【導(dǎo)讀】立的知識(shí)點(diǎn)，也并非個(gè)別的思想方法，它是對(duì)考生綜合能力的一個(gè)全面考查，題有一種恐懼感，認(rèn)為自己的水平一般，做不了，甚至連看也沒看就放棄了，分?jǐn)?shù)一定拿到，第小題的分?jǐn)?shù)要力爭(zhēng)拿到，第小題的分?jǐn)?shù)要爭(zhēng)取得到，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)D.②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，若符合條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)是4個(gè)，9a＋3b＋c＝1，＋c開口向上時(shí)，點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)．當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，∵∠DBF＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，∴△AOB≌△BFD，∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，若要使∠POB與∠BCD互余，則需滿足∠POB＝∠BAO.

　　

【正文】 ， 3 ) ． 又 ∵ 點(diǎn) Q ′可能在點(diǎn) K 的左邊或右邊 ， ∴ KQ ′ ＝????????32－ t＋43＝????????176－ t . 在 Rt △ W AO 中 ， ∠ W OA ＝ 90176。 ， AO ＝ 2 ， WO ＝ 3 3 ， ∴ AW ＝ 31 . 由題意易證 Rt △ W AO ∽ Rt △ Q ′KH ， ∴Q ′ HQ ′ K＝WOAW， 即3????????176－ t＝3 331， ∴ t1＝17 － 2 316或 t2＝17 ＋ 2 316. ∵ 0 ≤ t1≤132， 0 ≤ t2≤132， ∴ t1， t2均符合條件． 現(xiàn)分兩種情況討論： ① 當(dāng) t1＝17 － 2 316時(shí) ， 點(diǎn) Q ′(31 － 43， 3 ) ， P ′ (5 ＋ 313， 0 ) ． ∵ 031 － 430 ，5 ＋ 313 2 . ∴ 重疊部 分如解圖 ① 所示的等邊三角形 Q ′H1I1： S ＝12I1H1 Q ′K1＝33 ????????t＋122＝33????????17 － 2 316＋122＝1 3 1 3 － 20 9327. ② 當(dāng) t2＝17 ＋ 2 316時(shí) ， 點(diǎn) Q ′(－ 4 － 313， 3 ) ， P ′ (5 － 313， 0 ) ． ∵－ 4 － 313 － 2 ， － 25 － 313 0 . ∴ 重疊部分如解圖 ② 所示的直角三角形 H2I2P ′ ： ( 例 4 題圖解 ② ) S ＝12H2I2 I2P ′ ＝3 38 ????????132－ t2 ＝3 38????????132－17 ＋ 2 3162＝76 3 － 11 9312. 綜上 ， 當(dāng)點(diǎn) Q ′到 x 軸的距離與點(diǎn) Q ′到直線 AW 的距離相等時(shí) ， S ＝1 3 1 3 － 20 9327或 S ＝76 3 － 11 9312. 變式訓(xùn)練 4 (2 0 1 5 綿陽 ) 如圖 ， 在邊長為 2 的正方形 AB CD 中 ， G 是 AD延長線時(shí)的一點(diǎn) ， 且 DG ＝ AD ， 動(dòng)點(diǎn) M 從點(diǎn) A 出發(fā) ， 以每秒 1 個(gè)單位的速度沿著 A → C → G 的路線向點(diǎn) G 勻速運(yùn)動(dòng) ( M 不與 A ， G 重合 ) ， 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s) ，連結(jié) BM 并延長 AG 于點(diǎn) N . (1 ) 是否存在點(diǎn) M ， 使 △ ABM 為等腰三角形？若存在 ， 分析點(diǎn) M 的位置；若不存在 ， 請(qǐng)說明理由． (2 ) 當(dāng)點(diǎn) N 在 AD 邊上時(shí) ， 若 BN ⊥ HN ， NH交 ∠ CD G 的平分線于點(diǎn) H ， 求證： BN ＝ HN . (3 ) 過點(diǎn) M 分別作 AB ， AD 的垂線 ， 垂足分別為 E ， F ， 矩形 AE M F 與 △ ACG重疊部分的面積為 S ， 求 S 的最大值． ( 變式訓(xùn)練 4 題圖 ) 解析 (1 ) 分四種情況：當(dāng)點(diǎn) M 為 AC 的中點(diǎn)時(shí) ， AM ＝ BM ；當(dāng)點(diǎn) M 與點(diǎn) C 重合時(shí) ， AB ＝ BM ；當(dāng)點(diǎn) M 在 AC 上 ， 且 AM ＝ 2 時(shí) ， AM ＝ AB ；當(dāng)點(diǎn) M為 CG 的中點(diǎn)時(shí) ， AM ＝ BM . (2 ) 在 AB 上截取 AK ＝ AN ， 連結(jié) KN ；由正方形的性質(zhì) ， 利用 AS A 證明△ BNK ≌△ NH D ， 得出 BN ＝ NH 即可． (3 ) ① 當(dāng)點(diǎn) M 在 AC 上時(shí) ， 即 0 ＜ t≤ 2 2 時(shí) ， △ AM F 為等腰直角三角形 ，得出 AF ＝ FM ＝22t， 利用 S ＝12AF F M 可求出 S 的最大值； ② 當(dāng)點(diǎn) M 在 CG上時(shí) ， 即 2 2 ＜ t＜ 4 2 時(shí) ， 先證明 △ ACD ≌△ GC D ， 得出 ∠ ACD ＝ ∠ GC D ＝45 176。 ， 求出 ∠ ACM ＝ 90 176。 ， 證出 △ M FG 為等腰直角三角形 ， 得出 FG ＝ MG c o s 45 176。 ＝ 4 －22t， 得出 S ＝ S △A CG－ S △CMJ－ S △F MG， S 為 t 的 二次函數(shù)，可求出最大值． ①② 最值比較即可求出結(jié)果． 答案 (1 ) 存在；當(dāng)點(diǎn) M 為 AC 的中點(diǎn)時(shí) ， AM ＝ BM ， 則 △ AB M 為等腰三角形； 當(dāng)點(diǎn) M 與點(diǎn) C 重合時(shí) ， AB ＝ BM ， 則 △ ABM 為等腰三角形； 當(dāng)點(diǎn) M 在 AC 上且 AM ＝ 2 時(shí) ， AM ＝ AB ， 則 △ ABM 為等腰三角形； 當(dāng)點(diǎn) M 為 CG 的中點(diǎn)時(shí) ， AM ＝ BM ， 則 △ ABM 為等腰三角形． (2 ) 證明：在 AB 上截取 AK ＝ AN ， 連結(jié) KN . 如解圖 ① 所示． ( 變式訓(xùn)練 4 題圖解 ① ) ∵ 四邊形 AB CD 是正方形 ， ∴∠ ADC ＝ 90 176。， AB ＝ AD ， ∴∠ CD G ＝ 90 176。 . ∵ BK ＝ AB － AK ， ND ＝ AD － AN ， ∴ BK ＝ DN . ∵ DH 平分 ∠ CD G ， ∴∠ CD H ＝ 4 5 176。， ∴∠ ND H ＝ 90 176。 ＋ 45 176。 ＝ 1 3 5 176。， ∴∠ BKN ＝ 1 8 0 176。 － ∠ AKN ＝ 135 176。， ∴∠ BKN ＝ ∠ ND H ， 在 Rt △ ABN 中 ，ABN ＋ ∠ ANB ＝ 90 176。 . 又 ∵ BN ⊥ NH ， 即 ∠ BNH ＝ 90 176。， ∴∠ ANB ＋ ∠ DN H ＝ 1 8 0 176。 － ∠ BNH ＝90 176。， ∴∠ ABN ＝ ∠ DN H ， 在 △ BNK 和 △ NH D 中 ， ∵?????∠ ABN ＝ ∠ DN H ，BK ＝ DN ，∠ BKN ＝ ∠ ND H ， ∴△ BNK ≌△ NH D ( AS A ) ， ∴ BN ＝ NH . (3 ) ① 當(dāng)點(diǎn) M 在 AC 上時(shí) ， 即 0 ＜ t≤ 2 2 時(shí) ， 易知 △ AM F 為等腰直角三角形． ∵ AM ＝ t， ∴ AF ＝ FM ＝22t， ∴ S ＝12AF FM ＝1222t22t＝14t2. 當(dāng) t＝ 2 2 時(shí) ， S 的值最大 ， 最大值＝12 (2 2 )2＝ 2 ； ② 當(dāng) M 在 CG 上時(shí) ， 即 2 2 ＜ t＜ 4 2 時(shí) ， 如解圖 ② 所示． ( 變式訓(xùn)練 4 題圖解 ② ) CM ＝ t－ AC ＝ t－ 2 2 ， MG ＝ 4 2 － t， 在 △ ACD 和 △ GC D 中 ， ∵?????AD ＝ DG ，∠ ADC ＝ ∠ CD G ，CD ＝ CD ， ∴△ ACD ≌△ GC D ( S AS ) ， ∴∠ ACD ＝ ∠ GC D ＝ 45 176。， ∴∠ ACM ＝ ∠ ACD ＋ ∠ GC D ＝ 90 176。， ∴∠ G ＝ 90 176。 － ∠ GC D ＝ 45 176。， ∴△ M FG 為等腰直角三角形 ， ∴ FG ＝ MG c o s 4 5 176。 ＝ (4 2 － t )22＝ 4 －22t， ∴ S ＝ S △A CG－ S △CMJ－ S △F MG＝12 4 2 －12CM CM －12FG FG ＝ 4 －12( t－2 2 )2－12(4 －22t )2＝－34t2＋ 4 2 t－ 8 ＝－34( t－832 )2＋83， ∴ 當(dāng) t＝ 83 2 時(shí) ， S 的最大值為 83 . ∵ 83 2 ， ∴ 當(dāng) t＝－ 83 2 時(shí) ， S 最大 ， 最大值為 83 . 總 結(jié) 回 顧 ： 圖形運(yùn)動(dòng)中會(huì)產(chǎn)生不同的位置、形成不同的圖形形狀、對(duì)應(yīng)關(guān)系也會(huì)隨著圖形的變化而改變 ， 所以在解決此類問題時(shí) ， 要注意分類討論 ，分類討論可以根據(jù)點(diǎn)的位置不同、 圖形的形狀、對(duì)應(yīng)關(guān)系等為依據(jù) ，但分類討論容易遺漏，解題時(shí)要 特別關(guān)注．