新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-131空間向量及其運(yùn)算-資料下載頁
2024-12-08 22:40本頁面
【導(dǎo)讀】①將空間中所有的單位向量移到同一個點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=11CA;與A1C1→與A1C1→的方向相同，模也相等，應(yīng)有AC→＝A1C1→；④真命題．向量的相等滿足遞推規(guī)律；在四面體ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，Q為△BCD的重心，設(shè)AB=bAC=cAD=d，b，c，d表示向量BD，BC、CD，BM，DM和AQ。CF=32CB,CG=32CD.求證：四邊形EFGH是梯形.=43=43FG,∴四邊形EFGH是梯形.由向量共面的充要條件知，BA1，CB1，EF是共面向量。方法二連結(jié)A1D、BD，取A1D中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG，∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD.∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為32.
【正文】 ABC=135 . 8． 等邊三角形 ABC 與正方形 ABDE有一公共邊 AB， 二面角 C—AB—D 的 余弦值為 33 ，M、 N 分別是 AC、 BC 的中點(diǎn) ， 則 EM、 AN 所成角的余弦值等于 ________． 答案 16 9. 已知 P， A， B， C 四點(diǎn)共面且對于空間任一點(diǎn) O都有 OP =2OA + 34 OB +λ OC ，則λ =_____.. 答案 ? 37 . 解析 因?yàn)?P、 A、 B、 C 四點(diǎn)共面， 所以 OP =xOA +yOB +zOC ， 且 x+y+z = 1，所以 2 + 34 +λ =1，得λ = ? 37 10． 命題 ① 若 a 與 b 共線 ， b 與 c 共線 ， 則 a 與 c 共線 ； ② 向量 a， b， c 共面 ， 則它們所在直線也共面 ； ③ 若 a 與 b共線 ， 則存在惟一的實(shí)數(shù) λ， 使 b＝ λa； ④ 若 A， B， C 三點(diǎn)不共線 ， O 是平面 ABC 外一點(diǎn) ， OM→ ＝ 13OA→ ＋ 13OB→ ＋ 13OC→ ， 則點(diǎn) M 一定在平面 ABC 上 ， 且在 △ ABC 內(nèi)部 ． 上述命題中 真命題是 ________． 答案 ④ 解析 ① 中 b為零向量時， a 與 c可以不共線，故 ① 是假命題； ② 中 a， b， c所在的直線其實(shí)不確定，故 ② 是假命題； ③ 中當(dāng) a＝ 0，而 b≠ 0 時，則找不到實(shí)數(shù) λ，使 b＝ λa，故③ 是假命題； ④ 中 M是 △ ABC 的重心，故 M 在平面 ABC 上且在 △ ABC內(nèi)，故 ④ 是真命題 ． 11． 已知 |a|＝ 3 2， |b|＝ 4， m＝ a＋ b， n＝ a＋ λb，〈 a， b〉＝ 135176。， m⊥ n， 則 λ＝ ________. 答案 － 32 解析 由 m⊥ n，得 (a＋ b)(a＋ λb)＝ 0， a2＋ λab＋ ab＋ λb2＝ 0,18＋ λ 3 2 4 cos135176。＋ 3 2 4 cos135176。＋ 16λ＝ 0,4λ＋ 6＝ 0， λ＝－ 32. 12. 在四面體 OABC 中， OA =a， OB =b， OC =c， D 為 BC的中點(diǎn)， E 為 AD 的中點(diǎn)，則 OE = _____（用 a， b， c 表示） . 答案 12a＋ 14b＋ 14c 解析 如下圖由三角形法則，易得 AB = OB ? OA = b ? a， BC = OC ? OB =c ? b， BD =21 BC =21 （ c ? b）， AD =AB +BD =21 b + 21 c ? a， AE =21 AD =41 b + 41 c ? 21 a ， 所以 OE =OA +AE = a + 41 b +41 c ? 21 a = 21 a + 41 b +41 c. 13． 如圖所示 ， 在四棱錐 P－ ABCD中 ， PA⊥ 平面 ABCD， 底面 ABCD 為正方形 ， 且 PA＝ AD＝ 2， E、 F 分別為棱 AD、 PC 的中點(diǎn) ． 求異面直線 EF 和 PB 所成的角的大小 ． 解 以直線 AB 為 x軸，直線 AD 為 y 軸，直線 AP 為 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)． ∵ E 為 AD 中點(diǎn)，∴ E（ 0， 1， 0） . 又 F 為 PC中點(diǎn)，∴ F（ 1， 1， 1） . ∴ EF =（ 1， 0， 1） . 又 PB =（ 2， 0， ? 2）， ∴ cos〈 EF ， PB 〉 = 1 2 1 ( 2) 01 1 4 4? ? ? ? ?? ? ? ∴〈 EF PB 〉 =90 . ∴異面直線 EF 和 PB 所成角的大小為 90 . 14． 已知空間三點(diǎn) A(0,2,3)， B(－ 2,1,6)， C(1，－ 1,5)． （ 1）求以 AB 、 AC 為邊的平行四邊形的面積 。 （ 2）若 |a|= 3 且 a 分別與 AB 、 AC 垂直，求向量 a 的坐標(biāo) . 解 AB =（ ? 2， ? 1， 3）， AC = （ 1， ? 3， 2）， （ 1）∵ cosθ = | |?||AB ACAB AC= 2 3 6 124 1 9 1 9 4? ? ? ?? ? ? ? ? ∴ sinθ = 32 ∴ S =|AB | |AC |sinθ =7 3 . 即以 AB 、 AC 為邊的平行四邊形面積為 7 3 . （ 2）設(shè) a =（ x， y， z）， 由 |]a|= 3 ， a⊥ AB ， a⊥ AC 可得 ????? x2＋ y2＋ z2＝ 3－ 2x－ y＋ 3z＝ 0x－ 3y＋ 2z＝ 0?????? x＝ 1y＝ 1z＝ 1或????? x＝－ 1，y＝－ 1，z＝－ 1. ∴ a＝ (1,1,1)或 (－ 1，－ 1，－ 1).
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