余弦定理的證明方法-資料下載頁
2024-11-05 12:07本頁面
【正文】 ====.同理可證，二、余弦定理的證明余弦定理 三角形的任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即 a=b+c2bccosA，b=a+c2accosB，c=a+，體現(xiàn)了向量在解決三角形度量問題中的作用，另外，：方法一（解析法）：如圖，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以△ABC的邊AB所在直線為為x軸，以過點(diǎn)A與AB垂直的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），C（bcosA,bsinA），B（c,0）, 2由兩點(diǎn)間的距離公式得BC=(bcosAc)+(bsinA0)，22222222222a2=b2cos2A2bccosA+c2+b2sin2A，即a2=b2+=a2+c22accosB,c2=a2+（幾何法）：如圖，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，過C作CD⊥AB于D，則CD=bsinA,BD=ABAD=△BCD中，由勾股定理得BC=CD+BD, 222222即a=bsinA+(cbcosA).整理得a=b+：b=a+c2accosB,c=a+=bsinA,BD=ADAB=△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖，在Rt△BCD中，由勾股定理得BC=CD+BD, 222222即a=bsinA+(bcosAc).整理得a=b+：b=a+c2accosB,c=a+ 2第五篇：正余弦定理的多種證明方法利用向量統(tǒng)一正、余弦定理的證明正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法，［1］人教版中等職業(yè)教育國(guó)家規(guī)劃教材《數(shù)學(xué)》（提高版）是用向量的數(shù)量積（內(nèi)積）給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到：作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受。本文通過三角函數(shù)的定義，利用向量相等和向量的模統(tǒng)一正、余弦定理的證明，方法較為簡(jiǎn)單。從本文的證明中又一次顯示數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則（1）（正弦定理）==；（2）（余弦定理）c2=a2+b22abcos C,b2=a2+c22accos B,a2=b2+c22bccos A。證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=（bcos A,bsin A），以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π∠B，∴C′(acos(πB),asin(πB))=C′（acos B,asin B）。根據(jù)向量的運(yùn)算：=（acos B,asin B），==（bcos Ac,bsin A）,（1）由=：得asin B=bsin A,即=。同理可得：=。∴==。(2)由=（bcos Ac）2+(bsin A)2=b2+c22bccos A，又||=a,∴a2=b2+c22bccos A。同理：c2=a2+b22abcos C；b2=a2+c22accos B。
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