【正文】 的一點(diǎn) ， 連結(jié) OP并延長(zhǎng)與拋物線 E2相交于點(diǎn) P ′， 求 △ P AA ′與 △ P ′BB ′的面積之比． ( 變式訓(xùn)練 1 題圖 ) 解析 (1 ) 直接將點(diǎn) A 代入函數(shù)表達(dá)式求得 m ， 進(jìn)而求得點(diǎn) B 的坐標(biāo) ，再用待定系數(shù)法求 E 2 的表達(dá)式． (2 ) 由題意可得 ， 在第一象限內(nèi) ， 拋物線 E 1 上存在點(diǎn) Q ， 使得 △ QBB ′為直角三角形 ， 由圖象可知直角頂點(diǎn)只能為點(diǎn) B 或點(diǎn) Q . 分別利用當(dāng)點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn)時(shí)以及點(diǎn) Q 為直角頂點(diǎn)時(shí)求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)即可． (3 ) 首先設(shè)點(diǎn) P ( c ， c2) ， P ′ ( d ，12d2) ， 進(jìn)而得出 c 與 d 的關(guān)系 ， 再表示出△ P AA ′與 △ P ′BB ′的面積 ， 進(jìn)而得出答案． 答案 (1 ) ∵ 拋物線 E 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (1 ， m ) ， ∴ m ＝ 12＝ 1. ∵ 拋物線 E 2 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ， 可設(shè)它對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y ＝ ax2 ( a ≠ 0) ， 又 ∵ 點(diǎn) B (2 ， 2 ) 在拋物線E 2 上 ， ∴ 2 ＝ a 22， 解得 a ＝12， ∴ 拋物線 E 2 所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為 y ＝12x2. (2 ) 假設(shè)在第一象限內(nèi) ， 拋物線 E1上存在點(diǎn) Q ， 使得 △ QB ′B 為直角三角形 ，由圖象可知直角頂點(diǎn)只能為點(diǎn) B 或點(diǎn) Q ， 如解圖 ① . ( 變式訓(xùn)練 1 題圖解 ① ) ① 當(dāng)點(diǎn) B 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 過(guò)點(diǎn) B 作 BQ ⊥ B ′B 交拋物線 E1于 Q ， 則點(diǎn) Q 與 B的橫坐標(biāo)相等且為 2 ， 將 x ＝ 2 代入 y ＝ x2得 y ＝ 4 ， ∴ 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (2 ， 4 ) ． ② 當(dāng)點(diǎn) Q 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 則有 QB ′2＋ QB2＝ B ′B2， 過(guò)點(diǎn) Q 作 QG ⊥ BB ′于點(diǎn)G ， 設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ( t， t2)( t＞ 0) ， 則有 ( t＋ 2)2＋ ( t2－ 2)2＋ (2 － t )2＋ ( t2－ 2)2＝ 42，整理 ， 得 t4－ 3 t2＝ 0. ∵ t＞ 0 ， ∴ t2－ 3 ＝ 0 ， 解得 t1＝ 3 ， t2＝－ 3 ( 舍去 ) ， ∴ 點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 ( 3 ， 3 ) ． 綜合 ①② ， 存在符合條件的點(diǎn) Q ， 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (2 ， 4 ) 與 ( 3 ， 3 ) ． (3 ) 如解圖 ② ， 過(guò)點(diǎn) P 作 PC ⊥ x 軸 ， 垂足為 C ， PC 交直線 A ′A 于點(diǎn) E ，過(guò)點(diǎn) P ′作 P ′D ⊥ x 軸 ， 垂足為 D ， P ′ D 交直線 B ′B 于點(diǎn) F . ( 變式訓(xùn)練 1 題圖解 ② ) 由題意可設(shè)點(diǎn) P ( c ， c2) ， P ′ ( d ，12d2) ( c 0 ， c ≠ 1 ) ． ∵ tan ∠ POC ＝ tan ∠ P ′ OD ， ∴c2c＝12d2d， ∴ d ＝ 2 c . 又 ∵ A ′A ＝ 2 ， B ′ B ＝ 4 ， ∴S △ P A A ′S △ P ′ BB ′＝12A ′ A ∴∠ DBF ＝ ∠ BAO . 又 ∵∠ AOB ＝ ∠ BFD ＝ 90 176。 得到線段 BD ，拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) D . (1 ) 如圖 ① ， 若該拋 物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O ， 且 a ＝－13 ① 求點(diǎn) D 的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式． ② 連結(jié) CD ， 問(wèn)：在拋物線上是否存在點(diǎn) P ， 使得 ∠ POB 與 ∠ B CD 互余？若存在 ， 請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo) ， 若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由． (2 ) 如圖 ② ， 若該拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) E (1 ， 1 ) ， 點(diǎn) Q 在拋物線上 ， 且滿足 ∠ QOB 與 ∠ BCD 互余 ， 若符合條件的點(diǎn) Q 的個(gè)數(shù)是 4 個(gè) ，請(qǐng)直接寫出 a 的取值范圍． ( 例 1 題圖 ) 解析 (1 ) ① 過(guò)點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于點(diǎn) F ， 可證 △ AOB ≌△ BF D ， 即可求得 D 點(diǎn)的坐標(biāo) ， 把 a ＝－13， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)代入拋物線即可求拋物線的表達(dá)式． ②由 C ， D 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為 1 可知 CD ∥ x 軸 ， 所以 ∠ BCD ＝ ∠ ABO ， 又因∠ BAO 與 ∠ BCD 互余 ， 若要使得 ∠ POB 與 ∠ BCD 互余 ， 則需滿足 ∠ POB ＝∠ BAO ， 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x ， －13x2＋43x ) ， 分兩種情況討論即可求得． (2 ) ∵ 拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 過(guò)點(diǎn) E (1 ， 1 ) 和點(diǎn) D (3 ， 1 ) ， ∴??? a ＋ b ＋ c ＝ 1 ，9 a ＋ 3 b ＋ c ＝ 1 ，解得??? b ＝－ 4 a ，c ＝ 3 a ＋ 1.∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y ＝ ax2－ 4 ax ＋ 3 a ＋ 1 ， ∴ 可設(shè)點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 ( x ， ax2－ 4 ax ＋ 3 a ＋ 1) ． 分兩種情況： ① 當(dāng)拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 開(kāi)口向下時(shí) ， 若滿足 ∠ QOB 與 ∠ BCD互余且符合條件的點(diǎn) Q 的個(gè)數(shù)是 4 ， 則點(diǎn) Q 在 x 軸的上、下方各有兩個(gè)．當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸的下方時(shí) ， 直線 OQ 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn) ， 滿足條件的點(diǎn) Q 有 2個(gè)；當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸的上方時(shí) ， 要使直線 OQ 與拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 有兩個(gè)交點(diǎn) ， 則拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 與 x 軸的交點(diǎn)必須在 x 軸的正半軸上 ， 與 y 軸的交點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸 ， ∴ 3 a ＋ 1 ＜ 0 ， 解得 a ＜－13. ② 當(dāng)拋物線 y ＝ ax2＋ bx＋ c 開(kāi)口向上時(shí) ， 點(diǎn) Q 在 x 軸的上、下方各有兩個(gè)．當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸的上方時(shí) ，直線 OQ 與拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 有兩個(gè)交點(diǎn) ， 符合條件的點(diǎn) Q 有兩個(gè)；當(dāng) 個(gè)；當(dāng)點(diǎn) Q 在 x 軸的下方時(shí) ， 要使直線 OQ 與拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 有兩個(gè)交點(diǎn) ， 符合條件的點(diǎn) Q 有兩個(gè)．同 (1 ) ② 可知 ， 要使得 ∠ QO B 與 ∠ BCD 互余 ，則必須 ∠ QOB ＝ ∠ BAO ， ∴ tan ∠ QOB ＝ tan ∠ BAO ＝12. 則此時(shí)直線 OQ 的函數(shù)表達(dá)式為 y ＝－12x . 要使直線 OQ 與拋物 線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 有兩個(gè)交點(diǎn) ， ∴ 方程ax2－ 4 ax ＋ 3 a ＋ 1 ＝－12x 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ， ∴ Δ ＝ 4 a2－ 8 a ＋14＞ 0 ， 解得 a ＞4 ＋ 154( a ＜4 － 154舍去 ) ．綜上所述 ， a 的取值范圍為 a ＜－13或 a ＞4 ＋ 154. 答案 (1 ) ① 過(guò)點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于點(diǎn) F ， 如解圖所示． ( 例 1 題圖解 ) ∵∠ DBF ＋ ∠ ABO ＝ 90 176。第八章 綜合探究 方法與解題技巧 第 4 6 課 綜 合 性 壓 軸 題 具有選拔功能的中考?jí)狠S題是為考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力而 設(shè)計(jì)的題目 ， 其特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)多 ， 覆蓋面廣 ， 條件隱蔽 ， 關(guān)系復(fù)雜 ， 思路難覓 ， 解法靈活．解數(shù)學(xué)壓軸題 ， 一要樹(shù)立必勝的信心 ， 二要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技能 ， 三要掌握常用的解題策略．下面是中考?jí)狠S題六種常用的解題策略： 1 ． 以坐標(biāo)系為橋梁 ， 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 縱觀最近幾年各地的中考?jí)狠S題 ， 絕大部 分都是與坐標(biāo)系有關(guān)的，其特點(diǎn)是通過(guò)建立點(diǎn)與數(shù)，即坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)題的解答． 2 ． 以直線或拋物線知識(shí)為載體 ， 運(yùn)用函數(shù)與方程思想 直線與拋物線是初 中數(shù)學(xué)中的兩類重要函數(shù)即一次函數(shù)與二次函數(shù)所表示的圖形．因此 ， 無(wú)論是求其表達(dá)式還是研究其性質(zhì) ， 都離不開(kāi)函數(shù)與方程的思想．例如函數(shù)表達(dá)式的確定 ， 往往需要根據(jù)已知條件列方程或方程組并解之而得． 3 ． 利用條件或結(jié)論的多變性 ， 運(yùn)用分類討論的思想 分類討論思想可用來(lái)檢測(cè)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性 ， 常 常通過(guò)條件的多變性或結(jié)論的不確定性來(lái)進(jìn)行考察，有些問(wèn)題，如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為必考內(nèi)容之一． 4 ． 綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn) ， 運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想 任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題 的解決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)換的思想 ， 初