高中數(shù)學(xué)蘇教版選修1-2【備課資源】221習(xí)題課-資料下載頁(yè)
2024-12-08 02:36本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】5．如圖所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過(guò)A作SB的垂線，垂足為E，過(guò)E作SC的垂線，只需證AE⊥BC，只需證BC⊥平面SAB，只需證BC⊥SA．由。6．命題甲：x、2－x、2x－4成等比數(shù)列；命題乙：lgx、lg(x＋2)、lg成等差數(shù)列，則。7．若a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝12，R＝lg，則P、Q、R的大小關(guān)系為_(kāi)_______．。9．如果a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：ab＋ba>a＋b.10．已知a>0，求證：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.11．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求證：·≥8.12．已知函數(shù)f＝x2＋2x＋alnx(x>0)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1、x2，證明：當(dāng)a≤0時(shí)，.(你能用幾種方法證明？即要證a3＋b3>a2b＋ab2，即需證a2－ab＋b2>ab，因?yàn)閍≠b，所以(a－b)2>0恒成立，而b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bca·2acb·2abc＝8成立．?！選1x2<x1＋x22，∴l(xiāng)nx1x2<lnx1＋x22.即證a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
【正文】 時(shí)，欲證原不等式成立， 只需證 (ac＋ bd)2≤ (a2＋ b2)(c2＋ d2)． 即證 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2. 即證 2abcd≤ b2c2＋ a2d2. 即證 0≤ (bc－ ad)2. 因?yàn)?a， b， c， d∈ R，所以上式恒成立 ． 故原不等式成立，綜合 ①② 知，命題得證 ． 方法二 (用綜合法 ) (a2＋ b2)(c2＋ d2)＝ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2 ＝ (a2c2＋ 2acbd＋ b2d2)＋ (b2c2－ 2bcad＋ a2d2) ＝ (ac＋ bd)2＋ (bc－ ad)2≥ (ac＋ bd)2. ∴ ?a2＋ b2??c2＋ d2?≥ |ac＋ bd|≥ ac＋ bd. 方法三 (用比較法 ) ∵ (a2＋ b2)(c2＋ d2)－ (ac＋ bd)2 ＝ (bc－ ad)2≥ 0， ∴ (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥ (ac＋ bd)2， ∴ ?a2＋ b2??c2＋ d2?≥ |ac＋ bd|≥ ac＋ bd. 方法四 (用放縮法 ) 為了避免討論，由 ac＋ bd≤ |ac＋ bd|，可以試證 (ac＋ bd)2≤ (a2＋ b2)(c2＋ d2)． 由方法一知上式成立，從而方法四可行 ． 方法五 (構(gòu)造向量法 ) 設(shè) m＝ (a， b)， n＝ (c， d)， ∴ mn＝ ac＋ bd， |m|＝ a2＋ b2， |n|＝ c2＋ d2. ∵ mn≤|m||n|＝ a2＋ b2 c2＋ d2. 故 ac＋ bd≤ a2＋ b2 c2＋ d2 .
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