32 第5課時(文件)
【正文】 2＋ e3是平面 α的一個法向量，則 n⊥ AE→ ， n⊥ PF→ ， ∴????? n?－ 2e1＋ 6e2＋ 2e3?＝ 0， ∴ ??? 2 6y|e2|2＝ 0－ 2x|e1|2＋ 6y|e2|2＋ 2|e3|2＝ 0， ∴????? y＝ 0x＝ 22.∴ n＝ 22 e1＋ e3. ∴ 直線 AE與平面 α間的距 離為 d＝ |AP→ DE→ ＝ 0＋ 1－ 1＝ 0， ∴ A′ E⊥ DE. ∵ BD∩ DE＝ D， ∴ A′ E⊥ 平面 BDE. (2)由 (1)可知 A′ E→ ＝ (－ 1,1，－ 1)為平面 BDE的一個法向量， FG→ ＝ (12， 1， 12)， ∵ FG→ ? 22 e1＋ e3?|| 22 e1|2＋ |e3|2＝ 2 33 . 8． 如圖 ， 已知直四棱柱 ABCD－ A′ B′ C′ D′ 中 ， 四邊形 ABCD 為正方形 ， AA′ ＝2AB＝ 2， E為棱 CC′ 的中點(diǎn) ． (1)求證 ： A′ E⊥ 平面 BDE； (2)設(shè) F為 AD中點(diǎn) ， G為棱 BB′ 上一點(diǎn) ， 且 BG＝ 14BB′ ， 求證 ： FG∥ 平面 BDE. [證明 ] (1)以 D為原點(diǎn)， DA所在直線為 x軸， DC所在直線為 y軸， DD′ 所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A′ (1,0,2)、 E(0,1,1)、 F(12， 0,0)、 G(1,1， 12)、 B(1,1,0)、 D(0,0,0)， 于是 DB→ ＝ (1,1,0)、 DE→ ＝ (0,1,1)、 A′ E→ ＝ (－ 1,1，－ 1)． ∵ A′ E→ PF→ ＝ 0， 即 ??? ?xe1＋ ye2＋ e3?e 2＝ e2h， S△ ABC1＝ 12ABn||n| ＝66 a. 二、填空題 5． 在正三棱柱 ABC－ A1B1C1 中 ， 所有棱長均為 1， 則點(diǎn) B1 到平面 ABC1 的距離為________． [答案 ] 217 [解析 ] 解法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 C(0,0,0)、 A??? ???32 ， 12， 0 、 B(0,1,0)、B1(0,1,1)、 C1(0,0,1)， 則 C1A→ ＝ ??? ???32 ， 12，－ 1 、 C1B1→ ＝ (0,1,0)、 C1B→ ＝ (0,1，－ 1)， 設(shè)平面 ABC1的法向量為 n＝ (x， y,1)， 則有????? C1A→ BD→ ＝ 3＋ 2 cos60176。 ∴ CA→ 與 BD→ 夾角為 60176。cosα＝ 3 4 3333 ＝ 4 3311 . 一、選擇題 1． 已知向量 n＝ (1,0，－ 1)與平面 α垂直 ， 且 α經(jīng)過點(diǎn) A(2,3,1)， 則點(diǎn) P(4,3,2)到 α的距離為 ( ) B. 22 C. 2 22 [答案 ] B [ 解析 ] PA→ ＝ ( － 2,0，－ 1) ，又 n 與 α 垂直，所以 P 到 α 的距離為|?－ 2， 0，－ 1?AE→ ＝ 0n1(CB→ － CA→ )＝ |CB→ |2－ |CA→ |2＝ 0， ∴ DM⊥ AA1， DM⊥ AB.∴ DM⊥ 平面 ABB1A1. ∵ DM? 平面 AB1D， ∴ 平面 AB1D⊥ 平面 ABB1A1. (2)解： ∵ A1B⊥ DM， A1B⊥ AB1.∴ A1B⊥ 平面 AB1D. ∴ A1B→ 是平面 AB1D的一個法向量 ． ∴ 點(diǎn) C到平面 AB1D的距離為 d＝ |AC→ ＝ 21， ∴
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