí)際的問題，對(duì)一些學(xué)生并不實(shí)際。初一講方程時(shí)用天平來(lái) 講等量關(guān)系，別說農(nóng)村的孩子，就是城市的孩子，又有幾個(gè)見過天平？誰(shuí)又知道砝碼是什么東西？講統(tǒng)計(jì)時(shí)，舉的例子常提科學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生們有幾個(gè)做過系統(tǒng)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)？農(nóng)村講稻谷，城市講購(gòu)物，引進(jìn)的情境應(yīng)從學(xué)生感興趣的、有經(jīng)歷的事物出發(fā)，比如講等式性質(zhì)的時(shí)候，不講天平，可以這樣講：“劉國(guó)樑和孔令輝有同樣多的錢，但劉國(guó)樑買了三個(gè)乒乓球后，剩下兩元，而孔令輝買了兩個(gè)乒乓球后，剩下三元，問一個(gè)乒乓球多少錢，他們?cè)卸嗌馘X？你能列出方程嗎？”然后用兩邊同減兩個(gè)乒乓球，再同減兩元的方法講等式性質(zhì)，學(xué)生聽了親切得多。教學(xué)中最不恰當(dāng)?shù)膯栴}是：“對(duì)不對(duì)？”“是不是？”，成了口頭禪更是教師的大忌。回答這樣的問題，初一學(xué)生一般會(huì)吵吵嚷嚷，兩方互不相讓，還要老師費(fèi)神維持紀(jì)律。數(shù)學(xué)解題課時(shí)間有限，每節(jié)課有規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，由不得師生間天馬行空地自由討論，數(shù)學(xué)解題通常有明確的思路和步驟，提問時(shí)，應(yīng)緊扣基本技能和基礎(chǔ)知識(shí)，明確地發(fā)問。但“這道題怎么解？”“有沒有更好的解法？”這類問題指向性不強(qiáng)，可改為：“根據(jù)已知條件，觀察一下已知數(shù)的特點(diǎn)，能不能找到更好的解法？”“解二元一次方程組有哪幾種解法？這道題用什么方法解最合理？”：“什么是兩角的和、差？什么是一個(gè)角的兩倍？什么是一個(gè)角的二分之一？”這也是一個(gè)指向不明確的問題。對(duì)這個(gè)問題的回答，學(xué)生作業(yè)有三種不同的答案。第一種，照抄上百字的課文，從圖形疊合的角度說明；第二種，用“兩個(gè)角的度數(shù)的和，叫做兩個(gè)角的和?！睆亩攘康慕嵌日f明；第三種：∠1+∠2叫做兩個(gè)角的和，從符號(hào)使用的角度說明。那么，教材的本意是什么呢？如果是第一種，可以改為：“你能畫一個(gè)圖說明什么是兩個(gè)角的和嗎？”如果要求不止一種回答，可以改為：“用兩種方法說明什么是兩個(gè)角的和?！?、不失時(shí)機(jī)的問題是恰當(dāng)?shù)?。解題課教學(xué)過程中，要給學(xué)生探索的機(jī)會(huì)和時(shí)間，當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，教師要提出適當(dāng)?shù)膯栴}加以引導(dǎo)。美國(guó)林格倫著的《課堂教育學(xué)》被譽(yù)為“第一流的教科書”而被眾多院校所采用。書中有一段描寫很細(xì)致：老師要求學(xué)生布雷德閱讀一篇文章，并指出故事發(fā)生在什么時(shí)間。布雷德說文章中沒有寫出來(lái)。另一個(gè)女孩瑪麗安娜要求告訴他答案，老師說只可以提示。于是瑪麗安娜說，你可以找到線索。布雷德不明白，瑪麗安娜又說，比如一年中什么季節(jié)會(huì)發(fā)生什么？布雷德還是有困難?，旣惏材扔终f：比如冬天會(huì)出現(xiàn)什么？布雷德說：會(huì)有雪和雪橇，但這里并沒有寫雪，啊，我想我明白了，葉子從樹上長(zhǎng)出來(lái)，小鳥從南方飛回來(lái)了，這是春天！這是一個(gè)逐步引導(dǎo)的例子。波利亞在《怎樣解題》中描述了一個(gè)壞問題：將“你知道一個(gè)與此有關(guān)的問題嗎？”改為“你能用勾股定理嗎？”對(duì)此，波利亞說：“我們的動(dòng)機(jī)可能是極好的，但是這種提問大概是極壞的”然后他列舉了三大理由去反對(duì)這種極壞的提問。而我們的老師卻經(jīng)常在課堂上大量提出這種強(qiáng)制性的問題，象一個(gè)汽車教練員，總?cè)滩蛔≡趶?fù)雜路段伸出手去控制方向盤，代替學(xué)員的駕駛。風(fēng)趣幽默的教師特別受學(xué)生的歡迎，而風(fēng)趣的問題，一下子就把學(xué)生的情緒調(diào)動(dòng)起來(lái)了，他給枯燥的課堂氣氛帶來(lái)了一些輕松。在科學(xué)史上、數(shù)學(xué)史上既有教育意義又輕松幽默故事、言論比比皆是。如中國(guó)的“白馬非馬”、“百尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”、“歷物十事”、“辯者二十一事”、“勾三股四弦五黃方二”，國(guó)外的芝洛三辯、無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)、笛卡爾發(fā)明直角坐標(biāo)系、高斯的故事、數(shù)學(xué)的三次危機(jī)、理發(fā)師悖論、非歐幾何的發(fā)現(xiàn)等等，這些材料不僅在調(diào)動(dòng)課堂氣氛，激發(fā)好奇心時(shí)立竿見影，而且也是素質(zhì)教育的極好題材。這方面運(yùn)用得非常成功的一個(gè)典型就是史蒂芬霍金寫的《時(shí)間簡(jiǎn)史》，一本敘述相對(duì)論、量子力學(xué)、和當(dāng)代天文學(xué)最新成就的著作。由一個(gè)困在輪椅上多年、全身萎縮、生活不能自理、不會(huì)說話的偉大科學(xué)家寫出來(lái)而成為暢銷書。他在寫這本書的時(shí)候說：“現(xiàn)代科學(xué)變得如此之技術(shù)化，以至于只有極少數(shù)專家掌握解釋這些問題所用到的數(shù)學(xué)。不過關(guān)于宇宙的起源和命運(yùn)的基本概念則可以離開數(shù)學(xué)，以一種沒有受過訓(xùn)練的人也能理解的形式來(lái)加以陳述。為此我決定一個(gè)方程也不用。然而，在最后我確實(shí)用了一個(gè)方程，即著名的愛因斯坦方程E=mc2, 我希望這個(gè)方程不會(huì)嚇跑一半我的潛在讀者?！本褪沁@樣一本通俗易懂的書，讓霍金學(xué)說的讀者群擴(kuò)大了上萬(wàn)倍，也讓霍金得到了足夠的版稅，供他女兒上大學(xué)。我們的教科書則以大量的科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)式催眠了我們的學(xué)生。我有時(shí)想，如果我們的幾何教材換一種形式，用歐幾里德和芝洛辯論與對(duì)話的形式來(lái)寫，恐怕學(xué)生學(xué)起來(lái)要有趣得多。在學(xué)習(xí)完幾何第一冊(cè)第一章上復(fù)習(xí)課的時(shí)候，需要對(duì)“基本元素、基本概念、公 理、定理”這幾個(gè)概念作一個(gè)說明，我用一個(gè)故事引入：“國(guó)王知道阿凡提很有智慧，決定考一考他。阿凡提去見國(guó)王，國(guó)王正在吃面包，于是國(guó)王問：什么是面包？阿凡提回答：面包是糧食。問：什么是糧食？答：糧食是人的食物。問：什么是食物？答：食物是可以吃的東西？再問：什么是東西？阿凡提想了半天，只好說：沒有什么東西不是東西？就連不是東西也是東西。”這個(gè)故事里，就包含了分類、基本概念、派生概念、內(nèi)涵與外延等邏輯學(xué)的概念。再來(lái)問學(xué)生，我們學(xué)過的知識(shí)中，哪些是“東西”，那些不是“東西”，學(xué)生興致勃勃。？1．善用教材?，F(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材與問題情境教學(xué)法是有矛盾的。現(xiàn)行教材基本是敘述式、演繹式、學(xué)科式的。與之對(duì)應(yīng)的，是問題情境式、歸納式、實(shí)用式的。許多數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家指出，數(shù)學(xué)具有兩重性：數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式性和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)性。波利亞說：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻象一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！北本┯械睦蠋熤赋觯骸爱?dāng)前我國(guó)的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀令人擔(dān)憂，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，往往只強(qiáng)調(diào)形式化的邏輯推導(dǎo)，重視數(shù)學(xué)的形式化的結(jié)果，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的展示和直觀性數(shù)學(xué)背景注意較少。于是，在學(xué)生的眼里，數(shù)學(xué)成了枯燥無(wú)味的公式和結(jié)論的堆積，充滿靈感和生機(jī)勃勃的數(shù)學(xué)喪失了它的本來(lái)面目。特別是在各種考試的壓力之下，這種對(duì)數(shù)學(xué)的人為扭曲達(dá)到了空前的地步?！弊鳛榻處?，我們不能無(wú)視教材的權(quán)威性，但作為第一線的教師，我們有權(quán)在不改變教學(xué)要求的前提下，使課堂增加一點(diǎn)活潑和趣味，把學(xué)生充分調(diào)動(dòng)起來(lái)。其實(shí)，教材也很重視情境設(shè)置，在每個(gè)新知識(shí)引進(jìn)時(shí)，都會(huì)用一些生活中的例子提出問題，我們應(yīng)當(dāng)重視這些實(shí)例，不該跳過去。當(dāng)然，如果有更好的例子也不妨作些替換。至于課文中大量的結(jié)論、方法、步驟、課堂練習(xí)、習(xí)題，決不是一個(gè)教師可以輕易替換的，有心也無(wú)力，我們沒有這么多的精力和時(shí)間，但將敘述性稍作變通，改為提問式，將教師主講的時(shí)間減少些，使學(xué)生議論的時(shí)間增加些，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性，將成功的喜悅留給學(xué)生，這是完全可以做到的，只需要我們改變教育觀念和習(xí)慣做法。如果有人按照問題情境教學(xué)法將教材做一個(gè)大改革，那將是學(xué)生的福音，也是教師的福音。2．解題階段的激趣與鉤沉。進(jìn)入新單元的第一課往往不好講。對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)常處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，或漫不經(jīng)心，或分心走神。能不能把“要我學(xué)”變成“我要學(xué)”，關(guān)鍵之處在于能否調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣。例如在講合并同類項(xiàng)的時(shí)候，教材用了一個(gè)買本子多少錢的例，畫了一個(gè)線段示意圖引進(jìn)，對(duì)學(xué)生的刺激實(shí)在太弱。我把引進(jìn)問題改成：“三只貓加兩只狗等于多少？”，學(xué)生笑了，說：“加不起來(lái)?！蔽以賳枺骸澳敲慈还芳觾芍还返扔诙嗌?？”學(xué)生說：“等于五只狗?！边@里就包含了不是同類項(xiàng)不能相加，同類項(xiàng)相加只要把系數(shù)相加兩個(gè)概念。但刺激還不夠，在寫下了3c+2d（其中c是cat，d是dog）后，我又說：“可是我昨天問一個(gè)幼兒園的小朋友，三只貓加兩只狗等于多少，她說你這都不懂？等于5只貓！我問為什么不是5只狗？她說她怕狗?！睂W(xué)生大笑。我問學(xué)生：“我說加不起來(lái)，她說，你太笨，還是去問我們幼兒園的老師吧。你們能不能幫我說服她，為什么三只貓加兩只狗加不起來(lái)？”在這節(jié)課的末尾，我又問：“三只蘋果加兩個(gè)男孩（3a+2b）等于多少？”有些學(xué)生說：“等于2b”，“為什么？”“因?yàn)槟泻烟O果吃掉了。”在笑聲中下課。3．自上而下的指導(dǎo)和循序漸進(jìn)的啟發(fā)。與傳統(tǒng)教學(xué)常采取“自下而上”的教學(xué)設(shè)計(jì)不同，建構(gòu)主義教學(xué)觀提出了“自上而下”的教學(xué)設(shè)計(jì)，即教師首先提出整體性的教學(xué)任務(wù)，選擇與學(xué)生生活有關(guān)的真實(shí)問題，并提供理解和解決問題的相關(guān)工具；學(xué)生則要自己嘗試著將整體任務(wù)分解成子任務(wù)，自己發(fā)現(xiàn)完成各級(jí)任務(wù)所需的相應(yīng)知識(shí)技能并通過自己的思考或小組討論，使問題得到解決，完成學(xué)習(xí)任務(wù)。例如解二元一次方程祖，教材是按小步子分解、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜來(lái)介紹代入消元法的，即分兩種情況介紹：①有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是正負(fù)1；②沒有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是正負(fù)1，分兩節(jié)課學(xué)習(xí)代入消元法。按照自上而下的觀點(diǎn)，是可以反過來(lái)做的，即先討論237。236。3x2y=1236。2xy=1這類方程的解法，再將237。這類方238。2x+3y=5238。3x+2y=54 程作為特例處理。甚至，只學(xué)習(xí)加減消元法，將代入消元法作為附帶方法來(lái)介紹也未嘗不可，因?yàn)閮煞N方法本質(zhì)是一樣的，而加減法更簡(jiǎn)便且不容易出錯(cuò)。又如一元一次不等式，從探討與方程的區(qū)別入手，尋找不等式的解法，然后再建立不等式的性質(zhì)，這樣的教法也自有它的合理性，即重現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題發(fā)生與解決的真實(shí)情境，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)過程，體味自己發(fā)現(xiàn)的樂趣。但無(wú)論采取什么教法，都應(yīng)當(dāng)循序漸236。x+y=3①239。進(jìn)地提出問題，不要超越學(xué)生的思維進(jìn)程。例如在學(xué)習(xí)三元一次方程組237。y+z=5② 時(shí)，學(xué)生找239。z+x=4③238。到了兩種不同的解法后，老師都會(huì)介紹（①+②+③）247。2得：x+y+z=6 ④，然后用④分別減去各方程的簡(jiǎn)便解法。但這個(gè)方程怎么來(lái)的？學(xué)生除了驚訝之外還能學(xué)到什么？在課堂上，我是這樣問的：“這個(gè)方程看起來(lái)這么簡(jiǎn)單，是不是有更簡(jiǎn)單的方法呢？”學(xué)生考慮后說：“如果能一次消掉兩個(gè)元就好了?！表樦@條思路，學(xué)生提出來(lái)的解法出乎我的意外，用①②③立即得到2z=6，即z=3，這比我希望學(xué)生得到的結(jié)果還要好。同時(shí)，又有學(xué)生提出，課本26頁(yè)的例題236。x+y+z=26①239。②也可以用③②①立即得到y(tǒng)=9，即y=9比課本使用的方法簡(jiǎn)便的多了！這就是237。xy=1239。2x+zy=18③238。一個(gè)合理的問題的例子。又如解完二元一次方程組237。236。x+y=7時(shí)，應(yīng)該再問學(xué)生：你能一眼看出它的結(jié)238。xy=12果嗎？學(xué)生很容易看出x=3且y=4，和x=4且y=3兩組解，但有些老師不同意這樣看，他們說：“不能沒有過程，考試要扣分的?！钡凇拔覈?guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的初步設(shè)想”中，已經(jīng)明確提出：“進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)感，減少繁雜的計(jì)算，加強(qiáng)估算，強(qiáng)調(diào)算法多樣化?！辈痪玫膶?lái)，老師可以理直氣壯地告訴學(xué)生：“即使高考，也允許觀察出來(lái)的結(jié)果！”荷蘭數(shù)學(xué)教育家、國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席弗蘭登塔爾認(rèn)為：“學(xué)數(shù)學(xué)需要獨(dú)立思考，而思考需要實(shí)踐的輔助。數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)首先讓學(xué)生知道他們面對(duì)的內(nèi)容是什么，給學(xué)生留出可以思考和可以動(dòng)手操作的空間。如果內(nèi)容象天外來(lái)客般無(wú)法琢磨，學(xué)生不知道該怎么做和怎樣思考，就會(huì)感到茫然和無(wú)能為力?！睌?shù)學(xué)解題課中，好的問題情境是激發(fā)學(xué)生興趣的興奮劑，也是促進(jìn)數(shù)學(xué)能力發(fā)展的催化劑。只有學(xué)生真正學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，素質(zhì)教育才不是一句空話。但提出好的問題情境，是對(duì)每一個(gè)教師的考驗(yàn)，什么時(shí)候感到困難了，翻一翻波利亞的《怎樣解題》吧，那里有最好的示范，能給我們?cè)S多啟示。