32第5課時(shí)-資料下載頁(yè)
【導(dǎo)讀】1．已知向量n＝為平面α的法向量，點(diǎn)A在α內(nèi)，則P到α的距。2．已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直線B1C1到平面A1BCD1. [解析]解法一：∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，∴B1C1∥平?！連C⊥平面A1ABB1，且B1E?又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，解法二：以D為原點(diǎn)，DA→、DC→、DD1→的方向?yàn)閤、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則C、D1，設(shè)B、B1(x≠0)，n·CD1→＝·＝－12b＋5c＝0，＝12，N為BB1的中點(diǎn)，③異面直線AB與CD之間的距離為22；⑤直線AC與平面ABD所成的角為45°.ACD，∴BD⊥AC，∴①正確；又知AD＝BD＝CD＝1，∴△ABC為正三角形，∠BAC＝60°，∴②正確；∵△ABC邊長(zhǎng)為2，.∴S△ABC＝32，由VA－BDC＝VD－ABC得13××1＝13×32. [解析]AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋2AB→·AD→＋2AB→·AA1→＋2AD→·AA1→。〈AD→，AA1→〉＝14＋2×1×2cos120°＋2×1×3cos60°＋2×2×3cos60°＝21，∴|AC1→|＝21，即AC1＝21.＋AM→，又DM→＝DC1→＋C1B1→＋B1M→.∴2DM→＝CA→＋C1B1→＝CA→＋CB→.
【正文】 2， AD＝ 1， 則 AD到平面 PBC的距離為 __________________． [答案 ] 2 [解析 ] 由已知 AB、 AD、 AP 兩兩垂直 ． ∴ 以 A為坐標(biāo)原點(diǎn) AB、 AD、 AP分別為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0,0,0)、B(2,0,0)、 C(2,2,0)、 P(0,0,2)， PB→ ＝ (2,0，－ 2)． BC→ ＝ (0,2,0)，設(shè)平面 PBC的法向量為 n＝ (a， b， c)，則????? 2a－ 2c＝ 0b＝ 0 ， ∴ n＝ (1,0,1)，又 AB→ ＝ (2,0,0)， ∴ d＝ |AB→ n||n| ＝ 2. 三、解答題 ， 已知邊長(zhǎng)為 4 2的正三角形 ABC中 ， E、 F分別為 BC和 AC的中點(diǎn) ， PA⊥ 平面 ABC， 且 PA＝ 2， 設(shè)平面 α過(guò) PF且與 AE平行 ，求 AE與平面 α間的距離 ． [解析 ] 設(shè) AP→ 、 AE→ 、 EC→ 的單位向量分別為 e e e3，選取 {e1， e2， e3}作為空間向量的一組基底，易知 e1e 2＝ e2e 3＝ e3e 1＝ 0， AP→ ＝ 2e1， AE→ ＝ 2 6e2， EC→ ＝ 2 2e3， PF→ ＝ PA→ ＋ AF→ ＝ PA→ ＋ 12AC→ ＝ PA→ ＋ 12(AE→ ＋ EC→ )＝－ 2e1＋ 6e2＋ 2e3， 設(shè) n＝ xe1＋ ye2＋ e3是平面 α的一個(gè)法向量，則 n⊥ AE→ ， n⊥ PF→ ， ∴????? nAE→ ＝ 0nPF→ ＝ 0， 即 ??? ?xe1＋ ye2＋ e3?2 6e2＝ 0?xe1＋ ye2＋ e3??－ 2e1＋ 6e2＋ 2e3?＝ 0， ∴ ??? 2 6y|e2|2＝ 0－ 2x|e1|2＋ 6y|e2|2＋ 2|e3|2＝ 0， ∴????? y＝ 0x＝ 22.∴ n＝ 22 e1＋ e3. ∴ 直線 AE與平面 α間的距 離為 d＝ |AP→ n||n| ＝|2e1? 22 e1＋ e3?|| 22 e1|2＋ |e3|2＝ 2 33 . 8． 如圖 ， 已知直四棱柱 ABCD－ A′ B′ C′ D′ 中 ， 四邊形 ABCD 為正方形 ， AA′ ＝2AB＝ 2， E為棱 CC′ 的中點(diǎn) ． (1)求證 ： A′ E⊥ 平面 BDE； (2)設(shè) F為 AD中點(diǎn) ， G為棱 BB′ 上一點(diǎn) ， 且 BG＝ 14BB′ ， 求證 ： FG∥ 平面 BDE. [證明 ] (1)以 D為原點(diǎn)， DA所在直線為 x軸， DC所在直線為 y軸， DD′ 所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A′ (1,0,2)、 E(0,1,1)、 F(12， 0,0)、 G(1,1， 12)、 B(1,1,0)、 D(0,0,0)， 于是 DB→ ＝ (1,1,0)、 DE→ ＝ (0,1,1)、 A′ E→ ＝ (－ 1,1，－ 1)． ∵ A′ E→ DB→ ＝－ 1＋ 1＋ 0＝ 0， ∴ A′ E⊥ DB. 又 ∵ A′ E→ DE→ ＝ 0＋ 1－ 1＝ 0， ∴ A′ E⊥ DE. ∵ BD∩ DE＝ D， ∴ A′ E⊥ 平面 BDE. (2)由 (1)可知 A′ E→ ＝ (－ 1,1，－ 1)為平面 BDE的一個(gè)法向量， FG→ ＝ (12， 1， 12)， ∵ FG→ A′ E→ ＝－ 1 12＋ 1 1＋ (－ 1) 12＝ 0， ∴ FG→ ⊥ A′ E→ . 又 ∵ FG?平面 BDE， ∴ FG∥ 平面 BDE.
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