【導(dǎo)讀】型的基本步驟，并對具體問題進行回歸分析，解決實際應(yīng)用問題。步加強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的信心。加強與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，以?？茖W(xué)的態(tài)度評價兩個變量的相關(guān)系。教學(xué)中適當?shù)卦黾訉W(xué)生合作與交流的機會，多從實際生?；钪姓页隼?，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時。體會與他人合作的重要性，理解處理問題的方法與結(jié)。論的聯(lián)系，形成實事求是的嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神。培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識，選擇不同的模型建模，并通過比較相關(guān)指數(shù)對不同的模型進行比較。，（,xy）成為樣本點的中心.你能推導(dǎo)出這兩個計算公式嗎？無關(guān)，而前兩項為非負數(shù)，因此要使Q取得最小值，當且僅。是任何一個實數(shù)x與12,,,nxxx的差的平方的平。均數(shù)中最小的數(shù).從而說明了方差具有最小性,也即定義標準差的合理性.

　　

【正文】 (1) 其中 n a b c d? ? ? ? 為樣本容量． 若 H0 成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則 K “應(yīng)該很?。鶕?jù)表 3一 7中的數(shù)據(jù)，利用公式（ 1）計算得到 K “的觀測值為 ? ? 22 9 9 6 5 7 7 7 5 4 9 4 2 2 0 9 9 5 6 . 6 3 27 8 1 7 2 1 4 8 9 8 7 4 9 1K ? ? ???? ? ?, 這個值到底能告訴我們什么呢？ 統(tǒng)計學(xué)家經(jīng)過研究后發(fā)現(xiàn)，在 H0成立的情況下， 2( 5 ) ??. (2) (2）式說明，在 H0成立的情況下， 2K 的觀測值超過 6. 635 的概率非常小，近似為 0 . 01，是一個小概率事件．現(xiàn)在 2K 的觀測值 k ≈ ，遠遠大于 6. 635，所以有理由斷定 H0不成立，即認為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”．但這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不會超過 ，即我們有 99％的把握認為“吸煙與患肺癌有關(guān)系” 在上述過程中，實際上是借助于隨機變量 2K 的觀測值 k 建立了一個判斷 H0是否成立的規(guī)則： 如果 k ≥ 6. 635，就判斷 H0不成立，即認為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否 則，就判斷 H0成立，即認為吸煙與患肺癌沒有關(guān)系 在該規(guī)則下，把結(jié)論“ H0 成立”錯判成“ H0 不成立”的概率不會超過 2( 5 ) ??, 即有 99％的把握認為從 不成立． 上面解決問題的想法類似于反證法．要確認是否能以給定的可信程度認為“兩個分類變量有關(guān)系”，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即 H0:“兩個分類變量沒有關(guān)系” 成立．在該假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機變量 2K 應(yīng)該很?。绻捎^測數(shù)據(jù)計算得到的 2K 的觀測值 k 很大，則在一定可信程度上說明 H0 不成立，即在一定可信程度上認為“兩個分類變量有關(guān)系”；如果 k的值很小，則說明由樣本觀測數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對 H0 的充分證據(jù) 怎樣判斷 2K 的觀測值 k 是大還是小呢？這僅需確定一個正數(shù) 0k ，當 0kk? 時就認為 2K 的觀測值 k大．此時相應(yīng)于 0k 的判斷規(guī)則為： 如果 0kk? ，就認為“兩個分類變量之間有關(guān)系”；否則就認為“兩個分類變量之間沒有關(guān)系” . 我們稱這樣的 0k 為一個判斷規(guī)則的臨界值．按照上述規(guī)則，把“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”錯誤地判斷為“兩個分類變量之間有關(guān)系”的概率為 2 0()P K k? . [來源 :Z。 xx。 ] 在實際應(yīng)用中，我們把 0kk? 解釋為有 2 0(1 ( )) 1 0 0 %P K k? ? ?的把握認為“兩個分類變量之間有關(guān)系”；把 0kk? 解釋為不能以 2 0(1 ( )) 1 0 0 %P K k? ? ?的把握認為“兩個分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“兩個分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)．上面這種利用隨機變量 2K 來確定是否能以一定把握認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個分類變量的 獨立性檢驗 利用上面結(jié)論，你能從列表的三維柱形圖中看出兩個變量是否相關(guān)嗎？ 一般地，假設(shè)有兩個分類變量 X和 Y，它們的可能取值分別為｛ 12,xx｝和｛ 12,yy｝ , 其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為 2 2列聯(lián)表）為： 表 3一 9 2 2列聯(lián)表 1y 2y 總計 1x a b ab? 2x c d cd? 總計 ac? bd? a b c d? ? ? 若要推斷的論述為 Hl:X與 Y有關(guān)系， 可以按如下步驟判斷結(jié)論 Hl 成立的可能性： 1．通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度． ① 在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高度的乘積 ad 與副對角線上的兩個柱形高度的乘積 bc相差越大， H1成立的可能性就越大． ② 在二維條形圖中，可以估計滿足條件 X=1x 的個體中具有 Y=1y 的個體所占的比例aab? ，也可以估計滿足條件 X=2x 的個體中具有 Y=2y ，的個體所占的比例 ccd? .“兩個比例的值相差越大， Hl 成立的可能性就越大． 2．可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠 程度．具體做法是： ① 根據(jù)實 際問題需要的可信程度確定臨界值 0k ； ② 利用公式（ 1 ) ，由觀測數(shù)據(jù)計算得到隨機變量 2K 的觀測值 k 。 ③ 如果 0kk? ，就以 2 0(1 ( )) 1 0 0 %P K k? ? ?的把握認為“ X與 Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“ X與 Y有關(guān)系”的充分證據(jù)． 在實際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下 表確定臨界值： 表 3 一 10 （四）、舉例 ： 例 1．在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人禿頂，而另外 772 名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有 175 人禿頂． (1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系． (2)能夠以 99 ％的把握認為禿頂與患心臟病有關(guān)系嗎？為什么？ 解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表： (1)相應(yīng)的三維柱形圖如圖 4 所示．比較來說，底面副對角線上兩個柱體高度的乘積要大一些，可以在某種程度上認為“禿頂與患心臟病有關(guān)” . (2)根據(jù)列聯(lián)表 3一 11中的數(shù)據(jù)，得到 21 4 3 7 ( 2 1 4 5 9 7 1 7 5 4 5 1 )3 8 9 1 0 4 8 6 6 5 7 7 2k ? ? ? ?? ? ? ?≈ 6 . 因此有 99 ％的把握認為“禿頂 與患心臟病有關(guān) ” . 例 2．為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系 ,在某城市的某校高中生中隨機抽取 300名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表： 表 3 一 12 性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表 喜歡數(shù)學(xué)課程 不喜歡數(shù)學(xué)課程 總計 男 37 85 122 女 35 143 178 總計 72 228 300 2 0()P K k? 0k 由表中數(shù)據(jù)計算得 2K 的觀測值 ? ．能夠以 95％的 把握認為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？請詳細闡明得出結(jié)論的依據(jù)． 解 ：可以有約 95％以上的把握認為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”．作出這種判斷的依據(jù)是獨立性檢驗的基本思想，具體過程如下： 分別用 a , b , c , d 表示樣本中喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)．如果性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課有關(guān)系，則男生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例 aab?與女生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例 ccd?應(yīng)該相差很多，即 | | | |( ) ( )a c a d b ca b c d a b c d???? ? ? ? 應(yīng)很大． 將上式等號右邊的式子乘以常數(shù)因子 ( ) ( ) ( )( ) ( )a b c d a b c da c b d? ? ? ? ???, 然后平方得 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d?? ? ? ? ?, 其中 n a b c d? ? ? ? ．因此 2K 越大，“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”成立的可能性越大． 另一方面，在假設(shè)“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間沒有關(guān)系”的前提下，事件 A ={ 2K ≥ 3. 841｝的概率為 P ( 2K ≥ 3. 841) ≈ , 因此事件 A 是一個小概率事件．而由樣本數(shù)據(jù)計算得 2K 的觀測值 k=，即小概率事件 A發(fā)生．因此應(yīng)該斷定“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷結(jié)果出錯的可能性約為 5 %．所以，約有 95 ％的把握認為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系” . 補充例題 1：打鼾不僅影響別人休息，而且 可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問：每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？ 患心臟病 未患心臟病 合計 每一晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1355 1379 合計 54 1579 1633 解：略。 補充例題 2： 對 196 個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和 196 個接受血管清障手術(shù)的病人進 行 3年跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 又發(fā)作過心臟病 未發(fā)作過心臟病 合計 心臟搭橋手術(shù) 39 157 196 血管清障手術(shù) 29 167 196 合計 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別。 解略 （四） 課堂小結(jié) 1．知識梳理 2．規(guī)律小結(jié) （ 1）三維柱形圖與二維條形圖 （ 2）獨立性檢驗的基本思想 （ 3）獨立性檢驗的一般方法 （五） 作業(yè) 五 課后反思： 本節(jié)內(nèi)容對 獨立性檢驗 的探討過程學(xué)生基本沒什么困難，還有學(xué)生提出了新的探討路徑和思想，學(xué)生思維活潑！對 獨立性檢驗 的作用，本節(jié)課也作了系統(tǒng)總結(jié)比較。